2021年中考二轮数学复习 第8讲 圆-教案

第8讲圆

知识点1圆的有关性质

1.基本性质

①圆心角的度数和它所对弧的度数相等；

②同圆或等圆的半径相等；

③圆既是轴对称图形（无数条对称轴），又是中心对称图形，具有旋转不变性；

④圆内接四边形的对角互补.

2.圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么他们所对

应的其余各组量也分别相等.

3.圆周角

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是90°,90。的圆周角所对的弦是直径；

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

注意：等弧指的是能互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧.

【典例】

1.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且NBAC=20°,而=前，求：NBCD

的度数.

D

2.如图，AB是。。的直径，C是皿的中点，CEXAB于点E,BD交CE于点F.

(1)求证：CF=BF;

(2)若CD=6,AC=8,求。。的半径及CE的长.

【方法总结】

方法：解决与圆有关的角度的计算时，T殳先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所

对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等、同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关

系求解，特别的，当有直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性质.

【随堂练习】

1.下列判断结论正确的有()

(1)直径是圆中最大的弦；(2)长度相等的两条弧一定是等弧；(3)面积相等的两个圆是

等圆；(4)同一条弦所对的两条弧一定是等弧；(5)圆上任意两点间的部分是圆的弦.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图所示，四边形ABCD为。。的内接四边形/BCD=120。，则NBOD的大小是()

A.80°B.120°C.100°D.90°

4.如图，AB是00的直径，四边形ABCD内接于。0,若BC=CD=DA=2cm,则OO的

A.4ncmB.6TlemC.8ncmD.lOncm

5.AB是。O的直径，点C在圆上，zABC=65°,那么NOCA的度数是()

A.25°B.35°C.15°D,20°

6.如图所示,MBC的三个顶点在。。上，D是通上的点，E是加上的点，若NBAC=50°,

贝IUD+NE的度数为()

A

A.220°B.230°C.240°D.250°

7如图，AB为OO的直径，AC=2,BC=4,CD=BD=DE,则CE=()

C.3V10-V2D.3V2-V10

知识点2垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

【典例】

1.如图，OO的半径为5,弦AB±CD于E,AB=CD=8.

(1)求证:AC=BD;

(2)若OF^CD于F,OG_LAB于G,试说明四边形OFEG是正方形.

A

【方法总结】

如图：在。。中，CD,AB（非直径）为弦.

结论：®AB±CD；②AE=BE；®AD=BD；@AC=BC；@CD为直径.

由其中任意2个都能推出其他3个.

常作辅助线：连接0B.

关于垂径定理的题目常与勾股定理、垂直的证明等相结合.

【随堂练习】

1.如图，坐标平面内，A、B两点分别为圆P与x轴、v轴的交点，有一直线।通过P点且

与AB垂直，C点为L与y轴的交点.若A、B、C的坐标分别为（a,0）,（0,4）,（0,

-5）,其中2<0,则2的值为（）

A.-2V14B.-2V5C.-8D.-7

2.如图AC是。。的直径，弦BDJLAO于E连接BC过点。作。口BC于F若BD=8cm,

AE=2cm,贝!]OF的长度是()

A.3cmB.V6cmC.2.5cmD.V5cm

3.如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处,并以每小时10,千米的

速度沿北偏东60。的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域.若A

城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（）

A.三小时B.10小时C.5小时D.20小时

4.如图，。0经过菱形ABCO的顶点A、B、C,若OP±AB交于点P,则NPAB的大

小为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

5.如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x

的图象被OP截得的弦AB的长为4立,则a的值是()

知识点3圆的切线

1.点、直线与圆的位置关系

设。。的半径为r,点P到圆心O的距离为山，圆心O到直线I的距离为d2.

①点P在。。外or>di;

②点P在。。上or=di;

③点P在。。内or<di;

④直线I和。。相交or<d2；

⑤直线I和。。相切or=d2；

⑥直线I和。。相离or>ch

2.切线的性质与判定

切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.

推论：①经过圆心且垂直于切线的直径必过切点；

②经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心.

切线的判定方法：

①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

②如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线；

③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

常做辅助线：连接圆心和切点.

3.切线长即切线长定理

切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平

分两条切线的夹角.

【典例】

1.如图所示，AB是。0的直径，AD与相切于点A,DE与。0相切于点E,点C为

DE延长线上一点，且CE=CB.

(1)求证：BC为。。的切线；

(2)若AB=4,AD=1,求舜殳CE的长.

CR

【方法总结】

证明直线和圆相切，一般有两种情况：

①已知直线和圆有公共点，这时连接圆心与公共点，证明该半径与已知直线垂直，简称"连

半径,证垂直"；

②不知直线与圆有公共点，这时过圆心作与已知直线的垂线段，证明此垂线段的长度等于半

径,简称“作垂直，证半径”.

【随堂练习】

1.如图，BM与相切于点B,若NMBA=140。，则NACB的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

2.如图，一把直尺，60。的直角三角板和光盘如图摆放，A为60。角与直尺交点，AB=3,则

光盘的直径是（）

A.3B.36C.6D.6V3

3如图，点P是00外任意一点，PM、PN分别是OO的切线，M、N是切点.设OP与

00交于点K.则点K是△「乂1\1的（）

A.三条高线的交点B.三条中线的交点

C.三个角的角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点

4.如图，直线kHL,。。与11和12分别相切于点A和点B,点M和点N分别是h和12±

的动点，MN沿h和12平移，若。。的半径为1,21=60。，下列结论错误的是（）

473

A.MN=——B.若MN与OO相切，则AM=V3

3

C.h和I2的E巨离为2D.若NMON=90。，则MN与OO相切

知识点4三角形的外心与内心

1.确定圆的条件

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛

盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得到原命题题成立，这种判定方法叫做反证法.

2.三角形的外心

外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心.如图：

性质：外心到三角形三个顶点的距离相等.

3.三角形的内心

内心：三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心.如图：

性质：内心到三角形三边的距离相等.

拓展：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.

【典例】

1.如图,RfABC中,zACB=90°,BC=5,AC=12,I是RbABC的内心,连接CI,AI,

求AQA外接圆的半径.

【方法总结】

拓展：

如果三角形的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形的面积S=|(a+b+c)r.

【随堂练习】

1.如图，圆。是SBC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D,点P在弧DE上，

如果zEPF=70°,那么NB=()

A.40°B.50°C.60°D.70°

2.如图点。为SBC的外心点I为SBC的内心若NBOC=140。贝（INBIC的度数为（）

A.110°B.125°C.130°D.140°

3.如图，点E是MBC的内心，AE的延长线和SBC的外接圆相交于点D,连接BD,BE,

CE,若NCBD=33°,贝!UBEC=()

A.66°B.114°C.123°D.132°

4.如图，RfABC中,zC=90°,AC=3,BC=4,Ol为SBC的内切圆，D、E、F为切点,

则AI的长为（）

A.1B.2C.V5D.5

知识点5与圆有关的计算

1.多边形与圆

在正n变形中，及为正n边形的半径，有下列关系：

①边长：an=2Rn-sin—;②周长：Pn=n-an；

③边心距：rn=Rn〈osR;④面积：Sn=1an-Rn-n;

⑤内角度数：（弋】8。。.⑥外角度数：*；

⑦中心角度数：亭

2.弧长与扇形的面积

若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,弧长1=黑.

若一个扇形的圆心角是n°,半径是R,弧长为I,则S扇形=噂4区

ooU，

拓展：S弓形=S扇形士SA.

3.圆锥的侧面积与全面积

若一个圆锥的底面半径为r,母线长为a,则S全=5侧+S底Gra+nH.

【典例】

L如图,在3BC中,zACB=90°,AC=BC=2,将3BC绕AC的中点D逆时针旋转90°

得到AA'B'C',其中点B的运动路径为由’,求图中阴影部分的面积.

B'

【方法总结】

求阴影面积常用的方法：

①直接用公式法；②和差法；③割补法；④对称转化法.

【随堂练习】

1.用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（）

A.4B.6C.16nD.8

2.如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三

段等弧组成，已知正三角形的边长为10,则该餐盘的面积是（）

A.50n-50百B.50n-2573C.25n+50V3D.501T

3.如图，在矩形ABCD中AB=V2,BC=1,将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D,

点A恰好落在矩形ABCD的边CD上，贝！|AD扫过的部分（即阴影部分）面积为（）

AD

A-iB.2夜*C,V2-^D.I

4.如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD±AB交半圆于点D,以C为圆心，CD

为半径画弧交AB于E点，若AB=4,则图中阴影部分的面积是（）

7,V357V3

AA.-71d——B.—7TrC.—n-----D.|九

12212122

综合运用

1.如图，。人过点0（0,0）,（：（百，0）,口（0,1）,点8是*轴下方OA上的一点，

连接BO,BD,则NOBD的度数是.

2.如图，P是00外的一点，PA、PB分别与相切于点A、B,C是AB上的任意一点，

过点C的切线分别交PA、PB于点D、E.若PA=4,JUMPED的周长为.

3.如图，正方