线性空间上的两个空间

线性空间上的两个空间

首先，在数域p中，线性空间pn={（a1，a2，……a）、ai、p，i.1，2，…，n}中进行讨论。定理1对矩阵A作初等行变换化为B,则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性关系。定理21)两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价;2)L(α1,α2,…,αr)的维数等于向量组α1,α2,…,αr的秩。定理3如果V1、V2是线性空间V的两个子空间,那么维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2)。定理4设α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt是线性空间Pn中两个线性无关的向量组,其中αi=(a1i,a2i,…,ani),i=1,2,…,s;βj=(b1j,b2j,…,bnj),j=1,2,…,t,依次以α1,α2,…,αs;β1,β2,…,βt为列向量构成矩阵A=(a11a12⋯a1sb11b12⋯b1ta21a22⋯a2sb21b22⋯b2t⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ansbn1bn2⋯bnt)对A施行一系列初等行变换,不妨假设最后把A化为:α′1α′2…α′rα′r+1…α′sβ′1β′2…β′lβ′l+1…β′tB=(10⋯0a′1,r+1⋯a′1s00⋯0b′1,l+1⋯b′1t01⋯0a′2,r+1⋯a′2s00⋯0b′2,l+1⋯b′2t⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯00⋯1a′r,r+1⋯a′rs00⋯0b′r,l+1⋯b′rt00⋯0a′r+1,r+1⋯a′r+1,s10⋯0b′r+1,l+1⋯b′r+1,t00⋯0a′r+2,r+1⋯a′r+2,s01⋯0b′r+2,l+1⋯b′r+2,t⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯00⋯0a′r+l,r+1⋯a′r+l,s00⋯1b′r+l,l+1⋯b′r+l,t00⋯00⋯000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮00⋯00⋯000⋯00⋯0)则有以下结论:1)α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βl是和空间L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt)的一组基,且和空间的维数是r+l.2)向量组{γ1=αr+1-a′1,r+1α1-⋯-a′r,r+1αr=a′r+1,r+1β1+⋯+a′r+l,r+1βl⋮γs-r=αs-a′1sα1-⋯-a′rsαr=a′r+1,sβ1+⋯+a′r+l,sβlγs-r+1=-b′1,l+1α1-⋯-b′r,l+1αr=b′r+1,l+1β1+⋯+b′r+l,l+1βl-βl+1⋮γ(s+t)-(r+l)=-b′1tα1-⋯-b′rtαr=b′r+1,tβ1+⋯+b′r+l,tβl-βt(1)是交空间L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt)的一组基,且交空间的维数是(s+t)-(r+l)。证明1)容易看到,B的前r个列向量α′1,α′2,…,α′r与第s+1列到第s+l列的向量β′1,β′2,…,β′l构成的向量组α′1,α′2,…,α′r,β′1,β′2,…,β′l线性无关,且B的其余列向量都是向量组α′1,α′2,…,α′r,β′1,β′2,…,β′l的线性组合,因而α′1,α′2,…,α′r,β′1,β′2,…,β′l是B的列向量组的一个极大无关组。由定理1知α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βl是A的列向量组的一个极大无关组,于是向量组α1,α2,…,αr,αr+1,…αs,β1,…,βl,βl+1,…,βs与向量组α1,α2,…,αr,β1,…,βl等价。再由定理2的1)有L(α1,…,αr,αr+1,…,αs)+L(β1,…,βl,βl+1,…,βt)=L(α1,…,αr,αr+1,…,αs,β1,…,βl,βl+1,…,βt)=L(α1,…,αr,β1,…,βl)所以α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βl是和空间L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt)的一组基,和空间的维数为r+l。2)由定理3,维(L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt))=维(L(α1,α2,…,αs))+维(L(β1,β2,…,βt))-维(L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt))=(s+t)-(r+l)显然向量组(1)中的(s+t)-(r+l)个向量都是交空间中的向量,要证明它们是交空间L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt)的一组基,只需证明它们线性无关即可。设有一组数k1,k2,…,ks+t-(r+l)使得k1γ1+…+ks-rγs-r+ks-r+1γs-r+1+…+ks+t-(r+l)γs+t-(r+l)=0(2)由(1)整理得k1αr+1+…+ks-rαs+C1α1+…+Crαr=0(3)d1β1+…+dlβl-ks-r+1βl+1-…-ks+t-(r+l)βt=0(4)其中{C1=k1(-a′1,r+1)+⋯+ks-r(-a′1s)+ks-r+1(-b′1,l+1)+⋯+ks+t-(r+l)(-b′1t)⋮Cr=k1(-a′r,r+1)+⋯+ks-r(-a′rs)+ks-r+1(-b′r,l+1)+⋯+ks+t-(r+l)(-b′rt){d1=k1a′r+1,r+1+⋯+ks-ra′r+1,s+ks-r+1b′r+1,l+1+⋯+ks+t-(r+l)b′r+1,t⋮dl=k1a′r+l,r+1+⋯+ks-ra′r+l,s+ks-r+1b′r+l,l+1+⋯+ks+t-(r+l)b′r+l,t因为α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt都是线性无关向量组,所以由(3)、(4)得k1=…=ks-r=ks-r+1=…=ks+t-(r+l)=0故向量组γ1,…,γs-r,γs-r+1,…,γs+t-(r+l)线性无关,因而是交空间L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt)的一组基证毕例1求子空间L(α1,α2)与子空间L(β1,β2,β3)的和与交的基和维数。其中{α1=(1‚0‚1‚1)α2=(1‚1‚-1‚0){β1=(4‚5‚-1‚-1)β2=(4‚3‚-2‚1)β3=(1‚1‚0‚0)解易知向量组α1,α2和β1,β2,β3都是线性无关向量组,依次以α1,α2,β1,β2,β3为列构成矩阵A,施行和等行变换得矩阵B,即α1α2β1β2β3A=(11441015311-1-1-2010-110)①+②(-1)¯(10-110015311-1-1-2010-110)③+①(-1)④+①(-1)¯(10-110015310-10-3000000)③(-1)¯α′1α′2β′1β′2β′3(10-110015310103000000)②+③(-1)¯(10-110005010103000000)(2‚3)¯(10-110010300050100000)=B由定理4,从矩阵B立即得到:1)和空间L(α1,α2)+L(β1,β2,β3)的维数是3,α1,α2,β3是它的一组基;2)交空间L(α1,α2)∩L(β1,β2,β3)的维数为2,又因{β1=-α1+5β3β2=α1+3α2所以交空间的一组基为{α1=-β1+5β3α1+3α2=β2按照定理4求子空间L(α1,α2,…,αs)与L(β1,β2,…,βt)的和与交空间的维数与基,首先要求判别向量组α1,α2,…,αs与向量组β1,β2,…,βt是否都是线性无关向量组。如果这两个向量组不全是线性无关的,则要分别求出它们各自的一个极大无关组。不妨假设α1,α2,…,αs的一个极大无关组为αi1,αi2,…,αir(r≤s),而β1,β2,…,βt的一个极大无关组为βj1,βj2,…,βjp(p≤t),于是向量组α1,α2,…,αs与αi1,αi2,…,αir等价,向量组β1,β2,…,βt与βj1,βj2,…,βjp等价,由定理2有L(α1,α2,…,αs)=L(αi1,αi2,…,αir),L(β1,β2,…,βt)=L(βj1,βj2,…,βjp),于是把求子空间L(α1,α2,…,αs)与子空间L(β1,β2,…,βt)的和与交的基和维数的问题就转化为求子空间L(αi1,αi2,…,αir)与子空间L(βj1,βj2,…,βjp)的和与交的基和维数的问题。例2求子空间L(α1,α2,α3)与L(β1,β2,β3,β4)的和与交的基和组数。其中{α1=(1‚0‚1‚1)α2=(1‚1‚-1‚0)α3=(1‚3‚-5‚-2){β1=(4‚5‚-1‚-1)β2=(4‚3‚-2‚1)β3=(1‚1‚0‚0)β4=(7‚5‚4‚2)α1α2α3解A=(1110131-1-510-2)③+①(-1)④+①(-1)¯(1110130-2-60-1-3)③+②⋅2④+②¯(111013000000)由定理1得α1,α2是向量组α1,α2,α3的一个极大无关组,同理可求得β1,β2,β3是向量组β1,β2,β3,β4的一个极大无关组,再由定理2得L(α1,α2,α3)=L(α1,α2);L(β1,β2,β3,β4)=L(β1,β2,β3)从而转化为例1。下面在一般数域上n维线性空间V中讨论由两组向量α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt生成的子空间的和与交的维数与基的求法。设ε1,ε2,…,εn是数域p上n维线性空间V的一组基,那么∀α∈V,都有α=a1ε1+a2ε2+…+anεn,作法则σ:V∈α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn→(a1,a2,⋯,an)∈Ρn,则可以证明σ是V到Pn的一个同构映射。于是要求L(α1,α2,…,αs)与L(β1,β2,…,βt)的和与交的维数与基,就可以把α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt在V的基ε1,ε2,…,εn下的坐标分别作Pn的两组向量,不妨设为X1,X2,…,Xs与Y1,Y2,…,Yt在Pn中求出L(X1,X2,…,Xs)与L(Y1,Y2,…,Yt)的和与交的维数与基。由于V与Pn同构,利用同构映射的性质维(L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt))=维(L(X1,X2,…,Xs)+L(Y1,Y2,…,Yt)),维(L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt))=维(L(X1,X2,…,Xs)∩L(Y1,Y2,…,Yt));至于和空间L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt)与交空间L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt)的基,则是以L(X1,X2,…,Xs)+L(Y1,Y2,…,Yt)与L(X1,X2,…,Xs)∩L(Y1,Y2,…,Yt)的基向量的分量作为在V的基ε1,ε2,…,εn下的坐标求得。例3在P2×2中,求L(α1,α2,α3)与L(β1,β2,β3,β4)的和与交的维数与基。其中{α1=α2=[11-10]α3=[13-5-2]{β1=[45-1-1]β2=[43-21]β3=β4=解易知E11=‚E12=‚E21=‚E22=是线性空间P2×2的一组基,于是α1==E11+0⋅E12+E21+E22即α1在基E11、E12、E21、E22下的坐标为X1=(1,0,1,1)。同理可以分别求出向量α2,α3,β1,β2,β3,β4在基E11,E12,E21,E22下的坐标为X2=(1,1,-1,0),X3=(1,3,-5,-2),Y1=(4,5,-1,-1),Y2=(4,3,-2,1),Y3=(1,1,0,0),Y4=(7,5,4,2),由例1、例2知1)L(X1,X2,X3)+L(Y1,Y2,Y3,Y4)的维数为3,而X1,X2,Y3是它的一组基。2)L(X1,X2,X3)∩L(Y1,Y2,Y3,Y4)的维数为2,而{X1=-Y1+5Y3X1+3X2=Y2是它的一组基。由前面的讨论知1)L(α1,α2,α3)+L(β1,β2,β3,β4)的维数为3;L(α1,α2,α3)∩L(β1,β2,β3,β4