2021年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（一模）

2021年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（一模）

一、单选题（本大题共8小题，共40.（）分）

1.已知集合4={x|l<x<7],B=[x\x2-4x-5<0},AC\(CRB)=()

A.(5,7)B.(1,5)C.(-1,1)D.(-1,1)U(5,7)

2.已知复数二巴=4—bi,a,beR,则a+£)=()

A.2B.-2C.4D.6

3.已知2s讥(兀-a)=3sin(]+a),则si—a-/in2a-cos2a=()

A-iB.-专C.一卷D,卷

5.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学积极

响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三（1）、

（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项

教育越好）.下列说法正确的是（）

体一美

实线:高三(1)班的数据虚线:高三(2)研的数据

A.高三(2)班五项评价得分的极差为1.5

B.除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分

C.高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高

D.各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大

6.已知抛物线C：丁2=8%的焦点为凡尸为C在第一象限上一点，若PF的中点到y

轴的距离为3,则直线PF的斜率为()

A.V2B.2V2C.2D.4

7.设尸2是双曲线C：--^=1的两个焦点，。为坐标原点，点尸在C的左支上，

48

且第祭+鬻=2百，则APFiF2的面积为()

A.8B.8V3C.4D.4g

8.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行

分类的方法，最早见于倜礼・春官・大师九八音分为“金、石、土、革、丝、木、

匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”

为弹拨乐器.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器

安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，

且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为()

A.960B.1024C.1296D.2021

二、多选题(本大题共4小题，共20.()分)

9.函数/'(%)=2y/3sinxcosx—2sin2x+1的图象向右平移/个单位长度后得到函数

g(x)的图象，对于函数g(x),下列说法正确的是()

A.g(x)的最小正周期为W

B.g(x)的图象关于直线x=符对称

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C.g（x）在区间［-？币上单调递增

D.g（x）的图象关于点（-詈,0）对称

10.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有

圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式

建筑，园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一

个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为0,这个角接近30。，

若取。=30。，侧棱长为万米，贝M）

A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米

C.正四棱锥的侧面积为24K平方米D.正四棱锥的侧面积为12百平方米

11.新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放.该校学

生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测.

甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食.乙说：小华选的不是烹

制中式面食，选的是烹制西式点心.丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家

常菜青椒土豆丝.已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的

一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（）

A.可能是家常菜青椒土豆丝B.可能是川菜干烧大虾

C.可能是烹制西式点心D.可能是烹制中式面食

12.已知函数/（%）=/+2；;若关于％的方程f（x）=m恰有两个不同解与,

X2（XX<x2）>贝！1（%2—》1）/（X2）的取值可能是（）

A.—3B.—1C.0D.2

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知平面向量五=（3,4）,非零向量方满足坂1五，则石=.（答案不唯一，写

出满足条件的一个向量坐标即可）

14.已知a>0,b>0,a+4b=4,则:+'的最小值为——•

15.已知函数f(x)=a』+—满足"二二2W2,则曲线y=/(x)

在点G，/©))处的切线斜率为.

16.在正四棱锥P-4BCC中，版PA=^AB，若四棱锥P-ABCD的体积为等，则该

四棱锥外接球的体积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知各项均为正数的等差数列｛斯｝的公差为4,其前"项和为％,且2a2为S2,S3的

等比中项.

(1)求｛加｝的通项公式；

4

(2)设垢=——,求数列｛%｝的前〃项和

unun+i

18.设A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acosB-bcosA=|c.

⑴求器的值;

(2)若点。为边AB的中点，4B=10,CD=5,求BC的值.

19.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某

市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中

的铅、镉、铭等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准

(清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染)进行分级，绘制了如图所示的条

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形图.

(1)从轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村中按分层抽样的方法抽取6个,求在轻

度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；

(2)规定：轻度污染记污染度为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染度为3.从

(1)中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X,求X的数学期望.

择品个数

20.如图，在直三棱柱4BC-41B1G中，底面ABC是等边三角

形，。是AC的中点.

(1)证明：〃平面BGD

(2)若44i=2AB,求二面角a-AC-G的余弦值.

21.已知椭圆C：各，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为&,F2,离心率为争且

点磬,-净在C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过刍的直线/与C交于A,B两点，若I4FJ•|BFi|=与，求|AB|.

22.已知函数/'(x)=(x+m)ex.

(1)若f(x)在(-8,1］上是减函数，求实数m的取值范围；

(2)当zn=0时，若对任意的Xe(0,4-co),nxln^nx)<f(2x)恒成立，求实数n的取

值范围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合4={x[l<x<7},

B={x\x2—4x—5<0}={x|-1<x<5},

CRB={x\x<-1或x>5),

An(CRB)={x|5<x<7]=(5,7).

故选：A.

求出集合8,CRB,由此能求出AC(CRB).

本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集、不等式的性质等基础知识，考查运算求

解能力等数学核心素养，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：•••平=4一bi,2+ai=i(4-bi)=b+4i,

则a=4,b=2,故a+b=6.

故选：D.

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a与人的值,则答案可求.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：已知2sin(7T-a)=3s讥弓+a),

整理得2sina=3cosa,所以tana=

故sin2a—~sin2a—cos2a=-sin2a—cos2a=-x2tan<^—i-tan；a=支：

222i+tan2al+tan2a13

故选：D.

直接利用三角函数的关系式的变换和万能公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，万能公式，主要考查学生的运算能力和

数学思维能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由cosxK1得x片2/OT,k&Z,则x片0排除C,

/(-X)=就三=一/。)，则函数“X)是奇函数，图象关于原点对称，排除B,

当0<x<］时，cosx—1<0.则/'(x)<0,排除A,

故选：D.

求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行求解即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的定义域，对称性，利用排除法是解决

本题的关键，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：A：高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5,所以极

差为9.5-8.5=1,所以A错误；

B：因为两班的德育分相等，所以除体育外，高三(1)班的各项评价得分不都高于高三(2)

班对应的得分(德育分相等)，所以B错误；

C：(2)班平均分为(9.54-9+9.5+9+8.5)+5=9.1；(1)班平均分为(9.5+9.5+9+

9.5+a)+5=7.5+：>9.3>9.1,故C正确；

D：两班的德育分相等，智育分相差9.5-9=0.5,体育分相差9.5-9=0.5,美育分

相差9.5—9=0.5,劳育得分相差9.3—8.5=0.8,劳育得分相差最大，所以。错误.

故选：C.

由极差、平均数的定义和计算公式，可判断A8CD.

本题考查统计图表的相关知识，数据处理能力和应用意识，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：由抛物线的方程可得焦点尸(2,0),设P(7n,7i),n>0,

可得PF的中点的横坐标等，由题意可得等=3,所以m=4,

将m=4代入抛物线的方程可得：n2=8x4,可得n=4企，

即P(4,4或),所以/£=晋=2a,

故选:B.

由抛物线的方程可得焦点厂的坐标，设P的坐标，由题意可得中点的横坐标，由题意求

出产的横坐标，代入抛物线的方程可得户的纵坐标，即可求出直线尸尸的斜率.

本题考查抛物线的性质，及直线斜率的求法，属于基础题.

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7.【答案】A

【解析】解：由需+需=2次，可得|0P|=2百，

\0P\\0P\11

Fi，尸2是双曲线C：9一9=1的两个焦点，

不妨设月(一2百,0),「2(2百,0),

所以|0P|=州1&1，所以点P在以F/2为直径的圆上，即AP&F2是以P为直角顶点的

直角三角形，

22

故|Pa|2+\PF2\=|6尸2『,即|PF/2+\PF2\=48.

又IIPFil一熙||=2a=4,

22

所以16=||^^|-\PF2\\=IPF/2+\PF2\-2\PF1\\PF2\=48-2仍打|任后|，

解得IPF/IPF2I=16,

所以Spg=抑尸11仍尸2|=8.

故选：A.

利用已知条件求解|0P],判断APFiF?是以P为直角顶点的直角三角形，结合双曲线的

定义，转化求解三角形的面积即可.

本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合的数学思想和运算求解能力，是中档题.

8.【答案】C

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①“丝”被选中：不同的方式种数为Ni=C^AjAl-C^AjAlAl=720种;

(2)“丝”不被选中：不同的方式种数为N2=C1A1AlAl=576种.

故共有N=720+576=1296种排课方式，

故选：C.

根据题意，按“丝”是否被选中分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：因为/'(x)=2gsinxcosx—25也2%+1=2sm(2%+工)，

6

其图象向右平移/个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x一》+g=2sin(2x+劫的

图象，所以g(x)的最小正周期为江，A正确；

当％=招时,2x+K，

此时函数取得最大值，g(x)的图象关于直线x=|J对称，8正确；

当工包一苦]时,2x+^e[-§,§],

g(x)在区间上单调递增是不正确的，C错误；

当％=一翳时，2乂+"=一几，

函数9。)的图象关于点(-鬻,0)对称，。正确.

24

故选：ABD.

利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过三角函数的变换,

求解g(x)求出周期判断A；当％=符时，判断函数是否取得最大值，判断&判断函数

的单调区间，判断C；利用函数的对称中心判断。.

本题考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，命题的真假的判断，是基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：如图，在正四棱锥S-4BC。中，0

为正方形A8C。的中心，SH1AB,

设底面边长为2a.正四棱锥的侧面与底面所成的锐

二面角为。，这个角接近30。，若取。=30。，

•••/SHO=30°,

所以。H=a,OS=^-a,SH=等。.

在RtaS/lH中，a2+(^^a)2=21,所以a=3,底面边长为6米，

S=|x6x2V3x4=246平方米.

故选：AC.

画出直观图，结合已知条件求解棱锥的底面边长，侧面积，判断选项的正误即可.

本题考查立体儿何知识，考查空间想象能力，是中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：①若甲说的全对，则小华选的是烹制中式面食,

所以乙全错，丙对了一半，故满足题意，

②若乙说的全对，则小华选的是烹制西式点心，

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所以甲对了一半，丙全对，故不满足题意，

③若丙说的全对，则小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝，

所以小华选的是川菜干烧大虾，

所以甲全错，乙对了一半，故符合题意，

综上推断小华选的是烹制中式面食或川菜干烧大虾，

故选：BD.

对全对的人逐个分析，判断是否符合题意，即可得到结果.

本题主要考查了简单的合情推理，同时考查了学生的逻辑推理能力，是基础题.

12.【答案】BC

【解析】解：函数"%)=｛的

因为f(x)=m的两根为x2(xt<x2),所以X[=为二,彳2=em+i,7ne(-1,0],

m+1m+1

从而(％2—x1)/(%2)=(e—―^-)m-me-^-+m.

令9(x)=xex+1—|x2+x,xG(-1,0],

则g'(x)=(x+l)ex+1—x+1,xe(—1,0],

因为x6(-1,0],所以x+l>0,ex+1>e0=1,-x+1>0,

所以g'(x)>0在(-1,0]上恒成立，

从而g(x)在(—1,0]上单调递增.又。(0)=0,9(-1)=一|，所以9(x)6(-|期，

即(小-与)•f(次)的取值范围是(一表0]，

故选：BC.

m+1x+12

利用已知条件推出(小-x1)/(x2)=me-^-+nt.令9(x)=xe~~x+x,xE

(-1,0],通过函数的导数，判断函数的单调性，然后转化求解(0-的取值范

围即可.

本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想与推理论证能力，是中档题.

13.【答案】(4,一3)

【解析】解：平面向量W=(3,4),非零向量方满足方_L方，

设b=(x,y)>则日-b=3x+4y=0>

••.可以取石=(4,-3).

故答案为：(4,—3).

平面向量五=(3,4),非零向量方满足石1五，设石=(x,y),则乞•石=3x+4y=0，由此

能求出满足条件的一个向量坐标即可.

本题考查向量垂直的运算，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学

核心素养，是基础题.

14.【答案】16

【解析】解：Ta>0,b>0,a+4b=4,

49491

,■,a+b=(a+h)(a+46)X4

=(等+与+40)x；N(2V144+40)xi=16,

当且仅当出=半，又・.・Q+4b=4,即a=l,b时取等号，

.•.士+3的最小值为16.

故答案为：16.

把a+4b=4,化为(a+4b)x；=l,利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，注意一正，二定，三等的应用，属于基础

题.

15.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查函数的导数的基本概念和几何意义，考查计算能力，是基础题.

求出函数的导数，利用导数的定义求解m然后利用导数的几何意义求解斜率即可.

【解答】

解：函数/(X)=a/+"x,可得f'(x)=2ax+：,

0,⑴Ri』,可得;△丁二()〃♦一2.“二2,

3AX32Zkr

g|j|/(l)=2,所以((1)=3,

可得3=2a+1,解得Q=1,

所以/'(%)=2%+5，/z(|)=2x|+2=3,

故答案为：3.

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16.【答案】詈兀

【解析】解：设AC,BD的交点为E,球心为0,

设48=Q,

VV2PA=遍AB，

则4E=3Q,PA=—a,

22

・•・PE=\/PA2—AE2=V2a»

・・・四棱锥P-4BCD的体积为等，

A--a2-PE=—=Q=4>/2,

33

在RT△OBE中，OB2=OE2+EB2/?2=(8-/?)2+16=s>ft=5,

二该四棱锥外接球的体积为：萼耆正

故答案为：詈.

根据四棱锥P-4BCD的体积为岩，求出底面边长以及球的半径，进而求解结论.

本题考查了几何体的外接球，关键是要找到球心，求出半径，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为数列｛a"是公差为4的等差数列，

所以a2=%+4,S2=2(%+2),S3=3%+等x4=3(即+4).(2分)

又4ag=S2s3,所以4(4+4)2=6(%+2)(%+4),即(％+4)(%—2)=0,

解得%=2或%=-4(舍去)，(4分)

所以an=2+4(n-1)=4几一2.(5分)

4411

(2)因为四=前二=(4n-2)(4n+2)=小—布？0分)

所以〃=瓦+%+…+^n-1+bn

266104n—64n-24n-24n+2

A意(9分)

肃.(10分)

【解析】(1)利用已知条件求出首项，然后求解通项公式即可.

(2)利用裂项消项法，求解数列的和即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

18.【答案】解：(、1')由正弦定理知，ctnA=R=cinr

3

vacosB—bcosA=-c,

333

・•・sinAcosB-sinBcosA=-sinC=-sin(?l+8)=-(sinAcosB+cosAsinB),

,2o

化简得，-sinAcosB=-cosAsinB>

....tinta/AA

tanA=4tanB)即前=4.

(2)作CE148于E,

tanABE.

tanA=—,tanB=——,---=—=4,即BE=4AE,

AEBEtanBAE

•••点D为边AB的中点，且4B=10,

•••BD-AD=5,AE=2,DE=3,

在Rt△CDE中，CE=VCD2-DE2=>/52-32=4.

在Rt△BCE中，BE=BD+DE=8,BC=y/BE2+CE2=V82+42=4V5.

【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、正弦

的两角和公式可得|sinAcosB=|cosAs讥B,最后由同角三角函数的商数关系，得解；

(2)作CEJ.于E,结合(1)中结论可推出BE=44E,再在Rt△CDE和Rt△BCE中，

均利用勾股定理，即可得解.

本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正弦定理、正弦的两角和公式是解题

的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)轻度污染以上的行政村共9+6+3=18个，

所以抽样比为：9=3

lo3

所以从轻度污染的行政村中抽取!X9=3个，中度污染的行政村抽取:X6=2个，

重度污染的行政村抽取［x3=1个.

(2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7,

P(X=3)W.

P(X=4)=萼=

7

1cl10

第14页，共19页

P(X=5)=卡=卷

P(X=6)=警，

P(X=7)=^=/

c6NU

・•・X的分布列为:

X34567

1

p1333

2010101020

122R1

,•.F(X)=3x-+4x-+5x-+6x-+7x-=5.

【解析】(1)利用分层抽样中抽样比相同，即可解出；

(2)由题意可知随机变量X的可能取值为3,4,5,6,7,分别计算出对应的概率，即

可解出.

本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，学生的运算能力.

20.【答案】(1)证明：记BiCnBG=E,连接£>£

由直棱柱的性质可知四边形BCGBi是矩形，则E为BiC的中点.(1分)

因为。是AC的中点，所以。E〃/1%.(2分)

因为力BiC平面BQD,DEu平面BCi。，所以〃平面BGD(4分)

(2)解：因为底面ABC是等边三角形，。是AC的中点，所以BD14C,

由直棱柱的性质可知平面4BC1平面力CGA，则BD1平面4CGAr(5分)

取&Ci的中点F,连接DF,则DB,DC,OF两两垂直，故以。为原点，分别以万瓦万乙前

的方向为x,>1,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

设4B=2,则A(0,-1,0),C(0,1,0),BI(V5,0,4),从而前=(0,2,0),AB=(6,1,4)(6分)

设平面AB1。的法向量为元=(x,y,x),

则g.£=2二。，令％=4.得元=(4,0,-同(8分)

I元•力名=+y+4z=0

平面4CG的一个法向量为沆=(1,0,0),(9分)

则cos(记用=器=盍=警.(11分)

设二面角当-AC-G为。，由图可知。为锐角，则cos。=|cos(沅，尢)|=今苗.(12分)

【解析】(1)记当。nBC]=E,连接。立推出。E〃4Bi.即可证明AB"/平面BCiD

(2)取&Ci的中点F,连接OF,则08,DC,QF两两垂直，故以。为原点，分别以

而，瓦，而的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz.求

出平面4/C的法向量，平面4CG的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可.

本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能

力，转化思想以及计算能力，是中档题.

(—c=-V2

a2

21.【答案】解：(1)由题意可知:41

工+工=1

a2Tb2A

la2=b2+c2

a—y/2

解得：\b=l

■c=1

•••椭圆C的标准方程为：y+y2=1.

(2)易知(1,0),

①当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=k{x-1),

设4(孙力),S(x2,y2),

(y=k(x-1)

联立方程［兰+必=］，消去y得：(1+2必)/一轨2%+21—2=0,

2k2-2

=

••Xi+%?--%1巾2

1乙l+2fc2l+2k2"

8(%2，%)在椭圆。上，

•••yf=1-y-yi=1-f'

|伤|=/(Xi+1尸+尤=J*+2/+1+1+2下,

二田居|=，(&+1)2+资=］据+2打+1+1-苧=+2)2,

•1•］］/+2)2-/(亚+2)2=y，

•1•加1+2)(*2+2)若，

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整理得：1%1%2+01+%2)+2=当，

把+X=X*%=代入上式得:1X2卜++2=

1/21+I2/”1x/2l+2k221+2/c2l+2k23

整理得：k2=1,

4

・•・与+犯=『与•&=0，

\AB\=V14-k2•J。1+冷/_4%]%、=等，

②当直线/的斜率不存在时，点4(1,净)，8(1,-f),

...|伤|=|BFi|=加可亏砥F=^4+1=咨

•••|4&|・田&|片三，不符合题意，舍去，

综上所述,|4B|=延.

【解析】(1)根据题意列出关于“，儿c的方程组，解出a,b,c的值，即可得到椭圆C

的标准方程.

(2)对直线/的斜率分情况讨论，当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=k(x-1),

与椭圆C的方程联立，利用韦达定理得到与+外==，%!-%2=右，代入M&I-

田&|=三中，求出发的值，再利用弦长公式求出MB|,当直线/的斜率不存在时，显然

不符合题意.

本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计

算能力，是中档题.

22.【答案】解：(1)因为/Q)=(x+m)ex,所以1(x)=(x+m+l)e«l分)

令f'(x)40,得％C-m-l,则/(%)的单调递减区间为(-8,-m-1](3分)

因为/(%)在(一8,1]上是减函数，所以一加一131,解得小工一2,

即m的取值范围是(一叫一2](5分)

(2)法一：EtlnxZn(nx)</(2x),得ZxM*>nxin(nx).

因为久>0,n>0,所以J——仇％-仇九N0对于任意的工€(0,+8)恒成立.(6分)

设九(%)