2022湖南省怀化市中考数学试卷

2022年湖南省怀化市中考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选

项的代号填涂在答题卡的相应位置上）.

1.（4分）-g的相反数是（）

A.-B.2C.--D.-2

22

2.（4分）代数式2工，1,一丁-21,旺_中，属于分式的有(

)

5nX2+43xx+2

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（4分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋

斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学记数法表示为（）

A.10.909xlO2B.1.0909xl03C.0.10909x10*D.1.0909xl04

4.(4分)下列说法正确的是()

A.相等的角是对顶角

B.对角线相等的四边形是矩形

C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点

D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

5.（4分）下列计算正确的是（）

A.(2a2)3=6a67B.〃+/=/C."(_2尸=2D.(x-y)2=x2-y2

6.（4分）下列一元二次方程有实数解的是（）

A.2x2-x+1=0B.x2-2x+2=0C.x2+3x-2=0D.X2+2=0

7.（4分）一个多边形的内角和为900。，则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

8.（4分）如图，AABC沿BC方向平移后的像为ADEF,已知IBC=5,EC=2,则平移的

A.1B.2C.3D.4

9.（4分）从下列一组数-2,不，-0.12,0,中随机抽取一个数，这个数是负

2

数的概率为（）

10.（4分）如图，直线4?交x轴于点C,交反比例函数y=巴［（4>1）的图象于A、B两

X

点，过点8作轴，垂足为点。，若"=5，则“的值为（）

二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）

11.（4分）计算3-一—=___.

x+2x+2

12.（4分）因式分解：x2-x4=.

13.（4分）己知点A（-2,。）与点B（q,3）关于原点对称，则a-A=.

14.（4分）如图，AABC中，点。、£分别是他、AC的中点，若风比=2,则邑板=

15.（4分）如图，A3与0O相切于点C,AO=3,0O的半径为2,则AC的长为

o

16.（4分）正偶数2,4,6,8,10,....按如下规律排列,

则第27行的第21个数是—.

2

46

81012

14161820

三、解答题（本大题共8小题，共86分）

17.（8分）计算：（3.14-%）°+|及-1|+（1尸-花.

2

18.（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.

-4-3-2-101234

15x-l>3（x+l）®

[3x-2,,2x+l@

19.（10分）某地修建了一座以''讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的

圆形纪念园.如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和3村南偏东60。方向上.C村在B

村的正东方向且两村相距2.4版.有关部门计划在5、C两村之间修一条笔直的公路来连接

两村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明.（参考数据：x/3«1.73,夜。1.41）

门匕

20.（10分）如图，点A,B,C,。在上，AB=CD.

求证：（1）AC=BD；

21.（12分）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得

到显著提高.为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调

查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图.

频数分布表

满意程度频数（人）频率

非常满意500.5

满意300.3

一般aC

不满意b0.05

合计1001

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

（1）a=,b=,c=；

（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角a的度数；

（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议.

扇形统计图

满意

30%

非常满意

50%

不满意

22.（12分）如图，在等边三角形ABC中，点M为45边上任意一点，延长BC至点N,使

CN=AM,连接MN交AC于点P,"H_LAC于点H.

（1）求证：MP=NP；

（2）若=求线段PH的长（结果用含”的代数式表示）.

23.（12分）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋

（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋

贵5元.

（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？

（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%,

并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售.优惠方案为：若一次购买不超过5套，

则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折.设今年该部

门购买了〃套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式.

（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？

24.（14分）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=*+2x+c经过点A（-l.O）,5（3,0）,

与y轴交于点C，顶点为点。.在线段C8上方的抛物线上有一动点尸，过点尸作PE,8c

于点E,作"//4?交8C于点F.

(1)求抛物线和直线BC的函数表达式.

(2)当APEF的周长为最大值时，求点P的坐标和AP防的周长.

(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、

3、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明

理由.

图备用图

2022年湖南省怀化市中考数学试卷

答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选

项的代号填涂在答题卡的相应位置上）.

1.（4分）的相反数是（）

D.-2

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案.

解：一」的相反数是

22

故选：A.

2.（4分）代数式2%,1,一一,丁-2,1,立1中，属于分式的有（）

5H%2+4x+2

A.2个B.3个4个D.5个

【分析】根据分式的定义：一般地，如果4,3表示两个整式，并且B中含有字母，那么

式4叫做分式判断即可.

解：分式有：丁一，士，口二，

xr+4Xx+2

整式有：-X,X2--,

5n3

分式有3个，

故选：B.

3.（4分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋

斗者”号教人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学记数法表示为（）

A.10.909xlO2B.1.0909x1（）3c.0.10909xlO4D.1.0909xl04

【分析】把比较大的数写成axlO",其中L,a<10，〃为正整数即可得出答案.

解：10909=1.0909xlO4,

故选：D.

4.（4分）下列说法正确的是（）

A.相等的角是对顶角

B.对角线相等的四边形是矩形

C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点

D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答

案.

解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；

8、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；

C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；

。、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意.

故选：D.

5.(4分)下列计算正确的是()

A.(2相y=6/B.48+42=/c.{(—2)2=2D.(x-y)2=x2-y2

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幕的除法运算法则、二次根式的性质、完全

平方公式分别计算，进而得出答案.

解：A.(2/y=8不，故此选项不合题意；

B.故此选项不合题意；

C.心导=2,故此选项符合题意；

D.(x-y)2=x2-2xy+y2,故此选项不合题意；

故选：C.

6.(4分)下列一元二次方程有实数解的是()

A.2x2—x+1=0B.x2—2x+2=0C.x2+3x—2=0D.x2+2=0

【分析】根据各方程的系数结合根的判别式△=〃?—4ac,可求出各方程根的判别式△的值,

取△..()的选项即可得出结论.

解：A.­.•△=(-1)2-4X2X1=-7<0,

，方程2丁_》+1=0没有实数根；

B.­.•△=(-2)2-4xlx2=-4<0,

方程V-2x+2=0没有实数根；

C.­.•△=32-4xlx(-2)=17>0,

方程£+3尤-2=0有两个不相等的实数根；

D.­.•△=02-4xlx2=-8<0,

方程d+2=0没有实数根.

故选：C.

7.（4分）一个多边形的内角和为900。，则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

【分析】根据多边形的内角和公式：（〃-2）-180。列出方程，解方程即可得出答案.

解：设多边形的边数为〃，

（n-2）-180°=900°,

解得：/?=7.

故选：A.

8.（4分）如图，AABC沿8c方向平移后的像为ADEF,已知8c=5,EC=2,则平移的

【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离.

解：点B平移后对应点是点E.

.•.线段展就是平移距离，

•.•已知BC=5,EC=2,

:.BE=BC-EC=5-2=3.

故选：C.

9.（4分）从下列一组数-2,7T,-0.12,0,-6中随机抽取一个数，这个数是负

2

数的概率为（）

【分析】首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可.

这组数据共有6个数，其中是负数的有-2,-0.12,-石这4个，

2

_4_2

.。P随机抽取一个数，这个数是负数）=%=§•

故选：B.

10.（4分）如图，直线交x轴于点C,交反比例函数>=巴］（〃>1）的图象于A、

B两

x

点，过点8作轴，垂足为点。，若"=5，则“的值为（）

【分析】设点5的坐标为（〃?,叱3,然后根据三角形面积公式列方程求解.

m

解：设点8的坐标为3,纥3，

a

1'•=5,且4>1,

167-1

-x机x---=5，

2m

解得：々=11,

经检验，。=11是原分式方程的解，

故选：D.

二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）

11.（4分）计算山--

x+2x+2

【分析】原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果.

解：原式=汇0二2

X4-2

_x+2

x+2

=1.

故1.

12.(4分)因式分解：x2-x4=_x2(l+x)(l-x)_.

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

解：原式=尤2(1-/)

=+x)(l-X).

故x"l+x)(l-x).

13.(4分)已知点A(-2,力与点伏公3)关于原点对称，则5

【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案.

解：•.•点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称，

.'.a=2,6=—3,

.'.a—b—2+3=5,

故5.

14.(4分)如图，AABC中，点。、E分别是43、AC的中点，若S-=2,则能—=8.

【分析】由中位线定理可得线段。E与BC的比，即可得出AADE与A4BC的比，又已知

AADE的面积，进而即可得出AA8C的面积.

解：•.・。，E分别是45,AC的中点，

:.DE:BC=l:2,DE/IBC,

.-.AADE^AABC.

.S1sADE_(DEy_J_

■■SMBC~BC

即二-=L

q4

,e-S坟BC=8,

故8.

15.（4分）如图，43与。。相切于点C,AO=3,。。的半径为2,则AC的长为_亚

【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC,AC,再根据勾股定理计算，得到答案.

解：连接OC,

•.♦AB与。。相切于点C,

:.OCVAC,

在RtAAOC中，OC=2,04=3,

则AC=yJO^-OC2=y/32-22=布,

故石.

16.（4分）正偶数2,4,6,8,10,按如下规律排列,

则第27行的第21个数是744.

2

46

81012

14161820

【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2

个数，第三行有3个数.....第〃行有”个数，则前几行共有a空2个数，再根据偶数的

2

特征确定第几行第几个数是几.

解：由图可知，

第一行有1个数,

第二行有2个数,

第三行有3个数,

第〃行有〃个数.

.•.前〃行共有巡W个数.

2

.•.前27行共有378个数，

.•.第27行第21个数是一共378个数中的第372个数.

•.•这些数都是正偶数，

第372个数为372x2=744.

故744.

三、解答题（本大题共8小题，共86分）

17.（8分）计算：（3.14-^-）°+172-11+（-）-'-A/8.

2

【分析】根据零指数累，绝对值，负整数指数基，二次根式的化简计算即可.

解：原式=1+0-1+2-2虚

=2-亚.

18.（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.

-4-3-2-101234

[5x-l>3（x+l）①

\3x-2,,2x+l@

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集

即可.

|5x-l>3（x+l）®

[3x-2,,2x+l②

解不等式①，得：x>2,

解不等式②，得：%,3,

・•・原不等式组的解集是2〈苍,3,

其解集在数轴上表示如下:

-J------1--------1-------1-----1--------1—6—4------

-4-7-101734

19.（10分）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的

圆形纪念园.如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和3村南偏东60。方向上.C村在3

村的正东方向且两村相距2.4h〃.有关部门计划在3、C两村之间修一条笔直的公路来连接

两村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明.（参考数据：6=1.73,V2«1.41）

【分析】过A点作于。点，根据题意可得CD=AD,由BC=2400,〃

可得关于AD的方程，计算可求解4）的长，进而可求解.

解：过A点作于。点，

由题意知：ZABC=90°-60°=30°,ZACD=45°,

：.BD=^AD,CD=AD,

BC=2.4km=2400m,

43AD+AD=2400,

解得：AD=1200(73-1)®876>800,

故该公路不能穿过纪念园.

20.（10分）如图，点A,B,C,。在0O上，AB=CD.

求证：（1）AC=BD；

（2）AABESAOCE.

【分析】（1）根据等式的性质可得：AC=BO,再由圆心角，弧，弦的关系可得结论;

（2）根据两角相等可证明两三角形相似.

证明：（1）AB=CD,

/.AC=BD,

:.AC=BD；

（2）・・・NA=/D,ZB=ZC,

:.^ABES^DCE.

21.（12分）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得

到显著提高.为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调

查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图.

频数分布表

满意程度频数（人）频率

非常满意500.5

满意300.3

一般aC

不满意b0.05

合计1001

根据统计图表提供的信息，解答下列问题:

（1）a=15,h=，c=；

（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角a的度数；

（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议.

扇形统计图

【分析】（1）用样本容量乘“不满意”的频率求出6,进而求出。、c的值；

（2）用360。乘“一般”的频率即可;

（3）根据频数分布表的数据提出建议即可.

解：⑴由题意得，6=100x0.05=5,a=100-50-30-5=15,6=1-0.5-0.3-0.05=0.15,

故15；5；0.15；

（2）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角a的度数为360。*0.15=54。；

（3）在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游

质量还有待提高.（答案不唯一）.

22.（12分）如图，在等边三角形A8C中，点M为A5边上任意一点，延长8c至点N,使

CN=AM,连接MN交AC于点P,MH_LAC于点

（1）求证：MP=NP；

（2）若=求线段尸”的长（结果用含a的代数式表示）.

BCN

【分析】(1)过点M作MQ//BC,交AC于点Q,根据等边三角形的性质以及平行线的性

质可得NAM2=ZAQM=NA=60。，可得AA用。是等边三角形，易证AQMP三ACNPGAAS),

即可得证；

(2)根据等边三角形的性质可知A”=HQ,根据全等三角形的性质可知QP=PC,即可表

示出必的长.

(1)证明：过点M作MQ//8C,交AC于点Q,如图所示：

在等边AABC中，ZA=ZB=ZACB=60°,

•/MQ//BC,

.*.ZAM（2=ZB=60o,ZAQM=ZACB=60°,/QMP=ZN,

・•.AAMQ是等边三角形，

/.AM=QM,

•;AM=CN，

:.QM=CN,

在bQMP和ACNP中，

ZQPM=NCPN

<ZQMP=NN,

QM=CN

：.bQMP三bCNP〈AAS，

,•.MP=NP;

（2）解：・「AAMQ是等边三角形，且

1.AH=HQ,

・・・AQMP三bCNP,

1.QP=CP,

:.PH=HQ+QP=；AC，

•«,AB=a9AB=AC,

:.PH=-a.

2

23.（12分）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋

（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋

贵5元.

（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？

（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%,

并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售.优惠方案为：若一次购买不超过5套，

则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折.设今年该部

门购买了“套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式.

（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？

【分析】（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x-5）元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单

位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；

（2）根据题意求出。的取值范围，并求出w与a的关系式解答即可；

（3）根据题意列出不等式并解答.

解：（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x-5）元，

根据题意，得驯=当，

xx-5

解得x=40,

经检验x=40是所列方程的根，并符合题意.

所以x-5=35,

答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；

（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）x（1-20%）=60（元），

当购买a套雨衣和雨鞋5时，费用为vv=0.9x60。=54a；

当购买a套雨衣和雨鞋a>5时，费用为w=0.9x60x5+（tz-5）x60x0.8=48a+30,

[54a（〃,，5）

关于。的函数关系式为:

[48。+30（。〉5）

(3)由题意得：48a+3(X,320>解得

24

答：最多可购买6套.

24.(14分)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-l,0)、3(3,0),

与y轴交于点C,顶点为点。.在线段上方的抛物线上有一动点P,过点P作PEL3c

于点E,作PF//AB交BC于点、F.

(1)求抛物线和直线8c的函数表达式.

(2)当的周长为最大值时，求点P的坐标和AP瓦1的周长.

(3)若点G是抛物线上的一个动点，点〃是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、

3、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，