人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第32讲 第五章 一元导数及其应用章末重点题型归纳（含解析）

第五章一元导数及其应用章末重点题型归纳知识点1函数的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．知识点2瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).(3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度eq\x\to(v)就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0.（2）瞬时变化率的变形形式eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．知识点3函数在某点处的导数如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).知识点4割线斜率与切线斜率及导数的几何意义1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k.注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率．4．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知识点5函数的单调性与导数的关系若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快．知识点6导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数知识点7基本初等函数的导数公式原函数导函数1（常数的导数为0）2f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1（熟记）3f(x)＝sinxf′(x)＝cosx4f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx5f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlna6f(x)＝exf′(x)＝ex7f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)8f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)注：①对于根式f(x)＝eq\r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,lna)(lnx)′＝eq\f(1,lna·x).知识点8导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；注：函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．即：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f1x±f2x±f3x±…±fnx))′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导）注：(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))eq\a\vs4\al(′,)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方）注：知识点9复合函数的导数（1）复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作．注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数．（2）复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是（2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。知识点10导数计算的原则和方法（1）导数计算的原则：先化简解析式，再求导．（2）导数计算的方法：①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．知识点11函数的导数与单调性的关系一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。知识点12利用导数求函数的单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．知识点13函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减恒有f′(x)＝0是常数函数，不具有单调性特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解．知识点14函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减）在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间．（1）单调递增①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓（2）单调递减①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。④利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．知识点14极值点与极值的概念1．极小值点与极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．知识点15求函数的极值1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；知识点16函数最值的定义(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．(3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．知识点17用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.题型一平均变化率和瞬时变化率1．（2023秋·天津河西·高二天津实验中学校考期末）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平均变化率的定义直接求解.【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）自由落体运动的物体下落的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数，取，则时的瞬时速度是多少（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】时的瞬时速度是,求导，代入即可求解.【详解】，故时的瞬时速度是.故选:B.3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】分别求出在区间上的平均变化率和在时的瞬时变化率，利用相等求解即可.【详解】函数在区间上的平均变化率等于，在时的瞬时变化率为，所以，解得.故选：B4．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______.【答案】##【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．【详解】因为，所以，，故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为.故答案为：.5．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间的函数关系图象（）A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此与图象越来越陡峭，原来越大，选考点：函数的单调性与导数的关系.题型二导数定义的应用6．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数可导，且，（

）A．-3 B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.【详解】.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.7．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考期末）已知函数，若，则__________.【答案】【分析】根据利用极限计算导数的方法求得正确答案.【详解】依题意，.故答案为：8．（2023秋·湖北·高二校联考期末）已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（

）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以.故选：D.9．（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知函数的一个极值点为1，则（

）A．6 B． C．3 D．【答案】D【分析】根据可导函数在极值点的导数为0求得，而，，再利用导数的定义即可求解.【详解】求导得因为的一个极值点为1，所以，解得当时，，则1是函数的一个极值点.所以，此时.因为而所以故选：D题型三导数的基本运算10．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）下列函数的求导运算中，错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据求导法则依次计算得到ACD正确，，B错误，得到答案.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，正确；对选项C：，错误；对选项D：，正确.故选：C11．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知函数，则（

）A．－1 B．0 C．－8 D．1【答案】C【分析】求导，解得，得到求解.【详解】解：因为函数，所以，则，解得，则，所以，故选：C12．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）已知函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解方程即得解.【详解】，所以，解得．故选：A．13．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数，满足，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令中，求出，再对两边求导，将代入即可得出答案.【详解】令，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：B.题型四导数的几何意义及其应用14．（2023秋·江苏南通·高二校考期末）函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，从而可得在点处的切线的倾斜角.【详解】，所以.所以在点处的切线的倾斜角是.故选:C.15．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）函数的图象在处的切线方程为______.【答案】【分析】根据切点处切线的斜率等于切点处函数的导数即可求解.【详解】∵，∴，，∴函数在处的切线方程为.故答案为:.16．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.【详解】函数的定义域为，其导函数，所以，所以曲线在点处的切线的斜率为1，又，故曲线在点处的切线方程为.故选：D.17．（2023秋·天津河西·高二北京师范大学天津附属中学校考期末）过点作曲线的切线，则切线方程是__________．【答案】【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案.【详解】函数定义域为，，设切点为，，所以切线方程为，代入，得，解得：，所以切线方程为，整理得：．故答案为：18．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）直线与曲线相切于点，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】直线与曲线相切于点,可得求得的导数,可得,即可求得答案.【详解】直线与曲线相切于点将代入可得:解得:由,解得:.可得,根据在上,解得:故选:.19．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）函数在处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于的方程，可求出的值.【详解】函数的导函数为，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有，可得.故选：B20．（2023秋·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线平行的直线的方程为，∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，设切点，，所以，，，，点，直线的方程为，两点间距离的最小值为平行线和间的距离，两点间距离的最小值为.故选：.21．（2023秋·湖南岳阳·高二岳阳一中校考期末）已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a的取值范围为___________.【答案】【分析】设切点分别是，得到，化简可得a，转化为是方程的解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】设，的公切线的斜率为，直线与，图象的切点分别是，若不存在，则不是图象的切线，所以存在，则，可得，所以，根据题意，此关于的方程有解；令，则有零点，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以有零点当且仅当，解得，即所求a的取值范围是.故答案为：.22．（2023秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义分别得到、，再运用基本不等式即可求解.【详解】设直线与函数，的图象相切的切点分别为，.由，有，解得，.又由，有，解得，，可得，当且仅当，时取“=”.故选：B题型五利用导数研究函数的单调性23．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，令导数小于0，即可求得答案.【详解】由题意得，令，故函数的单调递减区间是，故选：C24．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数的单调递增区间是（

）A． B．和C． D．【答案】A【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数的定义域为，，当时，解得，故函数的单调递增区间是，故选：A25．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知函数（）．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可.（2）根据不单调，令，令，，求出的单调性，得到，从而证出结论.【详解】（1）函数的定义域为：当时，，的单调递增区间为当时，当时，，的单调递增区间为；

当时，，的单调递减区间为；综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为方程存在两个不同的实数解，因此不为单调函数，所以，令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值，，令，，，在上单调递增，且，当时，，，，，的单调递增区间为，、，.26．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设为实数，已知函数(1)讨论的单调性(2)若过点有且只有两条直线与曲线相切，求的值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；（2）设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，结合（2）中的结论以及三次函数的基本性质可得出关于的等式，解之即可.【详解】（1）因为，则，由可得，，①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，此时，函数的增区间为，无减区间；②当时，即当时，由可得，由可得或，此时，函数的减区间为，增区间为、；③当时，即当时，由可得，由可得或，此时，函数的减区间为，增区间为、.综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为、；当时，函数的减区间为，增区间为、.（2）解：设切点为，对函数求导得，所以，切线方程为，将点的坐标代入切线方程整理可得，即，故关于的方程有两个不等的实根，①当时，函数在上单调递增，则方程至多一个实根，不合乎题意；②当时，则，故当时，，此时方程至多一个实根，不合乎题意；③当时，则，则，解得，合乎题意.综上所述，.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.27．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函数.(1)当时，证明：；(2)讨论的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）构造函数，利用函数的最值即可证明不等式；（2），对分类讨论即可得出函数的单调性．【详解】（1）当时，令，，可得时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，时，函数取得极小值即最小值，，∴，即．（2）函数的定义域为，，

当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；当时，时，，函数单调递增区间为；时，，函数单调递减；当时，，，函数在单调递增．综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增.28．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）已知函数(1)讨论函数的单调性(2)若有两个极值点，且，求b的取值范围【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.(2)【分析】(1)对函数求导，分和两种情况，讨论导函数的正负，求出单调区间；(2)根据（1）得到，，且，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性进而求出的取值范围.【详解】（1）因为函数，则，令，，当，即时，令得：，，当或时，，因为，所以，函数单调递增；当时，，因为，所以，函数单调递减，当，即时恒成立，因为，所以，函数单调递增；综上：当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知：，，且，，令，由可得：，所以，由可得：.令，则，函数在上单调递减，因为，要证，即证，所以，由，则，所以，解得：，所以实数的取值范围为题型六利用导数解决函数的单调性的应用29．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数，当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢.B选项中的图象满足题意.故选：B.30．（2023秋·云南·高二云南师大附中校考期末）若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据结构，构造函数，利用导数证明出，利用单调性判断出；令，利用单调性判断出，即可得到答案.【详解】记.因为.令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以.所以.所以，因为，所以，即；令，所以在单调递增，，所以当时，，即，所以，又，所以.故.故选：B.31．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知函数，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求导，判断在上单调性，利用单调性比较大小.【详解】因为函数，所以，所以在上递增，又因为，所以，故选：D32．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设m为实数，已知函数，则不等式的解集为______【答案】【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性解不等式作答.【详解】函数的定义域为R，求导得：，而，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，因此，即函数在R上单调递增，则，所以不等式的解集为.故答案为：33．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为不等式等价于，故考虑构造函数，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.【详解】令，函数的定义域为，因为所以，故故在R上单调递减，又因为所以，，所以不等式可化为，所以，所以的解集为故选：B.34．（2023秋·吉林松原·高二校考期末）若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.【详解】，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，当时，的最小值为，所以，故答案为：35．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由求得的减区间，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】函数的定义域是，.当时，，在上单调递增，不符合题意.当时，由解得（负根舍去），所以在区间递增；在区间递减，依题意，函数在区间内存在单调递减区间，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A【点睛】利用导数研究含参数的函数的单调性，再求导后，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可考虑二次函数的性质来决定.研究恒成立问题和存在性问题的方法，要注意端点的取值.题型七利用导数解决函数的极值问题36．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数，则的极大值为________________【答案】【分析】求出函数导数，令导数等于0，判断出极大值点，进而求得极大值，即得答案.【详解】由函数得函数，令，则或，当时，，当时，，当时，故为函数的极大值点，极大值为，故答案为：37．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为函数的零点B．函数在上单调递减C．为函数的极大值点D．是函数的最小值【答案】B【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.由的图象可知，当时，，当时，，故为函数的极大值点，A错误；当时，，故函数在上单调递减，B正确；当时，，当时，，故为函数的极小值点，C错误；当时，，当时，，故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,故选：B38．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数在处有极值.(1)求实数的值；(2)求函数在上的最值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据题意列出方程，求得的值，可得答案.（2）求出函数的极值点，求得函数的极值以及区间端点处的函数值，比较可得答案.【详解】（1），，解得，则，若，则；若，则或,即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，故：（2）由（1）知，，，若，则；若，则或,在上单调递增，在上单调递减,又，.39．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（

）A．(－3,3) B．(－11,4)C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)【答案】C【分析】先求函数的导数，再根据极值列方程求解参数可得出答案.【详解】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即解得或当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，所以数对为(4,-11)，选项C正确.故选：C.40．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若，且函数在处有极值，则的最大值等于（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到，满足的条件，利用二次函数的性质求出的最值．【详解】由题意，求导函数，在处有极值，所以，即，，，，，当，时，取得最大值9，此时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因此满足是的极值点，所以的最大值等于9，故选：D41．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】函数在区间上有极值点，转化为在区间上有解即可求解.【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得．故答案为：42．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）若函数有小于0的极值点，则a的范围是________．【答案】【分析】由函数解析式，求导，将问题转化为导数求零点问题，构造新函数，再求导，研究函数在小于上的值域，利用函数平移规律，可得答案.【详解】由函数，则求导可得，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，由恒成立，则当时，恒成立，因此，当时，，由函数有小于0的极值点，则有小于的零点，且零点的左右符号不同，根据函数的平移变换，可得，故答案为：.43．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函数的极值点，由条件列不等式，求的取值范围.【详解】因为，所以当时，即时函数取最大值，当时，即时函数取最小值，故函数的极大值点为，极小值点为，因为函数在区间上既有极大值又有极小值，所以，故，所以的取值范围为.故选：A.44．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知函数有两个极值点，则（

）A．或 B．是的极小值点 C． D．【答案】A【分析】根据函数有两个极值点，则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数有两个极值点，所以有两个根,所以,,故选项错误;因为有两个根,所以,即得,解得或,故选项正确;因为有两个根,在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误;故选:A.45．（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.【详解】函数的定义域为，因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同正根，即有两个不同正根，所以解得，故答案为:A.46．（2023秋·陕西榆林·高二统考期末）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若有三个极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）先将代入，然后求导，利用导函数的正负判断其单调性，求出单调区间即可；（2）求导将极值的问题转化为导函数的零点问题，然后让导函数有三个不相同的变号零点，求出的取值范围即可.【详解】（1）当时，，.令，得或；令，得.的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），.若函数有3个极值点，则有两个不同的零点，且都不是.，故不可能是函数的零点.所以，令，解得.在上，单调递减；在上，单调递增.的最小值为，，解得，又趋向或时，趋向，当时，存在，使得，且.实数的取值范围为.题型八利用导数解决函数的最值问题47．（2023秋·陕西西安·高二校考期末）函数在区间上的最大值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】对函数求导利用函数导数的单调性求函数极值，在计算端点值，比较得出最大值.【详解】因为，所以，令或，又，所以当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以函数有极大值，又，所以函数在上的最大值为：，故选：C.48．【多选】（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）关于函数，下列说法正确的是（

）A．是奇函数 B．在处的切线方程为C．在上的最小值为 D．在区间上单调递增【答案】AC【分析】利用函数奇偶性定义可判断A；利用导数求出切线斜率，再求出，由直线的点斜式方程可判断B；利用导数求出在上的最小值可判断C；利用导数可判断的单调性可判断D.【详解】函数的定义域为，对于A，因为，所以是奇函数，故A正确；对于B，，，，所以在处的切线方程为，故B错误；对于C，当时，由得，单调递增，由得，单调递减，又，，所以在上的最小值为，故C正确；对于D，，因为，所以，当时，，单调递减，当，，单调递增，故D错误.故选：AC.49．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)求在上的最值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程；（2）研究函数在区间上单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值．【详解】（1），.，所以切线方程为，即.（2）在单调递增；在单调递减，时，取极大值也是最大值，，.50．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】，先求得极值，再求得端点值比较求解.【详解】解：令，解得或，当时，，时，，又，，显然，所以，所以，故选：B51．（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知函数，当时，若恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函数导数后可知导函数为上的增函数，根据a分类讨论，求的最小值即可求解.【详解】，，当时，单调递增，，（1）若时，，所以在时单调递增，恒成立，（2）若时，，由单调递增知，存在，使得，故时，，当时，，所以在时单调递减，所以，即在上存在使得，所以时不满足题意.综上，，故选：A【点睛】关键点点睛：对a分类讨论，研究导函数的单调性，根据导函数的单调性求最小值，根据最值是否满足不小1，判断a所取范围，属于中档题.题型九利用导数证明不等式52．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知函数（）.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：.【答案】(1)当时，在单调递减，单调递增，当时，在单调递增，单调递减.(2)证明见解析【分析】(1)根据导数讨论单调性即可；(2)根据导数与单调性和极值的关系得到，即可证明.【详解】（1），当时，得解得，得解得，所以在单调递减，单调递增；当时，得解得，得解得，所以在单调递增，单调递减；（2）因为，由（1）知，当时，单调递增，所以，即，设，，由得解得，由得解得，所以在单调递增，在单调递减，所以，从而恒成立，即恒成立.53．（2023秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知函数.(1)若是的极小值点，求的取值范围；(2)若只有唯一的极值点，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数分，和讨论函数单调性即可求解；（2）由（1）可知当时，此时有唯一的极大值点，题意转化成，令，利用导数求其最值即可【详解】（1）由可得，当时，，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是的极大值点，不符合题意，舍去；当时，令，则或；由可得当时，，单调递增；当或时，，单调递减，故是的极大值点，不符合题意，舍去；当时，，①若，即，，故在上单调递增，不符合题意，舍去；②若，即时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，故是的极大值点，不符合题意，舍去；③若，即时，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，故是的极小值点，符合题意.综上所述，的取值范围.（2）由（1）可知，当时，此时有唯一的极大值点，要证：，设，，设，，，当，当，于是在单调递增，在单调递减，于是，则由可得，当，当，且在单调递减，在单调递增，那么，即证【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．54．（2023秋·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）已知函数(1)已知在上为单调递增，求的取值范围；(2)若在有两个极值点，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据在上为单调递增，可得，在上恒成立，即可转化为一元二次不等式在上恒成立，即可求得的取值范围；（2）若在有两个极值点，即有在上有两个根，转化为为方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可得的范围与满足的关系式，从而化简，再将所证问题转化为，构造函数，求导得单调性，即可证明.【详解】（1）由，，求导得，因为在上为单调递增，故，在上恒成立，又恒成立，所以在上恒成立，由时，即，所以的取值范围为.（2）证明：在上由两个极值点，有在上有两个根，即为方程的两个根，所以，解得，可得，且，所以将代入上式，可得：，由题意，需证，令，求导得，当时，，则在上单调递减，即，故.55．（2023秋·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)求当时，函数在区间上的最小值；(3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：．【答案】(1)极大值为，极小值为(2)(3)，证明见解析【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；（2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不同实根，满足，，两式化简得到，不妨设，利用分析证明法和换元法即可证明结果．【详解】（1）当时，函数．，令，得或当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则在处取得极大值，在处取得极小值．极大值为，极小值为．（2）函数的定义域是，．当时，令有两个解，或．当，即时，，在上单调递减，在上的最小值是，当，即时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，在上的最小值是，当，即时，，，在上单调递增，在上的最小值是．综上，．（3）关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根，得，令，，令，得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，时，取得最大值，且，当时，得的大致图象如下：．即当时，有两个不同实根．两根满足，，两式相加得：，两式相减得：，上述两式相除得．不妨设，要证：，只需证：，即证，设，令，则，函数在上单调递增，且．，即，．56．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数（）．(1)试讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，（），求证：．【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.(2)证明见解析【分析】（1）求导后，根据的不同取值范围，对的符号进行讨论即可；（2）由已知及（1）中单调性，可知，且，故只需证明，再借助不等式性质和放缩，即可证出.【详解】（1）由已知，的定义域为，，①当时，，恒成立，∴此时在区间上单调递增；②当时，令，解得，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）若函数有两个零点，（），则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，当时，，当时，，（*）∵，∴，∴，又∵，∴，∴只需证明，即有.下面证明，设，，设，则，令，解得，当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，∴，在区间上单调递增，又∵，∴，即，∴由（*）知，，∴，即.又∵，，∴，原命题得证.【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过和，确认只需证，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出，最后使用不等式性质和放缩得到.57．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知函数．(1)若在上恒成立，求的取值范围；(2)在（1）的条件下证明:对任意，都有；(3)设，讨论函数的零点个数．【答案】(1)(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）由题知在上恒成立，进而构造函数并求最大值即可得答案；（2）结合（1）得当时，在时恒成立，令得，再根据对数运算即可得答案.（3）由题知，进而构造函数，研究其性质，进而求解即可.【详解】（1）解：由在上恒成立，可得在上恒成立，令，则，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减，故在处取得极大值，也即最大值，要使得，则，所以，的取值范围为．（2）解：由（1）当时，，即在时恒成立，令，，则，所以，所以，．（3）解：由可得，，即，令，则，当时，，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以，当时，取得最大值，因为，，且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，所以，当时，只有一个根，即只有一个零点，当时，方程有且仅有2个根，即有且仅有2个零点，当时，没有根，即没有零点【点睛】方法点睛：本题第二问解题的常用方法是结合导数证明不等式，进而根据不等式，构造数列不等式，进而结合对数运算求和即可证明；第三问解题的方法为将已知问题转化为函数与直线的交点个数问题，进而研究性质即可.题型十利用导数研究不等式恒（能）成立问题58．（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）已知对于恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于恒成立转化为，求出即可得出答案.【详解】令，，令，解得：，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为对于恒成立，所以，即.故选：B.59．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为______.【答案】【分析】恒成立即在上恒成立,只需即可,构造新函数求导求单调性及最大值即可.【详解】解:由题知恒成立,即在上恒成立,即在上恒成立,即,记,所以,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,所以.故答案为:60．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知函数（为常数）.(1)讨论函数的单调性；(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增(2)【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；（2）分离参变量得在上恒成立，令，问题转化为求函数的最大值的问题，求解即可．【详解】（1）定义域为，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增.（2）由题意知：在上恒成立，即：在上恒成立，令，则，由，得，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，只需，所以实数的取值范围是.61．（2023秋·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解；（2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，若，，函数在上单调递减；若，当时，，当时，，因此，函数在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，函数在上单调递减；当时，函数的减区间为，增区间为.（2）令，于是恒成立，即恒成立，令，求导得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因此，，则有，所以的取值范围是.【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.62．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）利用导数即可求得函数的单调性；（2）先将不等式恒成立，转化为不等式恒成立，进而求得a的取值范围.【详解】（1）时，，，在定义域上单调递增，且，则当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，恒成立，即恒成立，∴恒成立，令，则；又在上单调递减，所以，所以.63．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）已知函数，．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）在上单调递增，即在上恒成立，由函数单调性讨论恒成立问题即可；（2）由导数法直接研究或由换元法化简后研究恒成立问题.【详解】（1），因为在上单调递增，所以，恒成立，即恒成立，因为在上单调递减，所以，则．故实数a的取值范围为；（2）因为恒成立，所以恒成立，设，，则，设，，则，所以在上单调递减，且，，则，使，即，且，，列表得x＋0－极大值所以，则.解法二：恒成立，即恒成立，令，，则，所以在上单调递增，因为时，，所以在上的值域为．因为，所以，恒成立，设，，则，令得，列表得t1＋0－极大值所以，则．解法三：恒成立，即恒成立，令，，则在上单调递增，的值域为R．因为，所以，恒成立，设，，则，令得，列表得t0＋0－极大值所以，则．故实数a的取值范围是．题型十一导数与函数零点64．【多选】（2023秋·福建南平·高二统考期末）函数，以下说法正确的是（

）A．函数有零点 B．当时，函数有两个零点C．函数有且只有一个零点 D．函数有且只有两个零点【答案】BC【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.【详解】，定义域，所以，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，，则的图象如图所示：故A错误；又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B正确；恒成立，所以在上单调递减，又，，所以函数有且只有一个零点，C正确，D错误；故选：BC65．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若，证明：在上只有一个零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）通过求导求得曲线在处的切线斜率，再求切点坐标，点斜式求得切线方程即可；（2）将原函数的零点转化为函数的零点，通过求导判断在单调，证明其在上只有一个零点.【详解】（1）当时，，..所求切线方程为，即.（2）证明：由，变形可得，当时，，则函数只有一个零点等价于函数只有一个零点，可得，又由，则，即在上单调递增，又，在上只有一个零点，即函数在上只有一个零点.66．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，函数．(1)求函数的极值：(2)若函数无零点，求的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【分析】（1）求导后，根据的正负可得的单调性，由极值定义可求得结果；（2）根据单调性可知，则只需，解不等式即可.【详解】（1）由题意得：定义域为，；令，解得：，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值.（2）由（1）知：的极小值即为的最小值，即；若无零点，则，即，，解得：，则的取值范围为.67．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知函数.(1)求函数在上的零点个数；(2)当时，求证：.（参考数据：）【答案】(1)即在上有2个零点；(2)答案见解析.【分析】（1）注意到，.利用导数研究在上的单调性与最值即可得在上的零点个数；（2），令，分别说明在上的最小值大于或等于0即可.【详解】（1）由题，，令，，则.得在上单调递增.因，则，又，则.又.得.又，则.则，使得，又在上单调递增，则当，在上单调递减，当，在上单调递增.又注意到，，则，又，.则，即在上有2个零点.（2），令，.则.则，令，，则.①当，，则；②当，.则，得在上单调递增，则.故在上单调递减，则此时；③当，，又此时，则，得在上单调递增，则.故在上单调递增，则此时；④当，，又此时，则.得在上单调递增，又，故在上单调递增.则.综上，当时，，即，当且仅当时取等号.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数零点及利用导数证明不等式.（1）问关键在于找点及估值.（2）问虽不含参数，但含有三角函数，故从自变量角度进行分段处理.68．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)单调增区间；减区间(2)【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，，令可得，列表如下：取值为正取值为负单调递增极大值单调递减所以，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，函数的定义域为，，由，可得，列表如下：取值为正取值为负单调递增极大值单调递减所以，函数的极大值为，且当时，，当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，且，，又，根据以上信息，作出其图象如下：当时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．69．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）已知函数在时有极值0．(1)求函数的解析式；(2)记，若函数有三个零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0，则，两式联立可求常数a，b的值，检验所得a，b的值是否符合题意，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.【详解】（1）由可得，因为在时有极值0，所以，即，解得或，当，时，，函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去，当，时满足题意，所以常数a，b的值分别为，，所以．（2）由（1）可知，，令，解得，，∴当或时，，当时，，∴的递增区间是和，单调递减区间为，当时，有极大值；当时，有极小值，要使函数有三个零点，则须满足，解得．70．（2022·江苏·高二期末）已知函数．(1)若，求函数的图像在处的切线方程；(2)若，求函数的单调区间；(3)若，已知函数有两个相异零点，求证：．【答案】(1)(2)答案见解析.(3)证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；（3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问题转化为证明，故令，进一步转化为证明，成立，再构造函数证明不等式即可.【详解】（1）解：当时，函数，，所以，，所以函数的图像在处的切线方程为，即.所以，函数的图像在处的切线方程为（2）解：当时，，定义域为，所以，，所以，时，在上恒成立，故在上单调递增，当时，令得，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上，时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.（3）解：由题知，，因为函数有两个相异零点，且所以且，，即，所以，方程有两个不相等的实数根，令，则，故当时，，时，，所以，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，要使方程有两个不相等的实数根，则.不妨令，则所以，，要证，只需证，即证：因为，所以，只需证，只需证，即故令，故只需证，成立，令则，在恒成立，所以，在上单调递增，因为，所以在恒成立，所以，在上单调递增，所以，，即，成立，所以，成立.【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意，将问题转化为证明，进而令，再构造函数证明成立即可.71．（2022春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知函数．若函数有两个不同零点，，(1)求实数a的取值范围；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）构造新函数，利用新函数的单调性和值域去求实数a的取值范围；（2）构造新函数并利用极值点偏移去证明.(1)函数有两个不同零点，，等价于方程有两个不同的实根．设，即方程有两个不同的实根．设，，令，则在恒成立所以函数在上单调递增，注意到，所以当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．当时，，当时，，又，则只需即方程有两个不同的实根．则实数a的取值范围是．(2)注意到，，要证，只需证．由（1）知，，故有，即．下面证明：．设，则，所以函数在上单调递减，所以，所以，故有．又，，且在上单调递减，所以，即得．因此，结论得证．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.72．（2022春·贵州六盘水·高二统考期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，根据导函数的正负求出函数的单调性；（2）先确定，不等式变形，只需证明，且得到，接下来证明对数平均不等式，得到，从而得到，所以，.【详解】（1）的定义域为，且，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，要想有两个不相同的零点，则，解得：，，故要证，即证，即证：，因为在上单调递增，所以只需证，不妨设，两式相减得：，变形为，下面证明在上成立，只需证，即，令，即证，构造，，则恒成立，故在上单调递增，故，所以，，故，即，所以，，证毕.【点睛】对数平均不等式