第4.3讲对数新高一数学宝典（人教A版2019）

第四章指数函数与对数函数第4.3讲对数一、学习目标1．了解对数、常用对数、自然对数的概念，掌握对数的性质，重点发展数学抽象核心素养．2．掌握指数式与对数式的互化，会用对数的定义和性质求简单的对数值，重点提升数学运算核心素养．二、重点难点1、对数的概念2、指数与对数的互化3、利用对数性质和对数恒等式求值三、核心知识对数的概念某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推．回答下列问题：(1)1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？分裂x次得到多少个细胞？(2)分裂多少次可得到8个，16个呢？如何求解？(3)若ax＝N，如何表示x呢？提示：(1)分裂2次得到4个细胞，分裂x次得到2x个细胞．(2)设分裂x次可得到8个，即2x＝8＝23，故x＝3，所以分裂3次可得到8个，同理由2x＝16可得x＝4……(3)以a为底N的对数x＝logaN.1.指数式与对数式的互化及有关概念2.底数a的范围是a>0且a≠1．对数的性质1．是不是所有的实数都有对数？为什么？提示：零和负数没有对数，因为ax＝N(a＞0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数．2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？提示：设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1.三、核心例题题型1对数的概念1．已知，，那么2x+y的值为（

）A．8 B．3 C．1 D．log23【答案】B【详解】由，得，而，因此，所以故选：B2．方程的根为（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【详解】由，得，即，解得，所以方程的根为.故选：B3．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，，且，所以.故选：C4．已知对数式有意义，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由有意义可知，解得且，所以a的取值范围为.故选：B5．使式子有意义的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】要使式子有意义，则，即，解得或，所以x的取值范围是.故选：D题型2指数与对数的互化6．将化为对数式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】化为对数式：，故选：B7．据实验检测可知，海面上的大气压强为760mmHg，海面500m高空处的大气压强为700mmHg，研究表明，大气压强p（单位：mmHg）与高度h（单位：m）之间的关系式为（k为常数）.由此预测海面上1000m高空处的大气压强大约是（保留整数部分）（

）A．645mmHg B．646mmHg C．647mmHg D．648mmHg【答案】A【详解】由，可化为，由已知得，所以mmHg.故选：A8．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【详解】根据指数式与对数式互化可知：对于选项A：等价于，故A正确；对于选项B：等价于，故B正确；对于选项C：等价于，故C错误；对于选项D：等价于，故D正确；故选：C.9．已知，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【详解】设，则，∵，即，整理得，注意到，则，解得，即.故选：D.10．已知，若，，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）.所以，即，又因为，所以，则，解得：，，所以，故选：.题型3利用对数性质和对数恒等式求值11．已知实数满足，则的最小值是（

）A．9 B．3 C．2 D．6【答案】B【详解】由得，变形得。因为，所以，故选:B12．若满足，则的最小值为（

）A． B． C．12 D．16【答案】D【详解】因为满足，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，故的最小值为16，故选：D.13．已知，则的值为（

）A． B．5 C．4 D．3【答案】D【详解】，则，，故.故选：D.14．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：）A．年 B．年 C．年 D．年【答案】A【详解】由题意知，所以，所以，所以可推断该生物死亡的时间约为公元前年,故选：A．15．计算（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【详解】因为，，所以.故选：B当堂达标一、单选题1．若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，.故选：D.2．（

）A．6 B．8 C．9 D．7【答案】A【详解】解：.故选：A.3．若，则的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，∴，，∴.故选：B.4．锶90是发生核爆后产生的主要辐射物之一，它每年的衰减率为2.47%，那么大约经过（

）年，辐射物中锶90的剩余量低于原有的7.46%（结果保留为整数）（参考数据：，）A．83 B．85 C．87 D．90【答案】C【详解】由题意，设辐射物中锶90的含量为，至少经过年辐射物中锶90的剩余量低于原有的7.46%，∴，即年，故选：C.5．若，则的值为（）A． B．3 C．4 D．【答案】A【详解】，，，故选：A6．设，，，那么a，b，c的大小关系为（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，则.故选：D7．若，，则＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】由，得，而，解得，所以.故选：B8．设，若，则（

）A． B．6 C． D．【答案】C【详解】由，知，且，，，所以，．故选：C．二、多选题9．下列式子中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】CD【详解】若，则，故A错误；若，则，故B错误；因为，则，故C正确；，故D正确；故选：CD10．已知，，，下列结论正确的是（

）A．的最小值为9 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】AD【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确；，根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误；因为，即，当且仅当，即时取等号，所以，即最大值，故C错误；，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确．故选：AD．三、填空题11．若，是方程的两个根，则．【答案】【详解】根据题意由根与系数的关系可知，，所以，即.故答案为：12．设且，则的最小值为．【答案】2【详解】因为，且，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2四、解答题13．计算下列各式的值：(1)；(2).【详解】（1）原式；（2）原式.14．设实数，，求的最小值.【详解】由题意，，则，因为，所以，所以，当且仅当，即，时