4.5.2二分法求方程的近似解导学案

4.5.2二分法求方程的近似解导学案【学习目标】1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)【自主学习】一．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点的方法叫做二分法．【答案】f(a)·f(b)＜0一分为二零点近似值二．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0(此时零点x0∈)，则令b＝x1；③若f(x1)·f(b)<0(此时零点x0∈(x1，b))，则令a＝x1.(4)判断是否达到精确度ε：即若，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．【答案】f(a)·f(b)＜0x1(a，x1)|a－b|<ε【当堂达标基础练】1.借助计算器或计算机，用二分法求函f(x)=x3x2x在区间(0，1)内的零点(精确度0.1).解：由题设可知f＜0，f＞0，于是f(0)·f(1)＜0，所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x)=x3x2x在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)=0.55.因为f(0.5)·f(1)＜0，所以x0∈，1).再取区间，1)的中点x2，用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)＜0，所以x0∈，0.75).同理可得x0∈，0.75)，x0∈，0.6875)，x0∈，0.6875)，由于＜，所以原方程的近似解可取为0.65625.2.借助计算器或计算机，用二分法求方程x=3–lgx在区间(2，3)内的近似解(精确度0.1).解：原方程即x+lgx3=0，令f(x)=x+lgx3，用计算器可算得f，f，于是f(2)·f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.下面用二分法求方程x=3lgx在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x1，用计算器可算得f(2.5)≈0.10.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈，3).再取区间，3)的中点x2，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈，2.75).同理可得x0∈，2.625)，x0∈，2.625).由于＜，所以原方程的近似解可取为2.5625.【当堂达标提升练】一、单择题1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【答案】B【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为()A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)C．(1.5,2) D．不能确定【答案】A【解析】由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.5【答案】C【解析】由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.40625,1.4375)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为()A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)【答案】B【解析】因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4] B．[－2,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))【答案】D【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)).二、多选题6．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（

）A．的零点在区间内 B．的零点在区间内【答案】BC【分析】根据二分法基本原理判断即可.【详解】解：易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．故选：BC.7．如图，函数的图像与轴交于，，，四点，则能用二分法求出的零点近似值的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】观察图像寻找零点左右符号不一致的即可.【详解】由题图，可知在两侧，函数的值均大于0，故的近似值不能用二分法求出.其他零点两侧函数值符号均相反，可以用二分法求解近似值.故选:ACD.8．下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值．【详解】对于选项A，当时，，当时，，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B，当时，，当时，，能用二分法求零点的近似值．对于选项C，，故不能用二分法求零点的近似值．对于选项D，，故不能用二分法求零点的近似值．故选：AB．9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，下列说法正确的有（

）A．精确到的近似值为 B．精确到的近似值为C．精确到的近似值为 D．精确到的近似值为【答案】AC【分析】根据二分法基本原理判断即可.【详解】，，零点在内，又，则AC正确，D错误；，，，则B错误.故选：AC.三、填空题10．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.【答案】－1.625【解析】由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.11．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)【答案】0．6875(答案不唯一)【解析】∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，∴方程的解在(0.6875,0.75)上，而|0.75－0.6875|<0.1，∴方程的一个近似解为0.6875.12．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．【答案】6【解析】第1次取中点把焊点数减半为eq\f(64,2)＝32，第2次取中点把焊点数减半为eq\f(32,2)＝16，第3次取中点把焊点数减半为eq\f(16,2)＝8，第4次取中点把焊点数减半为eq\f(8,2)＝4，第5次取中点把焊点数减半为eq\f(4,2)＝2，第6次取中点把焊点数减半为eq\f(2,2)＝1，所以至多需要检测的次数是6.四、解答题13．已知方程2x＋2x＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间；(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．参考数值：x1.18751.1251.251.31251.3751.52x2.2782.1812.3782.4842.5942.83[解](1)令f(x)＝2x＋2x－5.因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内．(2)用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值符号(1,2)1.5f(1.5)>0(1,1.5)1.25f(1.25)<0(1.25,1.5)1.375f(1.375)>0(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)>0(1.25,1.3125)因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.3125－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数的零点近似值为1.3125，即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.3125.14．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)[解]令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.【当堂达标素养练】一、单选题1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx【答案】C【解析】对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6【答案】C【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝eq\f(1,2)(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．二、多选题3．已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（

）A．函数的两个零点可以分别在区间和内B．函数的两个零点可以分别在区间和内C．函数的两个零点可以分别在区间和内D．函数的两个零点不可能同时在区间内【答案】ABD【解析】由在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，再结合函数图象是连续的，可得到，，进而讨论的正负性，并结合零点存在性定理，可得出答案.【详解】因为函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，又，，所以，，若，可得，，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故B正确；若，则，，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故A正确.综上两种情况，可知选项C错误，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查零点存在性定理的运用，解题的关键是根据零点都可以用二分法求得，可知零点两侧函数值异号，进而讨论的正负性，结合零点存在性定理，可求出答案.考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.4．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）A．6 B．9 C．8 D．7【答案】BC【分析】因为每过滤一次杂质含量减少,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的,由此列式可解得.【详解】设经过次过滤，产品达到市场要求，则，即，由，即，得，故选BC．【点睛】本题考查了指数不等式的解法,属于基础题.三、填空题5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．【答案】1．5625【解析】f(1.5625)≈0.003>0，f(1.5562)≈－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.5562，1.5625)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.5625.6．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是________．【答案】1．5,1.75,1.875,1.8125【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．四、解答题7．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．[证明]∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点eq\f(1,2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)a＋b＋c＝eq\f(3,4)a＋(－a)＝－eq\f(1,4)a<0.∵f(0)>0，f(1)>0，∴函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上各有一个零点．又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．8．阅读材料求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：第一步：令．因为，，所以设，．第二步：令，判断是否为0．若是，则为所求；若否，则继续判断大于0还是小于0．第三步：若，则；否则，令．第四步：判断是否成立？若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．方法二：考虑的一种等价形式变形如下：，∴，∴这就可以形成一个迭代算法：给定根据，，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值(1)分别运用方法一和方法二计算的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算的近似值（精确到0.001）．【答案】(1)的近似值见解析；方法二的迭代速度更快，理由见解析.(2)选择方法二进行计算，【分析】（1）按照方法一和方法二进行迭代求解，求出相应的近似值；（2）结合第