【课件】两条直线的交点坐标课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章

直线和圆的方程

2.3.1两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点A直线l点A在直线l上

（形）（数）A(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0Ax0＋By0＋C＝0【问题1】点与直线的关系是什么？A(x0，y0)Ax＋By＋C＝0【问题2】在同一直角坐标系内画出直线l1与l2的图象：l1：3x＋4y－2＝0；【追问1】两条直线l1与l2

的位置关系是怎样的？【追问2】它们的交点坐标与两条直线的方程有什么关系？【追问3】你能求出交点的坐标吗？l2l1A(－2，2)

联立方程组：①②l2：2x＋y＋2＝0.l1：3x＋4y－2＝0；l2：2x＋y＋2＝0.【问题3】上述结论有一般性吗？若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？由此能得出求其交点坐标的方法吗？

直线l1和l2相交直线l1和l2存在唯一交点，

记为A(x0，y0)点A(x0，y0)既在l1上，又在l2上【问题3】上述结论有一般性吗？若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？由此能得出求其交点坐标的方法吗？

几何元素及关系（形）代数表示（数）

直线l1与l2的交点是A(x0，y0)

方程组的唯一解是

l2l1【问题4】已知两条直线：l1：4x＋2y－3＝0；l2：2x＋y＋2＝0，则这两条直线的位置关系是什么？【追问】能否判断对应方程组解的情况？没有公共点方程组无解不存在点同时满足两条直线方程l1

∥

l2方程组无解l1

∥

l2【问题5】已知两条直线：l1：4x＋2y＋4＝0；l2：2x＋y＋2＝0，则这两条直线的位置关系是什么？l2l1有无数个公共点存在无数个点同时满足两条直线方程方程组有无数组解直线l1和l2重合方程组有无数组解l1

和l2重合【问题6】一般地，对于两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0

，你能说出这两条直线的位置关系与对应方程组的解之间的联系吗？

直线的位置关系公共点的个数方程组解的个数图例相交平行重合有且仅有1个唯一解0个无解无数个无数组解【问题7】(1)l1:3x+4y－2=0，l2：2x+y+2=0

(2)l1:4x+2y+3=0，l2：2x+y+2=0

(3)l1:4x+2y+4=0，l2：2x+y+2=0

对于以上三组直线，你还有其他方法判断每组直线间的位置关系么？【追问1】能否用斜率判断两条直线的位置关系？两直线斜率均不存在垂直于x轴截距相等重合截距不等平行一条斜率不存在一条斜率存在两直线斜率均存在斜率不等相交斜率相等看截距截距相等重合截距不等平行两条直线相交【问题7】(1)l1:3x+4y－2=0，l2：2x+y+2=0

(2)l1:4x+2y+3=0，l2：2x+y+2=0

(3)l1:4x+2y+4=0，l2：2x+y+2=0

对于以上三组直线，你还有其他方法判断每组直线间的位置关系么？【追问2】如何从直线方程的一般式中确定斜率？

k1≠k2相交

平行

重合斜截式【问题8】比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系，你有什么体会？代数方法关注直线方程系数关系，快速判断两条直线平行、重合或相交（垂直）.解方程组判断斜率判断关注解的个数与交点个数的对应，判断两条直线平行、重合或相交；求相交直线的交点坐标.【问题9】判断两条直线的位置关系，直线方程的系数需要满足怎样的特征？两直线位置关系方程系数特征相交平行重合【例1】

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标.(1)l1：x－y＝0；l2：3x＋3y－10＝0.(2)l1：3x－y＋4＝0；l2：6x－2y－1＝0.(3)l1：3x＋4

y－5＝0；l2：6x＋8y－10＝0.

【例2】求经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，并且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程．【追问1】求解直线方程需要具备哪些条件？【追问2】分析本题中的条件，可以获得哪些确定直线的信息？

交点坐标(-1，-1)

解：【问题10】方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，当λ变化时表示什么图形？该图形有何特点？令λ=0，方程化为3x＋4y－2＝0，此时的图形是一条直线；

令λ=1，得到5x＋5y＝0，也是一条直线，(-2,2)；令λ=－1，则x＋3y－4＝0，还是一条直线,(-2,2).……猜想：当λ变化时，方程表示的是相交于点(-2,2)的直线(-2,2)(-2,2)(-2,2)【问题10】方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，当λ变化时表示什么图形？该图形有何特点？(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0Ax＋By＋C＝0直线3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0

联立方程组：解得交点坐标为(－2，2).(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0

λ无解经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程可以表示为：

A1x＋B1y+C1+λ(A2x＋B2y+C2

)=0求相交直线交点坐标判断两条直线的位置关系（相交、平行、重合）解方程组

思想方法数形结合特殊到一般问题导入问题1：如下图已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1,P2间的距离？yxoP2P1

特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离为：

问题导入

k是直线P1P2的斜率则两点间距离公式有如下变形：

(1)当P1P2与x轴平行或重合时，

(2)当P1P2与y轴平行或重合时，问题2：还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？问题导入|P1P2|＝|x2－x1|；|P1P2|＝|y2－y1|；问题导入问题2：还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？

一般选择与坐标轴平行（或垂直）的直线构造直角三角形（相应的长度易用坐标表示。）

思考：在推导两点间距离公式时，勾股定理法与向量法比较，你有什么体会？问题导入用勾股定理推导平面上两点间的距离公式，不仅需要分情况讨论，还需要添加辅助线构造直角三角形，而向量法比用勾股定理推导方法简洁.课堂练习P74典型例题

一题多解

这个题目还有其他解法吗？看到“|PA|=|PB|”，你想到了什么？

课堂练习P79典型例题例4

用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．补充练习

如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－

|AC|2＝2|BD|2.证明如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系.设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0).思考在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题．你能回忆一下证明过程吗?比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会?上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为课堂小结

举一反三举一反三

yxPBAA’O5复习回顾平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，问题1.如图，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线

l的距离？xyOPQlP到直线

l的距离，即垂线段|PQ|的长度可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.问题1.如图，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线

l的距离？xyOPQl追问：求点P到直线

l的距离你还有什么方法？我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？问题1.如图，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线

l的距离？xyOPQl追问：求点P到直线

l的距离你还有什么方法？合作探究因此，点到直线

l

：Ax+By+C=0的距离

①运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；②分母是直线未知数x,y系数平方和的算术跟；③分子是P点代入直线方程；④直线方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解.例1求点P(-1,2)到直线l：3x=2的距离.方法1.

例2.已知