初一数学角度动态题目集锦

实用文档第12页（共61页）初一数学角度动态题目集锦一．解答题（共31小题）2．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．3．如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠NOC：∠MOC＝2：1，求∠AOC的度数；（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB对的角平分线，此时∠AOM与∠NOC满足怎样的数量关系？并说明理由．4．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，∠BON＝；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）5．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．（1）若∠COE＝20°，则∠BOD＝；若∠COE＝α，则∠BOD＝（用含α的代数式表示）（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．6．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．7．如图，将一副三角尺的直角顶点叠放在点C处，∠D＝30°，∠B＝45°，求：（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数．（2）若∠ACB＝120°，求∠DCE的度数．（3）猜想∠ACB和∠DCE的关系，并说明理由．8．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．9．已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求EOF的度数；（2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；（3）若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB＝∠BOC，∠COF＝∠AOC”，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）10．阅读解答过程，回答问题：如图，OC在∠AOB内，∠AOB和∠COD都是直角，且∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．解：过O作射线OM，使点M，O，A在同一直线上，因为∠MOD+∠BOD＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，所以∠BOC＝∠MOD，所以∠AOD＝180°﹣∠MOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣30°＝150°．（1）如果∠BOC＝60°，那么∠AOD等于多少度？如果∠BOC＝n°，那么∠AOD等于多少度？（2）如果∠AOB＝∠DOC＝x°，∠AOD＝y°，求∠BOC的度数．11．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．（1）三角板绕点O逆时针旋转一定的角度，当边OM在∠BOC的内部，ON在AB的下方时，①若∠BON＝10°，求∠COM的度数；②探究∠COM与∠BON之间的数量关系，并简单说明理由；（2）若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．12．将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝60°）按不同的位置摆放．（1）如图1，若边BD、BA在同一直线上，则∠EBC＝；（2）如图2，若∠EBC＝165°，那么∠ABD＝；（3）如图3，若∠EBC＝120°，求∠ABD的度数．13．已知：如图①，含有30°的三角板AOC（即∠AOC＝60°）的顶点O放在水平直线l上，设射线AC交直线l于点B，作OM平分∠AOB交AC于点M，作ON平分∠BOC交AC于点N．（1）若直线l恰好平分∠AOC，则∠MON＝度；（2）若直线l不平分∠AOC，即∠AOB≠∠BOC，试求∠MON的度数；（3）如图②，若三角板AOC绕点O沿逆时针方向旋转后，边OA、OC都在直线l的上方，且AC不平行于直线l，问：∠MON的度数是否保持不变？若不变，试求出∠MON的度数；若改变，试说明理由．14．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．（2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数；（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．15．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有和特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的大小关系．16．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝25°，∠ACB＝；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝；（2）猜想∠ACB与∠DCE大大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．17．（1）已知点A、B、C在数轴上对应的数分别为﹣4、2、1，若连结相关各点，数轴上会有若干条线段，如线段AC、CB等，请在数轴上标出线段AC的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE的长；（2）已知∠BOC与∠AOC有共同的始边OC，且满足∠BOC＝2∠AOC，射线OD平分∠AOB，若∠COD＝21°，求∠AOB的度数；（3）解题后请回顾（1）（2）小题，你发现解决以上两个小题运用了什么数学思想方法？请简单写出．18．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角）（1）图中一定有个直角；当t＝2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为，∠MOC的度数为．（2）当0＜t＜12时，若∠AOM＝3∠AON﹣60°，试求出t的值；（3）当0＜t＜6时，探究的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值．19．已知，如图（1），∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β（1）如图（2），若α＝90°，β＝30°，则，∠MON＝（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图（3）的位置，求∠MON（用α、β表示）（3）如图（4），若α＝2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由．20．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）．（1）求∠ACE的度数；（2）若CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数．21．已知：O为直线AB上的一点，射线OA表示北方向，射线OC在北偏东m°的方向，射线OE在南偏东n°的方向，射线OF平分∠AOE，且2m+2n＝180．（1）如图，∠COE＝°，∠COF和∠BOE之间的数量关系为．（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，试问（1）中∠BOE和∠COF之间的数量关系？请说明理由．（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，则∠BOE和∠COF之间的数量关系发生变化吗？如不变化，说明理由，如变化，写出新的数量关系并说明理由．22．数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小强的作法如下：①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；②在∠AOB处，再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线OC；③去掉三角板后得到的图形如图3．老师说小强的作法完全符合要求．请你回答：（1）小强画的∠AOB的度数是；（2）射线OC是∠AOB的平分线的依据是．23．【问题提出】已知∠AOB＝70°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度数．【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC的度数，解答过程如下：设∠BOC＝α，∴∠BOD＝3∠BOC＝3α，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，∴∠AOD＝∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝2α，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2α+3α＝5α＝70°，∴α＝14°，∴∠BOC＝14°问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数；【问题延伸】（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．【问题解决】综上所述：∠BOC的度数分别是．24．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°；当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合．解决如下问题：（1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是；（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；（3）若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是．（4）（选做题）当OAi所在的射线是∠AjOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α＜180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．25．如图，将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若∠BOC＝70°，则∠AOD＝．（2）如图2，若∠BOC＝50°，则∠AOD＝．（3）如图1，请猜想∠BOC与∠AOD的关系，并写出理由．26．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是；（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180．①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝．②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数．27．已知，如图，∠AOB＝90°．（1）操作发现：在同一平面内，以点O为顶点，OA为始边画出∠AOC，使∠AOC＝60°；观察图形后请直接写出∠COB的度数为；（2）探究延伸：在（1）的条件下画出∠COB的平分线OD，画出∠AOC的平分线OE，观察图形后请直接写出∠DOE的度数为；（3）探究拓展：在（2）的条件下，若将“∠AOC＝60°”改为“∠AOC＝2a（0°＜a＜45°）”其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．28．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为；（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时，求∠MON的大小，写出解答过程；（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝°．29．如图，两个形状．大小完全相同的含有30゜、60゜的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：∠DPC＝90゜；（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3゜/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2゜/秒，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则∠BPN＝，∠CPD＝（用含有t的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，正确的是（填写你认为正确结论的对应序号）．30．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝．31．如图1，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向，已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向为北偏东n°，且m°的角与n°的角互余．（1）①若m＝60，则射线OC的方向是．（直接填空）②请直接写出图中所有与∠BOE互余的角及与∠BOE互补的角．（2）如图2，若射线OA是∠BON的平分线，①若m＝70，则∠AOC＝．（直接填空）②若m为任意角度，求∠AOC的度数．（结果用含m的式子表示）

初一数学角度动态题目集锦参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）2．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOM＝∠MOC，由∠NOM＝90°，可知∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°，根据等角的余角相等可知∠AON＝∠NOC；（2）根据题意可知∠NOC+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，由∠BOM＝90°﹣∠NOB、∠BON＝60°﹣∠NOC可得到∠BOM＝∠NOC+30°．【解答】解：（1）ON平分∠AOC．理由如下：∵∠MON＝90°，∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°．又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM＝∠MOC，∴∠AON＝∠NOC．∴ON平分∠AOC．（2）∠BOM＝∠NOC+30°．理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°．∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM＝∠NOC+30°．【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，根据等角的余角相等证得∠AON＝∠NOC是解题的关键．3．如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠NOC：∠MOC＝2：1，求∠AOC的度数；（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB对的角平分线，此时∠AOM与∠NOC满足怎样的数量关系？并说明理由．【分析】（1）根据角的倍分关系，以及角的和差关系即可求解；（2）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．【解答】解：（1）∵∠NOC：∠MOC＝2：1，∴∠MOC＝90°×＝30°，∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝90°+30°＝120°．（2）∠AOM＝2∠NOC，令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，∴∠AOM＝2∠NOC．【点评】此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系．4．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，∠BON＝60°；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）【分析】（1）依据∠AOC＝120°，可得∠BOC＝180°﹣120°＝60°，再根据OM平分∠BOC，可得∠BOM＝30°，最后依据∠NOM＝90°，即可得出∠BOM＝90°﹣30°＝60°；（2）依据∠AOP＝∠BOM＝60°，∠AOC＝120°，即可得到∠AOP＝∠AOC，进而得到射线OP是∠AOC的平分线；（3）依据∠AOC＝120°，∠MON＝90°，即可得到∠AON＝120°﹣∠NOC，∠AON＝90°﹣∠AOM，进而得到120°﹣∠NOC＝90°﹣∠AOM，据此可得∠NOC与∠AOM之间的数量关系．【解答】解：（1）如图②，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM＝30°，又∵∠NOM＝90°，∴∠BOM＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60°；（2）如图③，∵∠AOP＝∠BOM＝60°，∠AOC＝120°，∴∠AOP＝∠AOC，∴射线OP是∠AOC的平分线；（3）如图④，∵∠AOC＝120°，∴∠AON＝120°﹣∠NOC，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∴120°﹣∠NOC＝90°﹣∠AOM，即∠NOC﹣∠AOM＝30°．【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是利用角的和差关系进行计算．5．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．（1）若∠COE＝20°，则∠BOD＝40°；若∠COE＝α，则∠BOD＝2α（用含α的代数式表示）（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．【分析】（1）先根据直角计算∠DOE的度数，再同角平分线的定义计算∠AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；（2）设∠BOD＝β，则∠AOD＝180°﹣β，根据角平分线的定义表示∠BOE，再利用互余的关系求∠COE的度数，可得结论．【解答】解：（1）若∠COE＝20°，∵∠COD＝90°，∴∠EOD＝90°﹣20°＝70°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝140°，∴∠BOD＝180°﹣140°＝40°；若∠COE＝α，∴∠EOD＝90﹣α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90﹣α）＝180﹣2α，∴∠BOD＝180°﹣（180﹣2α）＝2α；故答案为：40°；2α；（2）如图2，∠BOD＝2∠COE，理由是：设∠BOD＝β，则∠AOD＝180°﹣β，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝∠AOD＝＝90°﹣，∵∠COD＝90°，∴∠COE＝90°﹣（90°﹣）＝，即∠BOD＝2∠COE．【点评】本题考查了余角的定义，角平分线的定义和平角的定义，以及角的和差关系，熟练掌握平角和余角的定义是关键，并注意利用数形结合的思想．6．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据：角度＝速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．（2）①由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．②通过计算分析OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．【解答】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB＝∠NOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴90°﹣3°t＝75°，解得：t＝5．此时∠MOA＝3°×5＝15°＝∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9°t﹣3°t＝90°÷2，解得t＝2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9°t﹣3°t＝180°+90°÷2，解得t＝32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9°t＝（90°﹣3°t）÷2，解得t＝14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）＝（3°t﹣90°）÷2，解得t＝38．故EF能平分∠NOB，t的值为14或38s．【点评】本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．7．如图，将一副三角尺的直角顶点叠放在点C处，∠D＝30°，∠B＝45°，求：（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数．（2）若∠ACB＝120°，求∠DCE的度数．（3）猜想∠ACB和∠DCE的关系，并说明理由．【分析】（1））由∠ACD＝∠BCE＝90°，根据图形可知∠ACB＝180°﹣∠DCE；（2）由∠ACD＝∠BCE＝90°，根据图形可知∠DCE＝180°﹣∠ACB；（3）由∠ACD＝∠BCE＝90°，得出∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，即可证出∠ACB+∠DCE＝180°．【解答】解：（1）∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°∴∠DCB＝90°﹣35°＝55°∵∠ACD＝90°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝145°．（2）∵∠ACB＝120°，∠ACD＝90°∴∠DCB＝120°﹣90°＝30°∵∠ECB＝90°∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°．（3）猜想得∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB∴∠ACB+∠DCE＝180°．【点评】本题考查了余角和补角的定义；弄清两个角之间的互余和互补关系是解题的关键．8．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为11或47（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数；（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（3）根据∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分别求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系．【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝110°∴∠AOC＝70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t＝55°解得t＝11；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°，∴∠AOM＝55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，由题意得，5t＝235°，解得t＝47，综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；故答案为：11或47；（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°．【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的长是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用．9．已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求EOF的度数；（2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；（3）若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB＝∠BOC，∠COF＝∠AOC”，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）【分析】（1）首先求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF＝∠EOC+∠COF即可求解；（2）根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC），即可求解；（3）根据角的等分线的定义可得∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB，即可求解．【解答】解：（1）∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝∠BOC＝×60°＝30°，∠COF＝∠AOC＝×30°＝15°，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝30°+15°＝45°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝∠BOC，∠COF＝∠AOC，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝a；（3）∵∠EOB＝∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC，又∵∠COF＝∠AOC，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝a．【点评】本题考查了角度的计算，理解角的平分线的定义以及角度的和、差之间的关系是关键．10．阅读解答过程，回答问题：如图，OC在∠AOB内，∠AOB和∠COD都是直角，且∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．解：过O作射线OM，使点M，O，A在同一直线上，因为∠MOD+∠BOD＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，所以∠BOC＝∠MOD，所以∠AOD＝180°﹣∠MOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣30°＝150°．（1）如果∠BOC＝60°，那么∠AOD等于多少度？如果∠BOC＝n°，那么∠AOD等于多少度？（2）如果∠AOB＝∠DOC＝x°，∠AOD＝y°，求∠BOC的度数．【分析】（1）利用角的和与差，即可解答；（2）利用角的和与差，即可解答．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°．∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°．∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝30°+90°＝120°．若∠BOC＝n°，则∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝（90﹣n）°．∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝（90﹣n）°+90°＝（180﹣n）°．（2）∵∠AOB＝x°，∠AOD＝y°．∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝（y﹣x）°．∴∠BOC＝∠DOC﹣∠BOD＝x°﹣（y﹣x）°＝（2x﹣y）°．【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用角的和与差进行计算，即可解答．11．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．（1）三角板绕点O逆时针旋转一定的角度，当边OM在∠BOC的内部，ON在AB的下方时，①若∠BON＝10°，求∠COM的度数；②探究∠COM与∠BON之间的数量关系，并简单说明理由；（2）若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为5或23（直接写出结果）．【分析】（1）①依据∠BON＝10°，∠MON＝90°，即可得到∠BOM＝80°，再根据∠BOC＝100°，即可得出∠COM的度数；②依据∠BOC＝100°，∠MON＝90°，可得∠BOM＝100°﹣∠COM，∠BOM＝90°﹣∠BON，进而得到∠COM﹣∠BON＝10°；（2）分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角∠AOC，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值．【解答】解：（1）①∵∠BON＝10°，∠MON＝90°，∴∠BOM＝80°，又∵∠BOC＝100°，∴COM＝100°﹣80°＝20°；②∵∠BOC＝100°，∠MON＝90°，∴∠BOM＝100°﹣∠COM，∠BOM＝90°﹣∠BON，∴100°﹣∠COM＝90°﹣∠BON，即∠COM﹣∠BON＝10°；（2）∵∠BOC＝100°∴∠AOC＝80°，如备用图，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠BON＝∠AOC＝40°，此时，三角板旋转的角度为90°﹣40°＝50°，∴t＝50°÷10°＝5；当ON在∠AOC的内部时，三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣40°＝230°，∴t＝230°÷10°＝23；故答案为：5或23．【点评】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．12．将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝60°）按不同的位置摆放．（1）如图1，若边BD、BA在同一直线上，则∠EBC＝150°；（2）如图2，若∠EBC＝165°，那么∠ABD＝15°；（3）如图3，若∠EBC＝120°，求∠ABD的度数．【分析】（1）由∠EBC＝∠DBE+∠ABC，可得结果；（2）由∠ABD＝∠CBE﹣∠ABC﹣∠DBE，可得结果；（3）由∠ABD＝∠ABC+∠DBE﹣∠EBC可得结果．【解答】解：（1）∠EBC＝∠DBE+∠ABC＝90°+60°＝150°；故答案为：150°；（2）∠ABD＝∠CBE﹣∠ABC﹣∠DBE＝165°﹣90°﹣60°＝15°；故答案为：15°；（3）∠ABD＝∠ABC+∠DBE﹣∠EBC＝90°+60°﹣120°＝30°．∴∠ABD的度数为：30°．【点评】本题主要考查了角的计算，数形结合是解答此题的关键．13．已知：如图①，含有30°的三角板AOC（即∠AOC＝60°）的顶点O放在水平直线l上，设射线AC交直线l于点B，作OM平分∠AOB交AC于点M，作ON平分∠BOC交AC于点N．（1）若直线l恰好平分∠AOC，则∠MON＝30度；（2）若直线l不平分∠AOC，即∠AOB≠∠BOC，试求∠MON的度数；（3）如图②，若三角板AOC绕点O沿逆时针方向旋转后，边OA、OC都在直线l的上方，且AC不平行于直线l，问：∠MON的度数是否保持不变？若不变，试求出∠MON的度数；若改变，试说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOB＝∠BOC＝30°，∠MOB＝∠NOB＝×30＝15°，根据角的和差即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠MOB＝AOB，∠NOB＝COB，于是得到结论；（3）根据角平分线的定义得到∠MOB＝AOB，∠NOB＝COB，于是得到结论．【解答】解：（1）∵直线l恰好平分∠AOC，∴∠AOB＝∠BOC＝30°，∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠MOB＝∠NOB＝×30＝15°，∴∠MON＝15°+15°＝30°；故答案为：30；（2）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠MOB＝AOB，∠NOB＝COB，∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝AOB+BON＝（∠AOB+∠COB）＝AOC＝60°＝30°；（3）∠MON的度数不变，理由：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠MOB＝AOB，∠NOB＝COB，∴∠MON＝∠MOB﹣∠BON＝AOB﹣BON＝（∠AOB﹣∠COB）＝AOC＝60°＝30°．【点评】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．14．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．（2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数；（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义即可求解；（2）根据角平分线的定义和平角的定义求得∠AOC的度数，再根据角的和差关系即可求解；（3）根据角的和差关系即可求解．【解答】解：（1）当OD平分∠AOB时，OC也平分∠AOE，∵OD平分∠AOB时，∴∠AOD＝∠DOB，∵∠AOC+∠AOD＝90°，∴∠COE+∠DOB＝90°，∴∠AOC＝∠COE，∴OC也平分∠AOE；（2）∵OC所在的直线平分∠AOE，∴∠AOC＝×（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠AOD＝90°﹣67.5°＝22.5°；（3）当∠AOD在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOD+∠COD＝∠AOB+∠COD＝45°+90°＝135°；当∠AOD在∠AOB外部时，①旋转角度大于45度而小于等于90度，∠BOC﹣∠AOD＝∠AOB+∠COD＝45°+90°＝135°；②旋转角度大于90度而小于等于180度，∠BOC+∠AOD＝360°﹣90°﹣45°＝225°．【点评】此题考查了角平分线的定义，角的计算，关键是观察图形得到角与角之间的关系．15．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝145°；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝40°；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有和特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的大小关系．【分析】（1）若∠DCE＝35°，根据90°计算∠ACE的度数，再利用和计算∠ACB的度数；若∠ACB＝140°，同理，反之计算可得结果；（2）先计算：∠ACB＝90°+∠BCD，再加上∠DCE可得结果；（3）先计算∠DAB＝60°+∠CAB，再加上∠CAE可得结果；（4）先计算∠AOD＝β+∠COA，再加上∠BOC可得结果．【解答】解：（1）若∠DCE＝35°，∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝55°+90°＝145°；若∠ACB＝140°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，故答案为：145°；40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，＝90°+∠BCD，∴∠ACB+∠DCE，＝90°+∠BCD+∠DCE，＝90°+∠BCE，＝180°；（3）∠DAB+∠CAE＝120°，理由如下：∵∠DAB＝∠DAC+∠CAB，＝60°+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE，＝60°+∠CAB+∠CAE，＝60°+∠EAB，＝120°；（4）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由是：∵∠AOD＝∠DOC+∠COA＝β+∠COA，∴∠AOD+∠BOC＝β+∠COA+∠BOC，＝β+∠AOB，＝α+β．【点评】本题考查了余角和补角的定义，熟知如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，注意角的和与差．16．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝25°，∠ACB＝155°；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝50°；（2）猜想∠ACB与∠DCE大大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根据∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，∵∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，故答案为：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE＝∠ACD+∠BCE＝180°；（3）∠DAB+∠CAE＝120°，理由如下：∵∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE＝∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE＝∠DAC+∠BAE＝120°；（4）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β．【点评】本题考查了角的有关计算的应用，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键，求解过程类似．17．（1）已知点A、B、C在数轴上对应的数分别为﹣4、2、1，若连结相关各点，数轴上会有若干条线段，如线段AC、CB等，请在数轴上标出线段AC的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE的长；（2）已知∠BOC与∠AOC有共同的始边OC，且满足∠BOC＝2∠AOC，射线OD平分∠AOB，若∠COD＝21°，求∠AOB的度数；（3）解题后请回顾（1）（2）小题，你发现解决以上两个小题运用了什么数学思想方法？请简单写出．【分析】（1）分类讨论，E在C的左侧和右侧两种情况，由数轴上两点间的距离公式即可求得；（2）此题可以设∠AOC＝x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算；（3）分类思想、方程思想、数形结合．【解答】解：（1）如图，D所表示的数是﹣1.5；设E的坐标为x，则|x﹣1|＝2﹣（﹣4）＝6，解得：x＝7或﹣5，∴DE＝|7﹣（﹣1.5）|＝8.5，或|﹣5﹣（﹣1.5）|＝3.5；（2）当OA在∠BOC的外部时，如图1，设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝21°，∴x＝42°，∴∠AOB＝126°；当OA在∠BOC的内部时，如图2，设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝0.5x，∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝0.5x+x＝21°，∴x＝14°，∴∠AOB＝14°；（3）解了以上两题后，发现以上两小题都用了分类思想、方程思想、数形结合．【点评】本题考查了数轴的性质，角的有关计算，在计算过程中把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，借助方程是运算简单，同时注意分类，不漏不重复．18．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角）（1）图中一定有4个直角；当t＝2时，∠MON的度数为144°，∠BON的度数为114°，∠MOC的度数为60°．（2）当0＜t＜12时，若∠AOM＝3∠AON﹣60°，试求出t的值；（3）当0＜t＜6时，探究的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值．【分析】（1）根据两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t＝2时，根据射线OM，ON的位置，可得∠MON的度数，∠BON的度数以及∠MOC的度数；（2）分两种情况进行讨论：当0＜t≤7.5时，当7.5＜t＜12时，分别根据∠AOM＝3∠AON﹣60°，列出方程式进行求解，即可得到t的值；（3）先判断当∠MON为平角时t的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t＜时，当＜t＜6时，分别计算的值，根据结果作出判断即可．【解答】解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角；当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°，∠MOC＝90°﹣30°＝60°；故答案为：4；144°，114°，60°；（2）当ON与OA重合时，t＝90÷12＝7.5（s），当OM与OA重合时，t＝180°÷15＝12（s），如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON＝90°﹣12t°，∠AOM＝180°﹣15t°，由∠AOM＝3∠AON﹣60°，可得180°﹣15t°＝3（90°﹣12t°）﹣60°，解得t＝；如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON＝12t°﹣90°，∠AOM＝180°﹣15t°，由∠AOM＝3∠AON﹣60°，可得180°﹣15t°＝3（12t°﹣90°）﹣60°，解得t＝10；综上所述，当∠AOM＝3∠AON﹣60°时，t的值为s或10s；（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t°+90°+12t°＝180°，解得t＝，①如图所示，当0＜t＜时，∠COM＝90°﹣15t°，∠BON＝90°+12t°，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t°+90°+12t°，∴＝＝（不是定值），②如图所示，当＜t＜6时，∠COM＝90°﹣15t°，∠BON＝90°+12t°，∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t°+90°+12t°）＝270°﹣27t°，∴＝＝＝3（定值），综上所述，当0＜t＜时，的值不是定值，当＜t＜6时，的值是3．【点评】本题属于角的计算综合题，主要考查了角的和差关系的运用，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．19．已知，如图（1），∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β（1）如图（2），若α＝90°，β＝30°，则，∠MON＝60°（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图（3）的位置，求∠MON（用α、β表示）（3）如图（4），若α＝2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由．【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出∠MON＝∠AOD+∠BOC，进而求出即可；（2））设∠BOD＝γ，而∠MOD＝＝，∠NOB＝＝，进而得出即可；（3）利用已知表示出∠COE和∠AOD，进而得出答案．【解答】解：（1）∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β，α＝90゜，β＝30゜，∴∠MON＝α+β＝60°；故答案为：60°；（2）设∠BOD＝γ，∵∠MOD＝＝，∠NOB＝＝，∴∠MON＝∠MOD+∠NOB﹣∠DOB＝+﹣γ＝；（3）设运动时间为t秒，则∠DOB＝3t﹣t＝2t，∠DOE＝∠DOB＝t，∴∠COE＝β+t．∠AOD＝α+2t，又∵α＝2β，∴∠AOD＝2β+2t＝2（β+t）．∴＝，∴∠AOD＝2∠COE．【点评】此题主要考查了角的计算，正确根据角平分线的性质应用α，β表示角是解题关键．20．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）．（1）求∠ACE的度数；（2）若CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数．【分析】（1）直接利用直角三角形各内角度数进而得出∠ACE的度数；（2）首先得出∠BCE的度数，再结合角平分线的性质得出答案．【解答】解：（1）∵把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上），∴∠ACE＝180°﹣∠ECD＝120°；（2）∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝120°﹣45°＝75°，∵CF是∠BCE的平分线，∴∠FCE＝∠BCF＝37.5°．【点评】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确利用直角三角形各内角度数是解题关键．21．已知：O为直线AB上的一点，射线OA表示北方向，射线OC在北偏东m°的方向，射线OE在南偏东n°的方向，射线OF平分∠AOE，且2m+2n＝180．（1）如图，∠COE＝90°，∠COF和∠BOE之间的数量关系为∠BOE＝2∠COF．（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，试问（1）中∠BOE和∠COF之间的数量关系？请说明理由．（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，则∠BOE和∠COF之间的数量关系发生变化吗？如不变化，说明理由，如变化，写出新的数量关系并说明理由．【分析】（1）根据方向角的定义，以及∠COE＝180﹣m﹣n，即可根据角的和差关系进行求解；（2）根据∠COF＝90°﹣∠EOF，∠EOF＝∠AOE＝（180°﹣∠DOE）＝∠BOE即可证得；（3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求得∠BOE和∠COF之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，∵2m+2n＝180，∴m+n＝90，∵∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝180°﹣m°﹣n°＝90°；∵射线OF平分∠AOE，∴∠AOF＝（180°﹣∠BOE）＝（180°﹣n°），∴∠COF＝（180°﹣n°）﹣m°，由m+n＝90可知，m＝90﹣n，∴∠COF＝（180°﹣n°）﹣m°＝（180°﹣n°）﹣90°+n°＝n°，∴∠BOE＝2∠COF．故答案为：90，∠BOE＝2∠COF；（2）∠BOE和∠COF之间的数量关系不发生变化．证明如下：如图2，∵∠COE＝90°∴∠COF＝90°﹣∠EOF＝90°﹣∠AOE＝90°﹣（180°﹣∠BOE）＝90°﹣90°+∠BOE＝∠BOE∴∠BOE＝2∠COF；（3）∠BOE+2∠COF＝360°．理由：如图3，∵∠COF＝∠COE+∠EOF＝90°+∠EOF，∴∠EOF＝∠COF﹣90°，∵∠BOE＝180°﹣∠EOA，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，即180°﹣∠BOE＝2（∠COF﹣90°），∴∠BOE+2∠COF＝360°．【点评】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义的运用，对定义的熟练掌握是解题的关键．解题时注意角的和差关系的运用．22．数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小强的作法如下：①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；②在∠AOB处，再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线OC；③去掉三角板后得到的图形如图3．老师说小强的作法完全符合要求．请你回答：（1）小强画的∠AOB的度数是150°；（2）射线OC是∠AOB的平分线的依据是∠BOC＝∠AOB．【分析】（1）按照把摆放的三角板，利用三角板中的特殊角可计算出∠AOB的度数；（2）按照把摆放的三角板，利用三角板中的特殊角可计算出∠BOC的度数，从而可得∠BOC＝∠AOB，所以射线OC是∠AOB的平分线．【解答】解：（1）∠AOB＝60°+90°＝150°；故答案为150°；（2）∠BOC＝30°+45°＝75°，所以∠BOC＝∠AOB．故答案为150°；∠BOC＝∠AOB．【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．23．【问题提出】已知∠AOB＝70°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度数．【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC的度数，解答过程如下：设∠BOC＝α，∴∠BOD＝3∠BOC＝3α，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，∴∠AOD＝∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝2α，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2α+3α＝5α＝70°，∴α＝14°，∴∠BOC＝14°问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数；【问题延伸】（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．【问题解决】综上所述：∠BOC的度数分别是14°，30°，10°或42°．【分析】根据题意和小明的分析，可以得到符合要求的还有三种情况，然后针对存在的三种情况，画出相应的图形，然后进行计算，即可得到∠BOC的度数，从而可以解答本题．【解答】解：（1）②如下图2所示，设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，∵∠AOD＝∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝，∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3α＝＝70°，∴α＝30°．∴∠BOC＝30°；（2）当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，∵∠BOC＜45°，∠AOD＝∠AOC，∴射线OD的位置也只有两种可能；①若射线OD在∠AOB内部，如图3所示，∵∠COD＝∠BOC+∠BOD＝4α，∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝3α+4α＝7α＝70°，∴α＝10°，∴∠BOC＝10°；②若射线OD在∠AOB外部，如图4所示，∵∠COD＝∠BOC+∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝α，∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3α﹣＝＝70°，∴α＝42°，∴∠BOC＝42°；由上可得，∠BOC的度数分别是14°，30°，10°，42°．故答案为：14°，30°，10°或42°．【点评】本题考查角的计算，解题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答问题．24．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°；当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合．解决如下问题：（1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是45°；（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；（3）若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是，，（）°．（4）（选做题）当OAi所在的射线是∠AjOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α＜180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OAi是∠AiOAK是的角平分线，但当a＝120度时，只有两条射线，不会出现OAi是∠AjOAK是的角平分线，所以旋转会中止．【解答】解：（1）解：如图所示．∠a＝45°，（2）解：如图所示．∵α＜30°，∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．∵OA4平分∠A2OA3，∴2（180°﹣6α）+＝4α，解得：．（3），，（）°（4）对于角α＝120°不能停止．理由如下：无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OAi是∠AjOAK是的角平分线，所以旋转会停止．但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1＝120°，第二次旋转240°时，与OM重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OAi是∠AjOAK是的角平分线这种情况，旋转不会停止．【点评】本题主要考察角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．25．如图，将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若∠BOC＝70°，则∠AOD＝110°．（2）如图2，若∠BOC＝50°，则∠AOD＝130°．（3）如图1，请猜想∠BOC与∠AOD的关系，并写出理由．【分析】（1）∠BOC和∠BOD互余，故∠BOD＝20°，故可知∠AOD的度数．（2）利用∠BOC与∠AOD互补求∠AOD度数．（3）根据角的互补，叠和部分恰好为∠AOD的补角，故∠BOC和∠AOD的和始终等于180度．【解答】解：（1）∵∠BOC+∠BOD＝90，∠BOC＝70°，∴∠BOD＝20°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝110°．故答案为110°．（2）∵∠AOB＝∠DOC＝90°，又∵∠AOB+∠AOD+∠DOC+∠BOC＝360°，∴∠BOC+∠AOD＝180°∵∠BOD＝40°，∴∠AOD＝180﹣∠BOC＝130°．故答案为130°．（3）结论：∠BOC+∠AOD＝180°．理由：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝（90°﹣∠AOC）+（90°+∠AOC）＝90°﹣∠AOC+90°+∠AOC＝180°，∴∠BOC+∠AOD＝180°．【点评】本题考查了角的互余和角的互补的概念，以及角的和差定义，正确计算是解决本题关键．26．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是60°；（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180．①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝60、90、150．②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数．【分析】（1）根据∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝90°，而∠AOD＝∠COD＝30°，代入即可求出结论；（2）①在旋转的过程中，能够发现∠COD的一边与∠AOB的一边垂直共有三种情况，分别求出每种情况下旋转的度数即可；②根据角与角之间的关系，将直接求∠MON得度数转换成求∠AOM，∠DON的度数，再依照角的关系即可求得结论．【解答】解：（1）∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60°．（2）①∵0＜n＜180，∴分三种情况．a：点D在射线0B上，∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°；b：点C在射线OB上，∠AOC＝∠AOB＝90°；c：点D在AO的延长线上，∠AOC＝180°﹣∠COD＝180°﹣30°＝150°．综上得n为60、90、150．故答案为：60、90、150．②∵∠AOC＝n°，OM平分∠AOC，∴∠AOM＝n°，∠AOD＝∠AOC+∠COD＝n°+30°，∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝n°+30°﹣90°＝n°﹣60°，∵ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝×（n°﹣60°）＝n°﹣30°，∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝n°+30°﹣n°﹣（n°﹣30°）＝60°【点评】本题考查了角的计算，解题的关键是依照题意找到角与角的关系，列对关系式．27．已知，如图，∠AOB＝90°．（1）操作发现：在同一平面内，以点O为顶点，OA为始边画出∠AOC，使∠AOC＝60°；观察图形后请直接写出∠COB的度数为30°或150°；（2）探究延伸：在（1）的条件下画出∠COB的平分线OD，画出∠AOC的平分线OE，观察图形后请直接写出∠DOE的度数为45°；（3）探究拓展：在（2）的条件下，若将“∠AOC＝60°”改为“∠AOC＝2a（0°＜a＜45°）”其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．【分析】（1）分两种情况：当∠AOC在∠AOB内部时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC；当∠AOC在∠AOB外部时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC，计算可得；（2）在前两种情况中，分别计算出∠COD、∠COE的度数，内部时∠COD+∠COE、外部时∠COD﹣∠COE可得；（3）计算方法同（2）一致．【解答】解：（1）有两种情况：分∠AOC在∠AOB的内部和外部．①当∠AOC在∠AOB内部时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°；②当∠AOC在∠AOB外部时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°；（2）如图：①当∠AOC在∠AOB内部时，∵∠AOC＝30°，OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝30°，由（1）知∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOC＝15°，∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝45°；②当∠AOC在∠AOB外部时，∵∠AOC＝30°，OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝30°，由（1）知，∠BOC＝150°，OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOC＝75°，∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝45°；综上，∠DOE度数为45°．（3）能，①当OC在∠AOB内部时，∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，∴∠BOC＝90°﹣2α．∵OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC，∴∠DOC＝∠BOC＝45°﹣α，∠COE＝∠AOC＝α，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝45°；②当OC在∠AOB外部时，∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，∴∠BOC＝90°+2α．∵OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC，∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α，∠COE＝∠AOC＝α，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°．综上，∠DOE的度数为45°．故答案为：（1）30°或150°，（2）45°．【点评】本题主要考查利用角平分线进行角的计算，这里分OC在角的内部和外部两种情况计算是前提，属中档题．28．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为37.5°；（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时，求∠MON的大小，写出解答过程；（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝37.5或142.5°．【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得∠MON＝（∠AOB+∠COD）；（2）根据图示可以求得：∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°．然后结合角平分线的定义推知∠C