中考培优班复习-函数题型及方法总结

中考培优班复习——函数题型及方法总结●中考点击考点分析：内容要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点Ⅰ2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系Ⅰ3、一次函数的概念和图像Ⅰ4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图Ⅱ5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用Ⅱ6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题Ⅱ命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能从图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．分析宁波市近年中考，预计2015年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．●难点透视图3-1例1如图3-1，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为图3-1A.(0，0)B.C.D.【考点要求】本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学方法之一．当线段AB最短时AB⊥BO，又由点B在直线上可知∠AOB=45°，且OA=1，过点B作x轴的垂线，根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B坐标为，【答案】选B．【误区警示】部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线BO解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出AB直线的解析式，利用方程组求出交点坐标。解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式。例2若M、N、P三点都在函数（ｋ＜0）的图象上，则的大小关系为（）A、＞＞B、＞＞C、＞＞D、＞＞【考点要求】本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小．【思路点拨】反比例函数当k＜0时，其图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，结合图象可知，＞＞，【答案】选B．【误区警示】部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质，容易错误的理解成“当k＜0时，图象位于二、四象限，y随x的增大而增大”。突破方法：不单纯的根据性质进行判断，而是画出图象，结合草图进行判断。解题关键：反比例函数图象及性质在描述时，因为是双曲线，所以一定要说明“在每一象限内”这一前提。例3在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C，如图3-3，点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO图图3-3设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式（1），，，。。（2），.【答案】（1）；（2）。【方法点拨】部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难。突破方法：由BO＝CO且点C的坐标为（0，－3）可推知点B的坐标为（3，0），然后代入求解。例4一次函数y=x+b与反比例函数图像的交点为A(m，n)，且m，n(m<n)是关于x的一元二次方程kx2+(2k-7)x+k+3的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m，n为常数．（1）求k的值；（2）求A的坐标与一次函数解析式．【考点要求】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与x轴的交点横坐标是其对应的一元二次方程的两个根．【思路点拨】（1）由方程有两个不相等的实数根，得：△==∴又∵k为非负整数∴k=0，1当k=0时，方程kx2+(2k-7)x+k+3=0不是一元二次方程，与题设矛盾∴k=1（2）当k=1时，方程x2-5x+4=0∴∵m<n∴m=1n=4即A点的坐标为（1，4）把A（1，4）坐标代入y=x+b得b=3∴所求函数解析式为y=x+3【答案】（1）k=1；（2）A（1，4），函数解析式为y=x+3。【方法点拨】因本题涉及一元二次方程及二次函数相关问题，部分学生综合运用遇到困难。突破方法：要求k的值，与之相关的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此根据根的判别式可求出k的取值范围，再结合其它条件求出k的值。例5如图3-6，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2,0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；图3-6（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由图3-6【考点要求】本题考查求二次函数解析式，并探索抛物线上点的存在性，培养学生分析问题，解决问题的综合能力．【思路点拨】（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=.过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=，BD=，∴点B的坐标为()．（2）将A(2,0)、B()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得解方程组，有a=，b=，c=0.∴所求二次函数解析式是y=x2+x.（3）设存在点C（x,x2+x）（其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大.∵△OAB面积为定值，∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则S△OBC=S△OCF+S△BCF==，而|CF|==，∴S△OBC=.∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为.【答案】（1）B；（2）y=x2+x；（3）存在点C坐标为()，此时四边形ABCO的面积最大为。【方法点拨】（1）解题方法较为灵活，容易解决。（2）因为已具备图象上三点坐标，可直接设为一般式，代入三点求解；也可以设为两根式，再代入点B坐标求解。（3）关键要抓住四边形ABCO的面积由两部分组成，其中△OAB面积为定值，因此要四边形面积最大，问题转化为判断△OBC面积是否存在最大值。●拓展演练第2题图1.双曲线和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝____________第2题图2.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C，且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，则y与x的关系式是（）A．y=5xB．y=xC．y=xD．y=x第3题图3.如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上．现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为，运动的距离为．下面表示与的函数关系式的图象大致是（）第3题图AABCD4．若二次函数，当x取时，函数值相等，则当x取时，函数值为（）A．a+c

B．a－c

C．－c

D．c5．抛物线的一部分如图所示，该抛物线在轴右侧部分与轴交点的坐标是A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）6．抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＜0；④＜0.其中正确的结论是（

）A．①②

B．②③

C．②④

D．③④yyOx-1-212-33-112-2第5题图第第6题图第7题图7．如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S△FAE∶S四边形AOCE＝1第7题图（1）求