函数的单调性与最值课件高一上学期数学人教A版

3.1.3函数的单调性1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．3．会求一些具体函数的单调区间．学习目标：问题1画出f(x)=x的图像，并观察其图像。2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降____?上升增大1、在区间________上，f(x)的值随着x的增大而______.问题2画出的图像，并观察图像.o5-5-552、在区间________

上，f(x)的值随着x的增大而_____.(-∞,0](0,+∞)减小增大函数单调性的概念：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1.1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数,如图2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图21、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分别是增函数和减函数.注意

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调区间填表函数单调区间k>0k<0k>0k<0增函数减函数减函数增函数单调性函数单调区间单调性增函数增函数减函数减函数【典例1】作出下列函数的图象，并写出单调区间．(1)单调递减区间为：(－∞，0]，递增区间为：[0，＋∞)．(2)单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．（3）单调递增区间为：，递减区间为：如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)的单调递减区间是 (

)A.(-1,0)

B.(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-1,0),(1,+∞)针对性练习D

例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差变形结论用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）定号（4）判断根据单调性的定义得结论

即取是该区间内的任意两个值且

即求，通过因式分解、配方、有理化等方法

即根据给定的区间和的符号的确定的符号M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，得，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.最小值探究:函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数y=f(x)在区间[m，n](m<n)上单调递增，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy

当x=m时，f(x)有最小值f(m)，当x=n时,f(x)有最大值f(n).(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy

当x=m时，f(x)有最大值f(m)，当x=n时，f(x)有最小值f(n).(3)若函数则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中较小者.例4、求上的最值。例5、已知函数，求函数的最大值与最小.

分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值.

解：设是区间[3，5]上的任意两个实数，且，则由于