江苏省常州市联盟学校2024届高三上学期10月学情调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市联盟学校2024届高三上学期10月学情调研数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，所以，又，所以.故选：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗的解集是，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B.3.设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗对于A选项：不妨设平面，，平面，平面，则有，，但与不垂直，故A选项错误.对于B选项：若，，则或与相交，即与不一定垂直，故B选项错误.对于C选项：设平面且，若，则有，又，所以，结合、平面，所以有，故C选项正确.对于D选项：若，，则或，故D选项错误.故选：C.4.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圆台的侧面展开图是个扇环，，所以圆台的高，则，故选：B.5.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示幸福感指数越高．已知甲、乙、丙、丁4人的幸福感指数分别为：；；；，则这4人的幸福感指数最高的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗B〖解析〗，，，所以，，所以这4人的幸福感指数最高的是乙.故选：B.6.如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由图可知，当或时，函数值都大于零，对A：当时，，故排除A；对B：当时，，故排除B；对C：当时，，，故排除C；故选：D.7.已知直线与曲线相切，则实数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设切点为，则，故切线方程为，即，由于是切线，所以，故，化简得，解得，所以，故选：A8.已知函数，设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知函数，设，若关于x的不等式在上恒成立，当时，，，，当时，，，当时，，则.当时，，则，，，当时，，函数单调递减，则；，，当时，，函数单调递增，则，所以.综上，.故选：A.二、多选题9.下列命题正确的是（）A.若随机变量的方差为，则B.对于随机事件与，若，，则事件与独立C.设随机变量服从正态分布，若，则D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关〖答案〗BC〖解析〗对于A，由，得，故A错误；对于B，由,而，则,所以,即事件与相互独立，故B正确；对于C，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故C正确；对于D，由，所以没有的把握认为与有关，故D错误.故选：BC.10.下列命题中正确的是（）A.若幂函数的图像过点，则B.若函数在R上单调递增，则a的取值范围是C.已知，，且，则的最小值为D.已知函数满足，且与的图象的交点坐标依次为，则〖答案〗AC〖解析〗A选项，，将代入得，，解得，故，A正确；B选项，当时，，其图象如下：满足在R上单调递增，故B错误；C选项，已知，，且，，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为，C正确；D选项，，故关于中心对称，又，，故关于中心对称，所以与的图象的交点关于中心对称，则，，，D错误.故选：AC.11.已知函数，其中，则（）A.不等式对恒成立B.若关于x的方程有且只有两个实根，则k的取值范围C.方程恰有3个实根D.若关于x的不等式恰有1个正整数解，则a的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，，当或时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，∴在出取得极小值，，在处取得极大值，，而时，恒有成立，∴的最小值是，即，对恒成立，故A正确；对于B选项，方程有且只有两个实根，即曲线与直线有且只有两个交点，由A选项分析，曲线与直线图像如下，由图知，当或时，曲线与直线有且只有两个交点，故B错误；对于C选项，由，得，解得，令，和，而，由图像知，和分别有两解：综上，方程共有4个根，C错误；对于D选项，直线过原点，且，，，记，，，易判断，，不等式恰有1个正整数解，即曲线在的图像上方对应的x值恰有1个正整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD12.已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（）A.是奇函数 B.是偶函数C.是曲线的一个对称中心 D.〖答案〗BCD〖解析〗取得到，解得，故A错误；取得到，故，函数为偶函数，B正确；取得到，故，取，则，故是曲线的一个对称中心，C正确；，即，，故，是函数的一个周期，，D正确.故选：BCD.三、填空题13.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度．假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要___________min．〖答案〗60〖解析〗由题设，所以.故〖答案〗为：60.14.已知函数，则函数的值域为__________．〖答案〗〖解析〗由于，由，得，解得，即函数的定义域为,．，又，，，故函数的值域为，故〖答案〗为：15.甲箱中有两个白球三个红球，乙箱中有一个白球三个红球，先从甲箱中取一球放入乙箱，再从乙箱中任取一球，则从乙箱中取得的为白球的概率为____________．〖答案〗〖解析〗设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是白球，则有,所以，故〖答案〗为:16.在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时，______________，此时球心到平面的距离是______________.〖答案〗3〖解析〗如下图所示，设四棱锥底面边长为，则该四棱锥的体积，所以；设四棱锥的外接球半径为，通过构造长方体可知满足；即令，则，令,即；所以，在上单调递减，在上单调递增；即函数在处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小；所以，，半径；此时四棱锥可以看成是由棱长为3的正方体截取的一部分，则球心应在正方体对角线的中点，设平面由正方体中的几何关系可知，且平面；所以即为球心O到平面的距离.又因为，即所以球心O到平面的距离为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知，全集，集合，函数的定义域为B．（1）当时，求；（2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围．解：（1），即．当时，由，得，解得，即,∴．（2）由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集．所以（且两等号不能同时成立），解得，经检验符合集合是集合的真子集，所以a的取值范围是．18.设函数为偶函数．（1）求k的值；（2）写出函数的单调性（不需证明），并解不等式．解：（1）∵为定义在R上的偶函数，∴，即，故，即，解得；（2）在上单调递减，在上单调递增，理由如下：，设任取，且，则，因为，且，所以，，故，所以在单调递增，由复合函数同增异减可得，在单调递增，又在R上为偶函数，故在上单调递减，，∴，解得或，∴不等式解集为.19.已知函数，其中．（1）若是函数的极值点，求的值；（2）若讨论函数的单调性．解：（1），因为是函数的极值点，所以，解得，经检验，符合题意，故．（2），当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，令，解得或，当时，因当时，当或时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，因为当时，当或时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，时，所以在上单调递减综上，当时在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．20.四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2，BC=1，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，PA=PD，M为PC上一点，PM=2MC，平面MBD．（1）求CD的长度；（2）求证：PA⊥平面PBD；（3）求PA与平面PBC所成角的正弦值．（1）解：连接AC交BD于O，连结MO．∵平面MBD，PA平面PAC，平面平面，∴，则，由题设易知，得，故．（2）证明：由题意得，故，即BD⊥AD．平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，PA平面PAD，则BD⊥PA，又PA⊥PD，PD、BD平面PBD，PD∩BD=D，所以PA⊥平面PBD.（3）解：取AB中点E，以DE为x轴，DC为y轴，过D作z轴⊥底面ABCD，则，取AD中点F，由△PAD为正三角形，则PF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE平面APD，所以PF⊥平面ABCD，则，故，设为平面PBC的一个法向量，则，令，则，又，所以，故PA与平面PBC所成角的正弦值为．21.甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记分设每轮比赛中甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．（1）经过1轮比赛，记甲的得分为，求的分布列和期望；（2）经过3轮比赛，用表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分概率，研究发现点均在函数的图象上，求实数m，s，t的值．解：（1）的可能取值为，则；；，的分布列为：01．（2）由（1）知，经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：一是甲两轮得分都为；二是两轮中甲有一轮得0分，另一轮得分，则．经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：三轮中甲得分都为；三轮中甲有两轮得分，另一轮得0分；三轮中甲有一轮得分，另两轮得0分；三轮中甲有两轮得分，另一轮得1分，则，由题意，点均在函数的图象上，则，②－①得④，③－②得⑤，⑤÷④得⑥，将⑥代入④得⑦，将⑥⑦代入①得，综上，，，．22.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）当时，判断在零点的个数，并说明理由．解：（1）由可得，此