01-02数学与我们同行、有理数（中等类型）（原卷版）

01-02数学与我们同行、有理数【专题过关】类型一、有理数中常见的规律【解惑】阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到：(1)，；(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：（m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；(3)知识运用：，；(4)已知，则的值是．【融会贯通】1．（福建省泉州市南安实验片区2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷）阅读探究：；；；；…(1)根据上述规律，求的值；(2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：．2.（福建省泉州市南安实验片区2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷）已知有下列两个代数式：（1）；（2）．(1)当，时，代数式（1）的值是___________；代数式（2）的值是___________；(2)当，时，代数式（1）的值是___________；代数式（2）的值是___________；(3)观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为___________(4)利用你发现的规律，求的值．3．（广东省惠州市外国语学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学模拟用卷）（1）计算下列各组数后再比较大小：①，②，③，⋯（2）通过上述计算，猜一猜：，归纳得出公式：；（3）请逆用上述公式计算：．4．（辽宁省抚顺市新抚区2021-2022学年七年级上学期数学第一阶段练习（一））阅读计算：阅读下列各式：回答下列三个问题：(1)验证：=

；=;(2)通过上述验证，归纳得出：=

；=；(3)请应用上述性质计算：5．（辽宁省大连市西岗区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）观察下面三行数：2，，8，，32，，……；

①0，，6，，30，，……；

②，2，，8，，32，……；

③观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．类型二、绝对值与偶次方的非负性【解惑】已知，，且，求的值（

）A．1或 B．5或 C．5 D．1【融会贯通】1．（第06讲有理数的乘方-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（北师大版））若，那么．2．（江苏省南京市高淳区高淳区永丰中学2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）如果，那么；如果，那么．3．（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试卷）若，则．4．（江苏省徐州市邳州市2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）已知a，b都是实数．若，则．5．（上海市浦东新区民办欣竹中学2022-2023学年六年级下学期期中数学试题），则的值是（

）A． B． C． D．1类型三、数轴上两点之间的距离【解惑】如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m．

(1)若，求m的值；(2)点C是线段上一点且，点C对应的数字是n，若，求m的值．【融会贯通】1．（上海市普陀区2022-2023学年六年级下学期期末数学试题）数轴上的两点、所对应的数分别是和3，那么、两点间的距离等于．2．（广东省台山市新宁中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）已知数轴上有三点，分别表示有理数：，，，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．(1)填空：两点之间的距离是________；两点之间的距离是________；点P对应的数是________．（可用含t的代数式表示）(2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，请用含t的代数式表示两点之间的距离．3．（【浙江新东方】【2021】【初一上】【开学考】【157】数学试题）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下四个问题：(1)若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示，求点A、B两点间的距离；(2)在数轴上表示x的点与的距离是3，求x的值；(3)若数轴上表示a的点位于和之间，求的值．4．（辽宁省沈阳市皇姑区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．5（江西省宜春市高安市2022－2023学年七年级上学期期末考试数学试卷）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务：(1)如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知．①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为，点C表示是数为．②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为，点C表示是数为．(2)从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么．(3)在数轴上，若点E、F表示的数分别为，那么．(4)若数轴上，点M表示的数是，求点N和线段的中点P所表示的数分别是多少？类型四、数轴上字母大小关系【解惑】已知三个实数a，b，c满足，则下列结论可能成立的是（）A． B．C． D．【融会贯通】1．（吉林省长春市朝阳区第二实验学校2022-2023学年九年级下学期第三次月考数学试题）如图，点、均在数轴上，且点所对应的实数分别为、，若，则下列结论一定正确的是（

）

A． B． C． D．2．（2023年河北省廊坊市香河县香河县第四中学中考三模数学试题）如图，数轴上两点、所表示的数分别为、，则下列各数中最大的是（

）

A． B． C． D．3．（山东省临沂市河东区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．4．（2023年福建省泉州市石狮市中考二模数学试题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A． B． C． D．5．（2023年山东省潍坊市中考三模数学试题）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（）

A．2 B． C． D．1类型五、绝对值的最值（一）【解惑】已知点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，A、B两点之间的距离为d(1)对照数轴填写下表．a23b1031A，B两点之间的距离d127(2)观察上表，发现d与之间的数量关系是，(3)点A表示的数为x，式子、表示A、B两点之间的距离，则点B表示的数是；若，则x＝．(4)适合式子的整数x的值是；(5)式子的最小值是多少？【融会贯通】1．（广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请回答下列问题：(1)已知是最大的负整数，是最小的正整数．请直接写出：，；并求出在数轴上和的距离是；(2)代数式可以表示数轴上有理数与有理数所对应的两点之间的距离；若，则．(3)求代数式的最小值，并求出此时的值．2．（重难点02有理数与数轴的复杂应用题-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（苏科版））数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．

利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为．(3)若x表示一个有理数，则的最小值＝．(4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是．(5)若x表示一个有理数，当x为，式子有最小值为．3．（重难点02有理数与数轴的复杂应用题-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（苏科版））点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．(2)如果，那么．(3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是，最小距离是．(4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则；②若，则．4．（第04讲有理数的加减-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（北师大版））点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示和两点之间的距离；(2)若数轴上表示点的数满足，那么；(3)若数轴上表示点的数满足，求的值；(4)|的最小值是．5．（黑龙江省哈尔滨市虹桥中学校2022-2023学年七年级下学期4月月考数学试题）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)__________；(2)表示与__________之间的距离；表示与__________之间的距离；(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．类型六、数轴折叠对称问题【解惑】如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（

）

A．或5 B．或2 C．1或 D．或【融会贯通】1．（河南省新乡市辉县市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，且，则C点表示的数是．

2．（陕西省西安市西咸新区沣东新城第六初级中学2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）如图，数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，使点落在射线上，并且，则点C表示的数是（

）A．1或 B．或5 C．1或 D．3．（江苏省南京市鼓楼区南京市金陵汇文学校2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．

(1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_________；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是_________；(2)如图2，点A、B表示的数分别是、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，那么点C表示的数是_________；(3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．4．（江苏省苏州市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合；(2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①6表示的点与数______表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？5．（专题02数轴折叠问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版））已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数___________表示的点重合；(2)若表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数___________表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？类型七、有理数与无理数分类问题【解惑】把下列各数填入相应的大括号内：，，，0，，，(1)自然数：{________…}；(2)整数：{________…}；(3)正分数：{________…}；(4)负有理数：{________…}．【融会贯通】1．（四川省成都市简阳市城学区2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数分别填入相应的集合：0，，，，，，15，．整数集合{…}；分数集合{…}；非负整数集合{…}；负数集合{…}．2．（河南省周口市沈丘县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：．(1)分数集合{_______…}；(2)自然数集合{______…}；(3)非正整数集合{_______…}；(4)非负有理数集合{______…}．3．（四川省眉山市彭山区眉山市彭山区第二中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数填在相应的大括号里．，0.275，，0，，，0.1，，，，．正整数集合｛

……｝非负整数集合｛

……｝负数集合｛

……｝分数集合｛

……｝非负数集合｛

……｝4．（浙江省宁波市镇海区古塘初级中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）对以下数进行分类，，，，0，，负整数（

）负分数（

）正分数（

）整数（

）分数（

）有理数（

）5．（山东省德州市乐陵市2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数分别填在相应的横线上：1，，325，，0，，0.618，．正数有：__________________________________________________；负数有：__________________________________________________；整数有：__________________________________________________；分数有：__________________________________________________．类型八、绝对值化简“1”和“-1”（一）【解惑】已知，，都是非零有理数，满足，令，则的值为（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（浙江省杭州市萧山区萧山区新民学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）若，则的值为（

）A．0或1 B．或0 C． D．2．（江苏省南京市秦淮区南京秦淮外国语学校2022-2023学年七年级上学期第一次月考数学试题）符合要求的不同的值共有（）个A．10 B．7 C．4 D．33．（四川成都彭州市成都七中嘉祥外国语学校北城分校2020~2021学年七年级上学期10月月考数学试题）数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，②当两个字母，中有1个正，1个负时，③当两个字母，中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求的值．（2）若均不为零，且，求代数式的值．4．（山东省聊城市阳谷县第二实验中学2022-2023学年七年级上学期数学第一次月考试题）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为．5．（江苏省泰州市兴化市乐吾实验学校2022-2023学年七年级上学期第一次月考数学试题）计算：．类型九、根据未知数大小去绝对值【解惑】已知实数在数轴上的对应点如图所示，计算：．【融会贯通】1．（北京市朝阳外国语来广营分校2019-2020学年七年级上学期期中数学试题）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则｜a－b｜－｜b｜化简的结果为：．2．（河北省保定市莲池区河北保定师范附属学校2022-2023学年八年级上学期月考数学试题）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．

（1）实数m的值是；（2）求的值．3．（福建省平潭翰英学校2021-2022学年七年级上学期第一次月考数学试题）有理数a、b在数轴上的位置如图所示．(1)用>或<填空：a+b0，c-b0；(2)化简：|c|=；|a+b|=；|c-b|=．4．（云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县茂山中学2021-2022学年七年级上学期期中数学试题）若a、b、c三数在数轴上对应位置如图所示，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|+|a+c|．类型十、循环周期问题【解惑】如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数－2018的点与圆周上表示数字（

）的点重合．A．0 B．1 C．2 D．3【融会贯通】1．（山东省菏泽市定陶区2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4