新教材2023高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线的几何性质及应用分层演练新人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线的几何性质及应用A级基础巩固1.若斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(1,3) D.(3,+∞)解析:因为斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)恒有两个公共点,所以ba>2,所以e=ca=1+b2答案:D2.过双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长FM交双曲线C1于点N,若点M为线段FN的中点,则双曲线C1A.5+1 B.5C.5 D.5解析:设双曲线的右焦点为F1,由题意,得|FN|=2b,|F1N|=2a,|FN|-|F1N|=2a,所以b=2a,则e=ca=1+ba答案:C3.经过双曲线x24-y2=1的右焦点的直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线的条数为(A.4 B.3 C.2 D.1解析:由双曲线方程x24-y2=1,可得a=2,b=1.若直线AB只与双曲线右支相交,则AB的最小值是2b2a=1.因为|AB|=4>1,所以此时有两条直线符合条件.若直线AB与双曲线两支都有交点,则AB的最小距离是2a=4,距离无最大值.因为|AB|=4,所以此时有1条直线符合条件.综上可得答案:B4.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左、右支各有一个公共点,则k的取值范围是-1<k<1.解析:由y=kx-1,x2-y2=4,消去y,得(1-k21-k2≠0,5.若直线y=x-4与双曲线x29-y23=1相交于A,B两点,则解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).将直线方程y=x-4代入x29-y23=1,整理,得2x2-24x+57=0,则有x1+x2=12,x1x2=572.由弦长公式,得|AB|=1+k2·(x6.求两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为833解:由题意,设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).联立方程组,得x消去y,得3x2-24x+(36+λ)=0(λ≠0).设直线被双曲线截得的弦为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则x所以|AB|=(1+(1+1)82-解得λ=4,经检验,λ=4符合题意,所以所求双曲线方程是x24-y2=B级能力提升7.在双曲线x29-y24=1中,被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是A.8x-9y=7 B.8x+9y=25C.4x+9y=6 D.不存在解析:因为点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性,知当直线斜率不存在时,不符合题意.假设直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入双曲线方程,得(4-9k2)x2+(36k2-18k)x-36k2+36k-45=0,且4-9k2≠0,则Δ=(36k2-18k)2-4×(4-9k2)×(-36k2+36k-45)>0.设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=18k-36k24-9k2=4,解得k=答案:D8.如图,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直,直线l与两条渐近线分别交于点M,N,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线CA.y=±33x B.y=±3C.y=±22x D.y=±2解析:因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点.又因为OM⊥F1N,所以∠F1OM=∠NOM.又因为∠F1OM=∠F2ON,所以∠F2ON=60°,所以双曲线C的一条渐近线的斜率为k=tan60°=3,即双曲线C的渐近线方程为y=±3x.答案:B9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线的左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意,知直线PQ的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2.由对称性,可知x1+x2=0,x1·x2=-a2b2b2-3a2,y1·y2=3x1·x2=-3a2b2b2-3a2.设F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故FP·FQ=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边同除以10.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与该双曲线的右支交于A,B两点,△ABF1的周长为解析:设|AF2|=m,|BF2|=n.由双曲线的定义可得|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n,则△ABF1的周长为m+n+2a+m+2a+n=4a+2(m+n)=4a+2|AB|=7a,所以|AB|=32a.令x=c,可得y=±bc2a2-1=±b2a,则|AB|的最小值为2b2a,即有32a≥2b2a,可得b2a2≤34,11.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线y26-(1)求双曲线C的方程;(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F2,倾斜角为34π,且与双曲线C交于A,B两点,求△F1AB的面积解:(1)设所求双曲线C的方程为y26-x22将点(2,3)代入方程,得96-42=λ,解得λ=-所以双曲线C的方程为y26-x22=-12,即x2(2)由(1),知F1(-2,0),F2(2,0).由题意,知直线AB的方程为y=2-x.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y消去y,得2x2+4x-7=0,且Δ=16+56>0,所以x1+x2=-2,x1x2=-72由弦长公式,得|AB|=1+1×4-4点F1(-2,0)到直线AB:x+y-2=0的距离d=|-2+0-2|所以S△F1AB=12|AB|·d=12×6×12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>(1)求双曲线C的方程;(2)设直线y=-x+m与y轴交于点P,与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,R,且|PQ||PR|=解:(1)因为e=ca=2,a=1,所以c=2,b=3所以双曲线C的方程为x2-y23=(2)设点Q的横坐标为xQ,点R的横坐标为xR.根据平行线分线段成比例定理,得|PQ||PR联立y=-x+m,x2-y23=1,消去y,得2x2由题意,得xQ<0<xR,所以xQ=-mxR=-m则|xQ|m+3解得m=1或m=-1(舍去).故m=1.C级挑战创新13.多选题若双曲线C过点(3,2),且它的渐近线方程为y=±33x,则下列结论正确的是()A.双曲线C的方程为x23-y2B.双曲线C的离心率为6C.曲线y=ex+2-1经过双曲线C的一个焦点D.直线x-2y-1=0与双曲线C有两个公共点解析:A项,设双曲线C的方程为3x2-9y2=λ(λ≠0),将点(3,2)代入方程,得λ=9,所以双曲线方程为x23-y2=1,B项,因为双曲线C的方程为x23-y2=1,所以双曲线的离心率为e=23=2C项,由双曲线C的方程为x23-y2=1,得它的一个焦点为(-2,0),把点(-2,0)代入y=ex+2-1,得0=e0-1,等式成立,D项,联立x-2y-1=0,x23-y2=1,消去y,得x2+6x-15=0,Δ=96>答案:ACD14.多选题已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为A.双曲线的离心率为3B.双曲线的渐近线方程为y=±2xC.∠PAF2=45°D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点解析:A项,因为|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为2c>2a,4a>2a,所以∠PF1F2=30°,所以cos∠PF1F2=16a2+4所以c=3a,所以离心率e=3,故此选项正确.B项,因为e2=1+b2a2=a2+b2a2=3,所以b2a2=2,C项,因为2c=23a,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所以∠PF2F1=90°,又因为|AF2