第18讲三元一次方程组（知识解读题型精讲随堂检测）

第18讲三元一次方程组知识点1：三元一次方程组的定义三元一次方程组是指含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程的方程组。知识点2：解三元一次方程组解三元一次方程组的一般步骤包括：1.消元：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。2.解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。3.将求得的这两个未知数的值代入方程组中系数较简单的方程，求出第三个未知数的值。4.写出方程组的解，用大括号联立。【题型1三元一次方程组的定义】【典例1】下列是三元一次方程组的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，故A选项中方程组不是三元一次方程组；对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，故B选项中方程组不是三元一次方程组；对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，故C选项中的方程组不是三元一次方程组；对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，故D选项中的方程组是三元一次方程组．故选D．【变式11】下列不是三元一次方程组的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；B．方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意．C．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；D．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；故选：B．【变式12】下列方程组是三元一次方程组的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意；B．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；C．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；D．是三元一次方程组，符合题意；故选：D．【题型2解三元一次方程组】【典例2】解方程组．【答案】．【解答】解：，把②代入①得：x+y+3＝6，∴x+y＝3④，把②代入③得：3x﹣y+3＝4，∴3x﹣y＝1⑤，④+⑤得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝1代入④得：1+y＝3，解得：y＝2，∴原方程组的解为：．【变式21】解方程组：．【答案】．【解答】解：，②+③得：3x+y＝﹣1④，④×3得：9x+3y＝﹣3⑤，⑤﹣①得：7x＝﹣7，解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入①得：﹣2+3y＝4，解得：y＝2，把x＝﹣1，y＝2代入②得：﹣2﹣2+2z＝﹣4，解得：z＝0，∴原方程组的解为：．【变式22】解方程组：．【答案】见试题解答内容【解答】解：在方程组中，①+②可得3x﹣y＝1④，①+③可得4x＝4，解得x＝1，把x＝1代入④可得y＝2，把x＝1、y＝2代入①可得z＝3，∴原方程组的解为．【变式23】解方程组：．【答案】．【解答】解：①+②得，4x+z＝5④，③+④得，5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入①得，2×2﹣y＝4，解得y＝0，把x＝2代入③得，2﹣z＝5，解得z＝﹣3，∴原方程组的解为．【变式24】解方程组．【答案】见试题解答内容【解答】解：②﹣③得：4x﹣4y＝4，即x﹣y＝1④，④+①得：2x＝4，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，把x＝2，y＝1代入②得：2﹣3+z＝﹣2，解得：z＝﹣1，所以原方程组的解为．【题型3三元一次方程组的应用】【典例3】某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元、C型每台3000元．（1）甲中学现有资金210000元，计划全部用于购进这家电脑公司的A型和B型电脑共45台．这两种型号的电脑各购进多少台？（2）乙中学现有资金190000元，计划全部用于购进这家电脑公司的三种型号电脑共60台，请你设计出所有不同的购买方案，并说明理由．【答案】（1）购进A型电脑15台，购进B型电脑30台；（2）有四种不同的购买方案，理由见解答过程．【解答】解：（1）设购进A型电脑a台，购进B型电脑b台．依题意得：，解得：，答：购进A型电脑15台，购进B型电脑30台．（2）有四种不同的购买方案，理由如下：设购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台．依题意得：，由①得：z＝60﹣x﹣y③，将③代入②整理得：3x+y＝10，∴y＝10﹣3x，∵0≤y≤60，∴0≤10﹣3x≤60，解得：﹣50/3≤x≤10/3，又∵x非负为整数，∴x＝0，1，2，3，当x＝0时，y＝10﹣3x＝10，z＝60﹣x﹣y＝50，当x＝1时，y＝10﹣3x＝7，z＝60﹣x﹣y＝52，当x＝2时，y＝10﹣3x＝4，z＝60﹣x﹣y＝54，当x＝3时，y＝10﹣3x＝1，z＝60﹣x﹣y＝56，方案一：购进A型电脑0台，购进B型电脑10台，购进C型电脑50台．方案二：购进A型电脑1台，购进B型电脑7台，购进C型电脑52台．方案三：购进A型电脑2台，购进B型电脑4台，购进C型电脑54台．方案四：购进A型电脑3台，购进B型电脑1台，购进C型电脑56台．【变式31】某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．（1）求A场馆和B场馆的门票价格．（2）若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．（3）若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案．【答案】（1）A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元；（2）1210元；（3）购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．【解答】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，，解得．答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．（2）设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，依题意得：α＜40﹣2a，解得：a＜．设此次购买门票所需总金额为w元，则w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600，∵﹣30＜0，∴w随a的增大而减小．∵a＜，且a为整数，∴当a＝13时，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210．答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．（3）设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），依题意得：50m+40（40﹣2m﹣n）+15n＝1100，∴n＝20﹣．又∵m，n均为正整数，∴或或．当m＝5，n＝14时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×5﹣14＝16＞5，符合题意．当m＝10，n＝8时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×10﹣8＝12＞10，符合题意．当m＝15，n＝2时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×15﹣2＝8＜15，符合题意，舍去；∴共有2种购买方案，方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票；方案2：购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．又∵在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，∴选择方案2，即购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．【变式32】一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：解得答：需甲车型8辆，需车型10辆；（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：消去z得5x+2y＝40，x＝，因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5，10，15，由z是正整数，解得，，有三种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；③甲车型1辆，乙车型15辆；（3）两种方案的运费分别是：①400×6+500×5+600×5＝7900；②400×4+500×10+600×2＝7800．答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．【典例4】先阅读下列材料，再完成任务：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝﹣1，x+y＝5；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？【答案】（1）﹣1，5；（2）购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．【解答】解：（1），①﹣②得：x﹣y＝﹣1，①+②得：3x+3y＝15，∴x+y＝5，故答案为：﹣1，5；（2）购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元，由题意得：，①×2﹣②得：a+b+c＝6，答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．【变式41】在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题．例如1：已知：x+2y﹣3z＝2，2x+y+6z＝1，求：x+y+z的值．解：令x+2y﹣3z＝2．……①2x+y+6z＝1……②①+②，得3x+3y+3z＝3所以x+y+z＝1已知，求x+2y的值．解：①×2得：2x+2y＝﹣10③②﹣③得：x+2y＝11，利用材料中提供的方法，解决下列问题（1）已知：关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值；（2）某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别x，y，z盆、甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？【答案】（1）m＝﹣16；（2）1330．【解答】解：（1），②﹣①得，3x﹣3y＝﹣m+2，即x﹣y＝，∵x﹣y＝6，即＝6，解得m＝﹣16；（2）设黄花有M朵，由题意得，，①+③得，40x+30y+35z＝6650④，④×得，8x+6y+7z＝1330，即M＝1330，答：黄花一共用了1330朵．【变式42】在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，即，解得．∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．请你根据小华的分析过程，解决如下问题：（1）若有理数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？【答案】（1）；（2）12元．【解答】解：（1）∵（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，∴3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz＝12x+2y﹣5z，∴（3a+b）x+（4a+6b）y+（2a+5b）z＝12x+2y﹣5z，∴，解得；（2）设1枝红花x元，1枝黄花y元，1枝粉花z元，由题意得，则①×a得：2ax+3ay+az＝18a③，②×b得：3bx+5by+2bz＝28b④，③+④得：（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝18a+28b⑤，当（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝x+3y+2z时，即，解得．∴x+3y+2z＝18a+28b＝12．答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．1．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（）A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③【答案】C【解答】解：解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．故选：C．2．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【答案】B【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：，解得：y+2z＝7，y＝7﹣2z，∵x，y，z都是小于9的正整数，当z＝1时，y＝5，x＝3；当z＝2时，y＝3，x＝4；当z＝3时，y＝1，x＝5当z＝4时，y＝﹣1（不符合题意，舍去）∴租房方案有3种．故选：B．3．设＝＝，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：设＝＝＝k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，则原式＝＝．故选：C．4．有理数x、y、z满足，则x+2y+5z的值是（）A．﹣4 B．3 C．4 D．值不能确定【答案】C【解答】解：，①+②得：2x+6z＝4，x+3z＝2③，②﹣①得：2y+2z＝2④，③+④得：x+2y+5z＝4，故选：C．5．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱55元．【答案】见试题解答内容【解答】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元．根据题意得：，解得：．∴2x+2y+2z＝150﹣3y+2y+y﹣40＝110，∴x+y+z＝55．故答案为：55．6．解三元一次方程组：．【答案】．【解答】解：，③﹣①得：x﹣2y＝﹣1④，②﹣④得：y＝2，把y＝2代入②中，x﹣2＝1，解得：x＝3，把x＝3，y＝2代入①中，3+2+z＝6，解得：z＝1，∴原方程组的解为：．7．甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问：（1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？（2）这台电视机的售价是多少元？【答案】（1）6：3：2．（2）1870元．【解答】解：（1）设甲付了x元，乙付了y元，丙付了z元，根据题意得：，解得：，∴x：y：z＝1020：510：340＝6：3：2．答：甲、乙、丙三人所付的钱数之比是6：3：2；（2）根据题意得：1020+510+340＝1870（元）．答：这台电视机的售价是1870元．8．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员小丽小华月销售件数（件）200150月总收入（元）14001250假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．（1）求x、y的值；（2）如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？【答案】（1）x的值为800，y的值为3；（2）购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．【解答】解：（1）设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．由题意得，解得，即x的值为800，y的值为3；（2）设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．则可列方程组：，将两等式相加得4x+4y+4z＝600，则x+y+z＝150，答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．9．【阅读感悟】有些关于方程组的问题，所求的不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．【解决问题】（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝2，x+y＝6；（2）某班级组织活动购买小奖品，买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3本日记本共需48元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝12，4*7＝24，求1*1的值．【答案】（1）2；6；（2）8元；（3）1*1＝﹣12．【解答】解：（1），由①﹣②可得x﹣y＝2；由（①+②）可得x+y＝6．故答案为：2；6．（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意得：，由2×①﹣②可得m+n+p＝8．答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元．（3）依题意得：，由3×①﹣2×②可得a+b+c＝﹣12，即1*1＝a+b+c＝﹣12．10．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？【答案】见试题解答内容【解答】解析：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：，解得．答：需甲车型8辆，乙车型10辆；（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：，消去z得5x+2y＝40，x＝8﹣y，因x，y是正整数，且不大于14，得y＝5，10，由z是正整数，解得，，当x＝6，y＝5，z＝5时，总运费为：6×400+5×500+5×600＝7900元；当x＝4，y＝10，z＝2时，总运费为：4×400+10×500+2×600＝7800元＜7900元；∴运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．11．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．（1）解方程组解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3把x＝1代入②得：y＝0所以方程组的解为（2）已知，求x+y+z的值．解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③③÷4得x+y+z＝4[类比迁移]（1）直接写出方程组的解．（2）若，求x+y+z的值．[实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？【答案】（1）；（2）1；[实际应用]100元．【解答】解：（1），把②代入①中，得：3×2+4＝2a，解得：a＝5，把a＝5代入②中，得b＝3，∴方程组的解为．（2），①﹣②得：4x+4y+4z＝4，∴x+y+z＝1．[实际应用]设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，根据题意得：36x+12y＝960，两边同时乘以，得：45x+15y＝1200，1200﹣1100＝100（元），答：比不打折少花了100元．12．阅读下列材料：问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅的单价不变）．解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x、y、z元．依题意得：上述方程组可变形为：设x+y+z＝a，2x+z＝b，上述方程组又可化为：①+4×②得：a＝105即x+y+z＝105答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需105元．阅读后，细心的你，可以解决下列问题：（1）上述材料中a＝105（2）选择题：上述材料中的解答过程运用了A思想方法来指导解题．A、整体B、数形结合C、分类讨论（3）某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表：品名次数甲乙丙丁用钱金额（元）第一次购买件数54311882第二次购买件数97512764那么，购买每种体育用品各一件共需多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）按照解方程的过程补充完整解题过程如下：问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅的单价不变）．解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x、y、z元．依题意得：上述方程组可变形为：设x+y+z＝a，2x+z＝b，上述方程组又可化为：①+4×②得：a＝105，即x+y+z＝105，答