痛点7-解三角形与不等式交汇问题(解析版)

痛点7解三角形与不等式交汇问题一、单选题1．（2020·天津月考）在中，角，，所对的边分别为，，，则“”，是“为锐角三角形”的（）条件A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】中，，，即，，因为，，所以为锐角.当为锐角时，不一定为锐角三角形；当为锐角三角形时，一定为锐角.所以“”是“为锐角三角形”的必要非充分条件.2．（2020·陕西安康·月考）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理得，∵,∴，，，由余弦定理，，当且仅当时取等号，此时．3．（2020·北方民族大学附属中学）如图，在中，点是边上的一点，，，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】中根据余弦定理，即，整理为，解得，中利用余弦定理，，所以.4．（2020·云南昆明一中月考）已知三个内角，，及其对边，，，其中，角为锐角，且，则面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，所以，即，而，所以，所以，又因为，所以，所以，，5．（2020·重庆月考）在中，角，，的对边分别为，，若，则角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理得，因为，所以，整理得，由余弦定理得，因为，所以6．（2020·河南洛阳·高三月考）在中，内角，，的对边分别是，，．若，且的面积为，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由正弦定理及，得，所以①，又，所以，由的面积为，得，即，代入①，得，所以．7．（2020·江苏高三月考）在中，内角、、所对应的边分别为、、，且．若，则边的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】，所以，由正弦定理得，，由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立.因此，边的最小值为.8．（2020·河南高二其他）若的面积为，且为钝角，的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】∵，∴，，∴，∴，又∵为钝角，∴，∴，，由正弦定理得，9．（2020·山西大附中）在中，内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】因为，所以由正弦定理得，，因为，所以，所以，化简得，因为，所以，解得，因为，所以，因为，所以由余弦定理得，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，10．（2020·宁夏银川一中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】因为，所以，即是钝角，是锐角，，即得，故，因为，所以，当且仅当时，即时最大，为，故角取最大值，，故，又由，故，即周长为.11．（不定项）（2020·广东汕头·月考）在锐角三角形中，、、是其三内角，则下列一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】对于A，在三角形中，两边之和大于第三边，则，由正弦定理得，故A错误.因为是锐角三角形，所以所以B对，同理C对；对于D，由于，，所以D错.12．（不定项）（2020·湖南怀化·月考）已知，，分别为内角，，的对边，，且，则下列结论中正确的是（）A． B．C．面积的最大值为 D．面积的最大值为【答案】BC【分析】∵，∴，∴，由正弦定理可得，∴，，，，当时取等号，∴，∴.二、填空题13．（2020浙江台州）若为锐角三角形，且，，则边长的取值范围是______.【答案】【分析】为锐角三角形，，，，由正弦定理：，得，又，，，，即。14．（2020·江苏省响水中学）设的面积为，满足.且，若角不是最小角，则的取值范围是_________.【答案】【分析】由得，即,解得，所以.又，由余弦定理得：，所以，又不是最小角，所以，得，故，又，所以.15．（2020·河北衡水月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，，则外接圆面积的最小值为___________.【答案】【分析】因为，，所以当且仅当，时，此时，，外接圆的半径等于，，又因为，所以，则，外接圆的面积为。16．（2020·辽源市第五中学校期末）在中，，，，分别为角，，的对边，且.若的内切圆面积为，则面积的最小值_______.【答案】【分析】因为，以，即，所以，即，；由题意知内切圆的半径为，如图，内切圆的圆心为，为切点，则，从而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），从而，即面积的最小值为.三、解答题17．（2020·贵州遵义）的内角所对边分别为，已知．（1）求角C；（2）若D为中点，且，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）因为，所以，所以且，所以，所以；（2）因为，所以，又因为，所以，所以（取等号时），所以，所以（取等号时），所以的最大值为.18．（2020·广西柳州·高三）△ABC的内角A，B，C所对边分别为，已知△ABC面积为.（1）求角C；（2）若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）依题意得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，又因为，所以.（2）∵，，∴，即．∵为中点，所以，∴当且仅当时，等号成立.所以的最大值为．19．（2020·安徽省蚌埠第三中学）在中的内角分别为，向量，向量且.（1）求锐角的大小.（2）如果，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）∵向量，向量且，∴，∴，即，∴.又为锐角，∴，∴，则；（2）当，时，由余弦定理得：，又，所以，即，当且仅当时，等号成立；则，当且仅当时，等号成立；当，时，由余弦定理得：，即当且仅当时，等号成立；∴(当且仅当时等号成立)，综上，的最大值为.20．（2020·辽宁月考）已知函数.（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的集合；（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值.【答案】（1）函数取最大值，此时的取值集合为；（2）.【分析】（1）函数，，所以，，当或时，即当时，函数取最大值；（2）由题意，化简得，，，，解得.在中，根据余弦定理，得.由，知，即.当时，取最小值为.21．（2020·湖南师大附中高三）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，，而且_____.（1）求；（2）求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，；（2）最大值为.【分析】（1）选①，把，整理得，由余弦定理得，因为，所以.选②，因为，由正弦定理，可得，因为，则，所以，可得，又，所以，故，即.选③，因为，由正弦定理得：，即，所以，因为，所以.（2）由（1）可知，，在中，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，即周长的最大值为.22．（2020浙江台州·期中）已知a，b，c是的内角A，B，C的对边，且的面积.（1）记，，若.（i）求角C；（ii）求的值；（2）求的取