考点12 二次函数的应用【有答案】

考点12二次函数的应用二次函数的应用是中考数学中二次函数出解答题较多的一个考点，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型；而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为简答题，个别为填空题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还要求特定取值范围，需要考生在做题过程中更为细心对待。二次函数在实际生活中的应用利用二次函数解决抛物线形问题利用二次函数解决最值类问题考向一、二次函数在实际生活中的应用利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200−10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200−10x）【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润．【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x），故选：C．2．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是200m2．【分析】直接根据题意表示出垂直与花圃的一边长，再利用矩形面积求法列出关系式，配方可得答案．【解答】解：设花圃的长为xcm，面积为ycm，则y关于x的函数表达式为：y＝（38+2﹣x）x＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200，，∴2≤x＜40．∴当x＝20时，面积最大为200m2．故答案为：200m2．3．某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA，OA＝0.5米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上．已知在与池中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．（1）求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）身高为1.67m的小颖站在距离喷水管4m的地方，她会被水喷到吗？（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（3，2），点A（0，0.5），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+2，待定系数法求出解析式即可；（2）设改造后的抛物线的解析式为，将点（7，0）代入计算即可．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（3，2），点A（0，0.5）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+2，将点A坐标代入，得9a+2＝0.5，解得，∴抛物线的解析式为；（2）设喷水管OA要升高hm，则抛物线的解析式为，将（7，0）代入，得，∴喷水管OA要升高m．考向二、利用二次函数解决抛物线形问题解决此类问题一般步骤：合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标；根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题1．2019年在武汉市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝x2+x+的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是米，球落点的距离是（）A．1米 B．3米 C．5米 D．米【分析】根据解析式与x轴的交点得出球落地点A到O点的距离．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍去），∴球落地点A到O点的距离是5米．故选：C．2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8m．那么两排灯的水平距离是（）A．2m B．4m C．m D．m【分析】根据长方形的长OA是12m，宽OC是4m，可得顶点的横坐标和点C的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y＝8代入解析式即可得结【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣6）2+10，当y＝8时，8＝﹣（x﹣6）2+10，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．则x1﹣x2＝4．所以两排灯的水平距离最小是4（m）．故选：D．3．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y＝x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是2.25m【分析】对于A，设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面hm，将x＝﹣2.5代入y＝﹣x2+3.5计算即可求得结论．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5（a≠0）．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，∴3.05＝a×1.52+3.5，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+3.5．故选项A错误，选项C错误；令y＝3.05，则有y＝﹣x2+3.5＝3.05，解得x＝1.5（负值舍去），可知篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故选项B错误；设篮球出手时离地面的高度是hm．令y＝﹣x2+3.5中x＝﹣2.5，可得h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25．可知篮球出手时离地面的高度是2.25m．故选项D错误．故选：D．4．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为B，网球飞行路线是一条抛物线，小明在直线AB上点C（靠点B一侧）右侧竖直向上摆放若干个无盖的、直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行的最大高度OM＝3米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【分析】先以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，二次函数的图像过M、A、B根据待定系数法求出函数解析式，当桶的左侧x＝1最高点位于抛物线以下，右侧x＝1.5最高点位于抛物线以上时，求才能落进桶内，分别计算出x＝1和x＝1.5时y的值，然后与桶高0.3比较，可求出m的取值范围，从而求出m的最小值．【解答】解：先以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，二次函数的图像过M（0，3）、A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+3；∵抛物线过点B（2，0），∴4a+3＝0，，抛物线的解析式为：，当x＝1时，，当x＝1.5时，，∵桶高0.3，∴有，解得4.375＜m＜7.5，∴m的值为5或6或7时，网球能落入桶中，∴至少要摆5个桶；故选：B．考向三、利用二次函数解决最值类问题利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入用含自变量的代数式表示销售商品成本用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值1.与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；1.与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；2.二次函数实际应用的问题，如果是分段函数，最后需要写成一个整体，后边分别写上对应的取值范围3.利润最大化问题与二次函数模型牢记两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单件利润×销量；谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；1．小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的表达式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球过程中，实心球的最大高度是（）A．3m B．m C．m D．m【分析】令y＝0，再解关于x的方程，即可得到答案．【解答】解：在y＝﹣（x﹣3）2+中，当x＝3时，y有最大值，∴小明此次掷球过程中，实心球的最大高度是m，故选：B．2．如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设BC的边长为xm，矩形ABCD的面积为Sm2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：（1）求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；（2）x为何值时，矩形ABCD的面积最大？【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）根据函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得，，（0＜x≤15）；（2）∵＝﹣（x﹣20）2+200，∴当x＜20时，S随x的增大而增大，而0＜x≤15，∴当x＝15时，S有最大值，即矩形ABCD的面积最大．3．兰州牛肉面具有“汤镜者清，肉烂者香，面细者精”的风味和“一清二白三红四绿五黄”的特色．随着电商平台的发展，袋装牛肉面可以销往全国各地．某平台销售一种进价为8元/袋的牛肉面，售价为12元/袋，每天可卖出100袋，若每袋牛肉面的售价每上涨1元，则每天少卖出10袋．（1）假设每袋牛肉面的售价上涨x元，每天销售该牛肉面的利润为y元，试确定y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）每袋牛肉面的售价上涨多少元时，该平台每天销售这种牛肉面可获得最大利润？此时，牛肉面的定价为多少元？获得的最大利润为多少？【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式；（2）根据即可二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）设每袋牛肉面的售价上涨x元，则每件商品的利润为：（12﹣8+x）元，总销量为：（100﹣10x）件，商品利润为：y＝（12﹣8+x）（100﹣10x），＝﹣10x2+60x+400（0＜x＜10）；（2）根据题意得y＝﹣10x2+60x+400＝﹣10（x﹣3）2+490，所以，当x＝3时，y取得最大值为490．答：每袋牛肉面的售价上涨3元时，该平台每天销售这种牛肉面可获得最大利润，此时，牛肉面的定价为15元？获得的最大利润为490元．4．天天鲜果是一家基于互联网技术的现代农业服务供应商，提供高品质新鲜水果产品和个性化直销服务．天天鲜果旗下的电商平台，在2021年5月举行了为期一个月的新鲜水果产品优惠促销活动，经市场调查发现，某种新鲜水果的周销售量y（箱）是关于售价x（元/箱）的一次函数，下表仅列出了该新鲜水果的售价x（元/箱），周销售量y（箱），周销售利润W（元）的三组对应值数据．x456080y1359030W337536001800（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该新鲜水果进价a（元/箱），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该新鲜水果进价提高了m（元/箱）（m＞0），公司为回馈广大消费者，规定该新鲜水果的售价x不得超过55（元/箱），且该新鲜水果在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是3150元，求m的值．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y关于x的函数解析式；（2）根据题意和题目中的数据，可以写出W与x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价x为多少时，周销售利润W最大，并求出此时的最大利润；（3）根据题意，可以列出相应的方程，然后求出m的值即可．【解答】解：（1）∵y是x的一次函数，∴设y＝kx+b，∴由表格知：，解得，即y关于x函数解析式是y＝﹣3x+270；（2）设售价为x（元/箱）时，周销售利润为W元，由（1）知，W＝y（x﹣a）＝（﹣3x+270）（x﹣a），由表中数据可知：3375＝（﹣3×45+270）（45﹣a），解得a＝20，∴W＝（﹣3x+270）（x﹣20）＝﹣3x2+330x﹣5400＝﹣3（x﹣55）2+3675，∴当x＝55时，周销售利润w最大，最大利润为3675元．（3）由题意W＝（﹣3x+270）（x﹣20﹣m）＝﹣3x2+3（110+m）x﹣270（20+m），∴对称轴为直线，∵0＜x≤55，∴在0＜x≤55内，二次函数W随x的增大而增大，∴只有x＝55时周销售利润最大，∴3150＝﹣3（55﹣90）（55﹣20﹣m），解得m＝5．1．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为32m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．2．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为2s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．3．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是10m．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．4．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．5．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，∵y＝﹣20x+500，∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）＝﹣20x2+760x﹣6500＝﹣20（x﹣19）2+720，∵﹣20＜0，∴当x＜19时，w随x的增大而增大，∵13≤x≤18，∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．6．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，，解得，答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．7．（2022•湖北）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：销售单价x（元/千克）…2022.52537.540…销售量y（千克）…3027.52512.510…（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；②根据题意列方程，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）如图，设y＝kx+b，把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴y＝﹣x+50；（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，∵﹣1＜0，∴当x＝34时，w有最大值，即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，（x﹣34）2＝16，∴x1＝38，x2＝30，∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，∴x＝30．8．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第x天12…6…11…15供应量y1（个）150150+m…150+5m…150+10m…150+14m需求量y2（个）220229…245…220…164（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，设y2＝ax2+bx+c，用待定系数法可得y2＝﹣x2+12x+209；（2）求出前9天的总供应量为（1350+36m）个，前10天的供应量为（1500+45m）个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），可得，而m为正整数，即可解得m的值为20或21；（3）m最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为y1＝210，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为y2＝209，销售额为20900元．【解答】解：（1）根据题意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，设y2＝ax2+bx+c，将（1，220），（2，229），（6，245）代入得：，解得，∴y2＝﹣x2+12x+209；（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2m）+......+（150+8m）＝（1350+36m）个，前10天的供应量为1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）个，在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，∵前9天的总需求量为2136个，∴前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，∴，解得19≤m＜21，∵m为正整数，∴m的值为20或21；（3）由（2）知，m最小值为20，∴第4天的销售量即供应量为y1＝4×20+150﹣20＝210，∴第4天的销售额为210×100＝21000（元），而第12天的销售量即需求量为y2＝﹣122+12×12+209＝209，∴第12天的销售额为209×100＝20900（元），答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．9．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）【分析】（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结论；（2）当时，，联立，可得出点P的横坐标，比较即可得出结论；（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将（150，0.167）代入进行验证即可得出结论；②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，比较即可．【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），设CE：y＝kx+b（k≠0），将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．（2）当时，，由题意得，解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．∴P的横坐标为22.5．∵22.5＜32，∴成绩未达标．（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．∴设，将（100，0.250）代入得，解得m＝25，∴．将（150，0.167）代入验证：，∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，又∵v＞0，∴．∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．10．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，计算悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m；任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．【解答】解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），设抛物线的解析式为：y＝ax2，把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；任务2：∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；任务3：方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如图3，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．1．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．2．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝2s．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．3．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．【解答】解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，∵﹣＜0，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．4．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．5．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是0≤w≤5；当2≤t≤3时，w的取值范围是5≤w≤20．【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．∵20﹣15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．6．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，∴x＝2，答：此时x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，∵墙的长度为10m，∴0＜x≤，根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．7．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？【分析】（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化简即可；（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值．【解答】解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48）＝﹣2x+296，∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）＝﹣2（x﹣91）2+6498，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，W有最大值，当x＝91时，W最大值＝6498，答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．8．（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．【解答】解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，由题意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．9．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【分析】（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她与爸爸的水平距离为2m或6m．【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：0.7＝25a+3.2，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．10．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+2，又∵抛物线过点（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6m；②∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴点B的坐标为（2，0）；③∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，∴d的最小值为2，综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，解得m＝2.5，∴点D的纵坐标为h﹣，∴h﹣＝0，∴h的最小值为．11．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬菜供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬菜售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w＝x售价﹣x成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．【解答】解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求＝ax2+c，，②﹣①，得7a＝﹣1.4，解得：a＝﹣，把a＝﹣代入①，得c＝9，∴a的值为﹣，c的值为9；（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，w＝x售价﹣x成本＝t+2﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣4）2+3，∵﹣＜0，且1≤t≤7，∴当t＝4时，w有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；（3）当y供给＝y需求时，x﹣1＝﹣x2+9，解得：x1＝5，x2＝﹣10（舍去），∴此时售价为5元/千克，则y供给＝x﹣1＝5﹣1＝4（吨）＝4000（千克），令t+2＝5，解得t＝6，∴w＝﹣（t﹣4）2+3＝﹣×（6﹣4）2+3＝2，∴总利润为w•y＝2×4000＝8000（元），答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．1．（2022•丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．【解答】解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：x＝＝9.5，∴炮弹所在高度最高是9.5秒，∴在四个选项中炮弹所在高度最高的是9秒．故选：B．2．（2022•石家庄三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①AB＝24m；②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，再把（15，0）代入解析式求出a即可判断②；把x＝12代入解析式求出y＝﹣1.8，再用5﹣1.8即可判断③；把x＝6代入解析式即可判断④．【解答】解：①观察图形可知，AB＝30m，故①错误；②设池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，将（15，0）代入，可得a＝，故抛物线的解析式为y＝x2﹣5；故②正确；③∵y＝x2﹣5，∴当x＝12时，y＝﹣1.8，故池塘最深处到水面CD的距离为5﹣1.8＝3.2（m），故③错误；④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12m时，将x＝6代入y＝x2﹣5，得y＝﹣4.2，可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m），即为原来的，故④正确．故选：B．3．（2022•徐州一模）北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，90.0）、（20，93.9）、（40，82.2）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，90.0）、（20，93.9）、（40，82.2），则，解得：，所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．故选：B．4．（2022•路北区二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（）A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案．【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，方法一：∵AB＝DE＝1.5m，∴点B与点D关于对称轴对称，∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，解得x＝0（舍）或x＝3.2，所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，故选：A．5．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是10m．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．6．（2022•新乐市校级模拟）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣40x+880；（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为360元．【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×＝﹣40x+880，∴每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣40x+880，故答案为：y＝﹣40x+880；（2）设每天的销售利润为w元，则有：w＝（﹣40x+880）（x﹣16）＝﹣40（x﹣19）2+360，∵a＝﹣40＜0，∴二次函数图象开口向下，∵﹣40x+880≥0，解得x≤22，∴16≤x≤22，∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．故答案为：360元．7．（2022•玉环市一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度BC＝h1，若OB＝90dm，OA＝2AB．则为．【分析】先求出OB＝60，OE＝30，设第一次反弹后的抛物线的解析式＝a（x﹣30）2+h1得h1＝﹣900a，设第二次反弹后的抛物线的解析式y＝a（x﹣m）2+h2，得，得出h2＝﹣625a即可．【解答】解：∵OB＝90，OA＝2AB，∴OA＝60，AB＝30，设第一次反弹后的抛物线解析式为y＝a（0﹣30）2+h1，∵抛物线过原点O，∴a（x﹣30）2+h1＝0，解得：h1＝﹣900a，∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），∴两个抛物线的a是相同的，设二次反弹后的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+h2，∵BC＝h1，h1＝﹣900a，∴BC＝﹣600a，∵抛物线过A，C两点，∴，解得：，∴＝＝．故答案为：．8．（2022•金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE为5cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是7cm．【分析】以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，得出A，B，C，D的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动，所以旋转前BE与水平方向的夹角为45°，即∠ABE＝45°，求出BE与y轴的交点坐标P，把点B、P代入求出直线BE的解析式，水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N，根据题意可得△CMN是等腰直角三角形，由此可得出点M的坐标，用两点间的距离公式求出C点到BE的距离．【解答】解：如图1，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（4，﹣12），D（﹣4，﹣12），设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，将B（2，0），C（4，﹣12），代入得：，解得：，∴y＝﹣x2+4；根据题意可知，∠ABE＝45°，设BE与y轴的交点坐标P，∴△OBP是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝2，∴P（0，﹣2），∴直线BP的解析式为：y＝x﹣2，令﹣x2+4＝x﹣2，解得x＝2（舍）或x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣5）．∴BE＝＝5，DE＝7，水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，如图1，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N，∴△MNC是等腰直角三角形，∵C（4，﹣12），∴N（4，2）．∴CN＝14．过点M作MQ⊥CN于点Q，∴Q是CN的中点，且MQ＝NQ＝CQ，∴Q（4，﹣5），∴M（﹣3，﹣5）．∴CM＝＝7．故答案为：5；7．9．（2022•绿园区模拟）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，D在y轴上，且AB＝2，在BC上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离BD＝10．从点A处向右上方沿抛物线y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是（5，7）．【分析】由题意台阶I的左边端点（4.5，7），右边端点的坐标（6，7），求出x＝4.5，6时的y的值，即可判断．【解答】解：如图所示，由题意台阶I左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），∴点A的横坐标为﹣2，当x＝4.5时，y＝9.75＞7，当x＝6时，y＝0＜7，当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，解得x＝﹣1或5，∴抛物线与台阶I有交点，设交点为（5，7）．故答案为：（5，7）．10．（2022•兴庆区校级二模）某公司购进单价为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？【分析】（1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；（2）根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可．【解答】解：（1）由题知，①当40≤x≤50时，y＝5，②当50＜x≤100时，y＝5﹣（x﹣50）×0.1＝10﹣0.1x，∴y与x之间的函数关系式为：y＝；（2）设月销售利润为z，由题知，①当40≤x≤50时，x＝50时利润最大，此时z＝（50﹣40）×5＝50（万元），②当50＜x≤100时，z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣0.1x）＝﹣0.1x2+14x﹣400＝﹣0.1（x﹣70）2+90，∴当x＝70时，z有最大值为90万元，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元．11．（2023•蜀山区校级一模）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）