5.3诱导公式6题型分类（原卷版）

一、角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(a)；(2)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(b)；(3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(c)．二、诱导公式公式二sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.三、诱导公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq\f(π,2)±α中的整数k来讲的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.（一）给角求值利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．题型1：给角求值11．（23·24上·自贡·期中）（

）A． B． C． D．12．（23·24上·江西·开学考试）（

）A． B． C． D．13．（23·24上·商洛·期末）（

）A． B．0 C． D．14．（23·24·全国·专题练习）求值：=（

）A． B． C． D．15．（23·24上·武威·期中）已知16．（23·24·全国·专题练习）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．(4)；(5).17．（23·24上·抚州·期末）设，，，则（

）A． B． C． D．（二）给式(值)求值1、解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、解答此类题目的关键在于利用数学中化归的思想来探究两个角(或整体)之间的关系，当寻找到角与角之间的联系后，未知角这一整体的三角函数值可以通过已知角的三角函数值和有关的三角公式求得，这是三角函数解题技巧之一.题型2：给式(值)求值21．（23·24上·日照·开学考试）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．22．（23·24上·朝阳·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．23．（23·24上·玉溪·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．24．（23·24上·全国·课时练习）已知，则的值为（

）A． B．C． D．25．（23·24上·伊犁·期末），那么（

）A． B． C． D．（三）三角函数式的化简1、三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．2、三角函数式的化简注意:(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;(3)注意“1”的变形应用.题型3：三角函数式的化简31．（23·24上·北京·期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．32．（23·24上·海淀·期中）化简（

）A． B． C． D．33．（23·24上·虹口·阶段练习）化简：．34．（23·24上·红桥·期末）若，则化简=（

）A． B． C． D．35．（23·24上·济南·阶段练习）已知角终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．36．（23·24上·全国·单元测试）已知是方程的根，α是第三象限角，则＝.37．（23·24·全国·专题练习）（1）化简：.（2）化简；（3）化简．（4）化简；（5）化简；（6）已知，求的值.（四）由已知角求未知角的三角函数值①观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将会不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角是解决问题的关键;②对于有条件的三角函数求值题，求解的一般方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式完成求值;③当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系.题型4：由已知角求未知角的三角函数值41．（23·24·全国·专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．42．（23·24上·北京·期中）已知，则（

）A． B． C． D．43．（23·24上·南宁·期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．44．（23·24上·全国·期末）已知，，则cos()=（

）A． B． C． D．45．（23·24上·福州·期中）已知则的值为（

）A． B． C． D．46．（23·24上·绵阳·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．47．（23·24·遵义·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．48．（23·24·全国·专题练习）已知，则的值等于（

）A． B． C． D．49．（23·24上·虹口·阶段练习）已知，求．（五）利用诱导公式证明恒等式解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型5：利用诱导公式证明恒等式51．（23·24上·全国·课时练习）（1）求证：；（2）设，求证.52．（23·24·全国·专题练习）求证：．53．（23·24·全国·课时练习）求证：.54．（23·24·全国·课时练习）求证：．55．（23·24·全国·课时练习）求证：当或3时，.（六）诱导公式的综合应用诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．题型6：诱导公式的综合应用61．（23·24·全国·课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．62．（23·24上·全国·课时练习）已知，且为第二象限角,，则的值为（

）A．－ B．－C． D．－63．（23·24·全国·课堂例题）若，，则．64．（23·24上·西安·阶段练习）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（

）A． B． C． D．65．（23·24上·铜梁·阶段练习）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a66．（23·24·全国·课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.(1)求的值；(2)求的值.67．（23·24上·佛山·阶段练习）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．68．（23·24上·辽宁·期中）已知函数.（1）化简；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值.一、单选题1．（23·24上·塔城·期末）的值是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·青岛·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．3．（23·24上·马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系内，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若线段绕点逆时针旋转得（，），则点的纵坐标为（

）A． B． C． D．4．（23·24上·河北·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较小的锐角为，则A． B． C． D．5．（23·24上·焦作·期中）已知，（

）A． B． C． D．6．（23·24上·深圳·期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．7．（23·24上·河北·阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．北京时间2月8日，中国选手谷爱凌摘得冬奥会自由式滑雪大跳台金牌．谷爱凌夺冠的动作叫“向左偏转偏轴转体”，即空中旋转，则（

）A．1 B． C． D．8．（23·24·全国·专题练习）点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（23·24上·省直辖县级单位·阶段练习）点在直角坐标平面上位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（23·24上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．11．（23·24上·芜湖·期中）已知，且，则（

）A． B． C． D．12．（23·24上·眉山·阶段练习）若=，则等于（

）A． B． C． D．13．（23·24上·江苏·三模）已知，则（

）A． B． C． D．14．（23·24上·哈尔滨·二模）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（

）A． B． C． D．15．（23·24上·金华·阶段练习）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．二、多选题16．（23·24上·潍坊·阶段练习）下列化简正确的是A． B．C． D．17．（23·24上·九龙坡·阶段练习）已知，则下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．18．（23·24上·日照·阶段练习）下列各式中值为的是（

）A． B．C． D．19．（23·24上·新疆·期末）已知角的终边经过点，则（

）A． B．C． D．20．（23·24上·无锡·阶段练习）下列结论正确的有（

）A． B．C． D．三、填空题21．（23·24上·沈阳·阶段练习）已知，且，则的值为.22．（23·24·全国·单元测试）当时，若，则的值为．23．（23·24上·闵行·开学考试）已知，则的值为.24．（23·24上·枣庄·三模）已知为锐角，且，则的值为．25．（23·24上·武清·阶段练习）已知是第四象限角，且，则.26．（23·24·全国·课时练习）计算：.27．（23·24上·株洲·开学考试）已知，，则.28．（23·24上·深圳·阶段练习）若，，则