索端力与索的几何线形的对应关系

索端力与索的几何线形的对应关系

由于悬索结构的特点，如大倾角悬索桥、斜拉桥和张拉结构，结构分析应考虑几何非线性的影响，结构分析的精度主要取决于对索的精确分析。较早对索的分析采用解析法,该方法仅适合于结构体系和受力较简单的场合,对于结构和荷载分布较复杂等情况,分析计算往往太烦琐.随着计算机技术的发展,有限元分析已成为大型结构最有效的计算分析方法.目前,索的有限元分析主要有杆单元法、考虑垂度效应的杆单元法、多节点曲线索单元法和抛物线索单元法等,这些方法均存在计算精度不高或使用不便等缺点.杨孟刚等利用推导的两节点悬链线索单元对自锚式悬索桥施工全过程进行了模拟分析.本文根据索的基本假定和悬链线平衡方程,采用索段分析及迭代方法,导出了两节点空间悬链线索单元切线刚度阵及节点力的迭代格式,建立起了空间悬链线索单元的几何非线性有限元方法.该索单元既克服了杆单元(考虑Ernst弹模修正)和抛物线索单元模拟索计算精度不高的问题,又解决了多节点曲线索单元使用不便等缺点.经典算例结果表明,本文导出的空间悬链线索单元具有较高的精度.1受均布荷载q作用下柔性索段力学性能本文公式的推导主要基于以下基本假定:1)索的材料符合胡克定律;2)索的面积不随外荷载作用变化;3)索是理想柔性的.对于一般的索结构而言,可将其离散多个索段(索单元).对于每个索段而言,所承受的荷载有两种:一是索单元间沿弧长均布的主缆自重;二是索端力.由文献可知,在沿索曲线均布荷载q作用下,索的水平张力H是常数,索的线形为悬链线.对于如图1所示的受均布荷载q作用下的柔性索段IJ,弹性模量为E,截面面积为A,索段两端点跨长为L,高差为C,索段的无应力长度为S0,变形后的索长为S,OXZY为总体坐标系,oxyz为局部坐标系,且索的水平张力H是常数,索的线形为悬链线.根据静力平衡条件,有Τdxdr=Η‚Τ(-dzdr)=V-qs(1)其中T为张力.边界条件为s|x=0,z=0=0,s|s=L,z=C=S0且张力与应变关系为T=EAε=EA(dr/ds-1).由式(1)并考虑在(0,S0)区间内的积分,可以得到L=x(S0)=ΗS0EA+ΗqlnV+√Η2+V2(V-qS0)+√Η2+(V-qS0)2(2)C=y(S0)=qS20-2VS02EA-1q{√Η2+V2-√Η2+(V+qS0)2}(3)由式(2)和式(3)可知,端点内力H,V与线形参数L,C之间形成对应关系,因此如果内力一旦确定,线形也确定下来,反之亦然.显然式(2)和式(3)可以简化成为L=-ΗΙ[S0EA+1qln(VΙ+ΤΙΤJ-VJ)](4)C=12EAq(Τ2J-Τ2Ι)+ΤJ-ΤΙq(5)其中VJ=-VΙ+qS0‚ΗJ=-ΗΙ‚ΤΙ=√Η2Ι+V2Ι‚ΤJ=√Η2J+V2J.2迭代过程中的拉格朗日乘子法如果把式(4)和式(5)看成是HI和VI的函数,则L和C的变化量可用对HI和VI的微分表示为δLi=ξi1δHiΙ+ξi2δViΙ(6)δCi=ξi3δHiΙ+ξi4δViΙ(7)其中i表示迭代步数,并且ξi1=(∂L/∂HI)i=Li/Hi1+(ViJ/TiJ+ViΙ/TiΙ)/q,ξi2=(∂L/∂VI)i=Hi1(1/TiJ-1/TiI)/q,ξi3=(∂C/∂HI)i=Hi/Hi1+(1/TiJ-1/TiΙ)/q,ξi4=(∂C/∂VI)i=-S0/EA-(ViJ/TiJ+ViΙ/TiΙ)/q.对于处于第i个迭代步索单元的变形情况,如图2所示.HiΙ和ViΙ表示节点I端内力,Li和Ci根据式(6)和式(7)得到.如果|JiJ|超过某个允许值,继续第i+1步迭代,此时的HI和VI可表示为{Ηi+1=ΗiΙ+δΗiΙ=ΗiΙ+αi1δLi+αi2δCiVi+1Ι=ViΙ+δViΙ=ViΙ+αi3δLi+αi4δC(8)其中αi1=ξi4/di,αi2=-ξi3/di,αi3=-ξi2/di,αi4=ξi1/di,di=ξi1ξi4-ξi2ξi3.为了使得迭代过程快速收敛,HI和VI的初始值可按如下取值ΗΙ=-qL2β‚VΙ=q2[-Ccoshβsinhβ+S0]‚β=√6(√S20-C2/L2-1)(9)迭代收敛后,即可得到HI和VI,然后就可以得到HJ,VJ,TI和TJ.迭代计算流程如图3所示.3单元刚度矩阵面元根据式(8),在竖直索平面xz内,单元的节点力与节点位移增量的关系可描述如下(注意α2=α3):{δF}=[k′]{δu}(10)式中{δF}={δFΙxδFΙyδFIzδFJxδFJyδFJz}T为单元力列阵;{δu}={δuIδvIδwIδuJδvJδwJ}T为节点位移增量列阵;[k′]6×6为局部坐标系中的单元刚度矩阵,并且非零元素为:k′11=-k′41=k′14=-k′44=-α1;k′31=k′13=-k′16=-k′34=-k′43=k′46=-k′61=k′64=-α2;k′34=-k′36=-k′64=k′66=-α4.如果定义索平面xz与总体坐标平面XZ之间的夹角为θ,则转换矩阵[R]为[R]=[t00t](11)其中[t]=[cosθsinθ0-sinθcosθ0001](12)从而总体坐标系下索单元的刚度矩阵和节点力分别可写为[k]=[R]T[k′][R],{F}=[R]T{Φ}(13)式中{Φ}={HI0VIHJ0VJ}T.4悬链线索单元的应用根据以上算法,编制了相应程序,并用两个经典算例进行了验证.例1图4所示为一单索结构(虚线为变形后的曲线),结构的弹性模量E=190MPa,截面积A=0.85mm2,在自重均布荷载q=3.16kN·m作用下处于初始平衡状态.计算在集中荷载P=8kN作用下的节点位移.和文献一样,本文采用两个索单元进行分析,计算由一步加载迭代17次完成,结果见表1.可以看出,本文推导的悬链线索单元能够得到满意的结果.例2图5所示为一预应力空间索网结构,弹性模量E=120MPa,截面积A=0.227mm2,施加在水平单元3,4,8,11上的预应力为5.459kN,而施加在其它单元上的预应力为5.325kN,在节点4,5,8,9上施加大小为8kN的集中力,节点4的位移比较见表2.计算结果表明本文导出的悬链线索单元能方便地应用于空间索网结构的分析.5算例及分析1)本文根据索的基本假定和悬链线平衡方程,采用索段分析及柔性迭代方法,导出了两节点空间悬链线索单元几何非线性有限元分析的全套公式及算