上海外国语大学闵行外国语中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

上闵外2023学年第一学期高三年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）1．函数的定义域是______．2．设全集，则______．3．已知，则______．4．已知扇形的圆心角为，其弧长为π，则此扇形的面积为______．（结果保留π）5．已知a，且，则的最小值是______．6．设、是方程的两个实数根，则______．7．由函数的观点，不等式的解集是______．8．已知函数，若，则______．9．已知A，B是球O的球面上两点，，P为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的表面积为______．10．已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______11．设a，，且，则的最大值为______12．平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为______．二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分．13、若实数a、b满足，下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．14．若直线和是异面直线，在平面α内，在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题一定正确的是（）A．l与、都不相交 B．l与、都相交C．l至多与、中的一条相交 D．l至少与、中的一条相交核15、设，其中常数，，，．若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（）A． B． C． D．16、设、、是定义域为R的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若f、、均是以T为周期的函数，则、、均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，17题14分，18题14分，19题14分，20题18分，21题18分．17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分。已知向量，，函数．（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；（2）若，求的值域．18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在直棱柱中，，，D，E，F分别是，，BC的中点．（1）求证：；（2）求AE与平面DEF所成角的大小．19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。已知函数是奇函数．（1）求实数k的值；（2）若关于x的不等式有且只有一个整数解，求实数a的取值范围．20、（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分8分，第3小题满分4分）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道.为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．图1-图3中的相关边、角满足以下条件：直线BA与DE的交点是O，，．米．小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．（1）假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示．求QC的长；（2）假设休息亭建在弧（EA）̂上的某个位置，记为P，作交BC于M，作交DC于N．沿EP、线段PM和线段PN修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．图1图2图321、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求k的值；（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的最大值．上闵外2023学年第一学期高三年级数学期中2023.11一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．函数的定义域是.【答案】2.设全集，则.【答案】3.已知，则________．【答案】-14.已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）【答案】5.已知且，则的最小值是_________．【答案】46.设是方程的两个实数根，则=____________.【答案】20247．由函数的观点，不等式的解集是______.【答案】（0，1】8.已知函数,若,则__________.【答案】-99.已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______.【答案】10.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为________.【答案】11.设a、b∈R，且a+b=4，则的最大值为__________.【答案】12．平面上有一组互不相等的单位向量，若存在单位向量满足，则称是向量组的平衡向量.已知，向量是向量组的平衡向量，当取得最大值时，的值为__________．【答案】二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分．13.若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】A14、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题一定正确的是（）A．与都不相交 B．与都相交C．至多与中的一条相交 D．至少与中的一条相交【答案】D15.设，其中常数，.若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（）A.B.C.D.【答案】A16.设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题【答案】D三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，17题14分，18题14分，19题14分，20题18分，21题18分.17．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知向量，函数.(1)求的最小正周期及图象的对称轴方程；(2)若，求的值域.【解析】（1）因为a=3sinx,所以fx即fx=sin2x令2x+π6=π2即fx图象的对称轴方程为x=π（2）解：∵x∈-π4所以fx18.如图，在直棱柱中，，，D，E，F分别是，，的中点．（1）求证：；（2）求与平面DEF所成角的大小．【小问1详解】由于三棱柱是直三棱柱，且，故两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则,故,,所以，故【小问2详解】,,设平面的法向量为，则，取，则，设与平面DEF所成角为，则，由于，所以19、（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)若关于的不等式有且只有一个整数解，求实数的取值范围.【详解】（1）由题设，故，所以的定义域为R，且，故满足为奇函数，则.（2）由在R上为增函数，而，所以，若，则解集为或，不符合题设；若，则解集为，不符合题设；若，则解集为，此时有且只有一个整数解，则；若，则解集为，不符合题设；若，则解集为，不符合题设.综上，，即.20．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分8分，第3小题满分4分）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．图1-图3中的相关边、角满足以下条件：直线与的交点是，∥，．米．小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．图1图2图3（1）假设休息亭建在弧的中点，记为沿和线段修路，如图2所示．求的长；（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．【解析】（1）如图，以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．因为点为弧的中点，所以，即可以计算得，所以（米）所以的长约为米；（2）设，则，，设修建的总路长为，所以求导，得，令，则，，解得是唯一驻点．当时，，函数严格减；当时，，函数严格增．所以在处取得最小值．（米）所以修建的总路长的最小值约为米（3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短）路径；（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于段附近居民前往）．说明：可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标一修的路相对短，二修的路相对便于居民出行若学生自己有一个评价标准，并根据自己的标准并给予自圆其说适当给予评分譬如说：有的同学直接连接，休息亭建立在与的交点处，将与全部修好，这样更短米也相对便捷，这样可