2014启智杯的特点、要求及示例资料

深圳大学数学与计算科学学院特点要求示例主讲：张文俊启智杯手机尾号与年龄[1]看一下你手机号的最终一位；

[2]把这个数字乘上2；

[3]然后加上5；

[4]再乘以50；

[5]把得到的数目加上1763；

[6]最终一个步骤，用这个数目减去你诞生的那一年。现在你看到一个三位数的数：第一位数字是你手机号的最终一位，接下来就是你的实际年龄！奇了！怎么会這样呢？设手机号的最终一位为n，50〔2n+5〕+1763-生年=100n+〔2023-诞生年份〕=100n+你的年龄这是一个三位数，百位数为n，后两位是你的年龄。假设明年再说，把1763改为1764即可。其实——50〔2n+5〕+1763-生年=100n+〔2023-诞生年份〕=100n+你的年龄其关键在于，502n=100n；505+1763=2023这个可以有！始终可以有！[1]看一下你手机号的最终一位；

[2]把这个数字乘上3；

[3]然后加上61；

[4]再乘以33；

[5]用这个数目减去你诞生的那一年年份；

[6]最终把得到的数加上你手机号的最终一位。设手机号的最终一位为n，33〔3n+61〕-诞生年份+n=100n+〔2023-诞生年份〕=100n+你的年龄这是一个三位数，百位数为n，后两位是你的年龄。启智杯要求你挖掘奇异现象背后的隐秘可以操纵的选举：3个候选人，11个评委，民意测评排序结果如下：A>B>C3人A>C>B2人B>C>A2人C>B>A4人每人投一个，确定多数获胜A5>C4>B2A胜每人投一个，首位缺乏半数时经二次投票C6>A5C胜每人投两个，首位过半数胜B9>C8>A5B胜启智杯告知你事物进展的方向可能是多样的通过适当的策略可以到达你抱负的目的。本讲座内容数学思维的重要性1启智杯竞赛的特点与要求2启智杯涉及的知识与思维3启智杯竞赛问题示例4数学思维的重要性人类的智力成就知识思想信息技能思考力记忆操练思考短暂长期永恒鱼渔道机械理解仿照程序化思考领悟数学知识方法思想概念结论方式手段思维观念对人类有重要影响数学思维发散性思维收敛性思维合情推理演绎推理归纳、类比、关联、辐射、迁移、空间想象等三段论、递归、反证等在数学进展中合情推理找方向，演绎推理定结论，二者相辅相成。从更一般的意义讲人类的制造制造开头于感性的发散性思维，终止于理性的收敛性思维，两种思维同样重要、不行或缺。纵观各级〔初中、高中、大学、争论生〕自主招生及职场聘请考试〔公务员、跨国公司〕，你会觉察大量以考察发散性思维力气为目的的思维测试题。这说明，人才选拔标准以及社会对人才的评价标准已经静静发生变化——更加关注发散性思维、制造性思维。社会评价标准启智杯竞赛的特点与要求“启智杯”数学思维力气竞赛打破常规竞赛模式，以考察思维力气〔而不是学问〕，尤其是发散性思维力气为主。目的是——引导一个方向，回归数学价值。启智杯竞赛的特点竞赛内容会涉及到代数、几何、三角等根本数学学问与方法，但对于记忆性学问、程序化方法等根本不做要求，重要的是考察思维力气，尤其是发散性思维力气。考察的关键是看当你面临一个问题时如何去思考，而不是靠简洁的内部学问去仿照解决，更不是靠记忆去给出答案。启智杯竞赛的特点竞赛题目形式多样，集学问性、趣味性、科学性于一体，吸引学生去乐观思考；问题起点低，入口宽，途径多，方法多；问题答案不愿定唯一，着重考察思路、启发才智；命题避开偏、难、怪，也避开小儿科、稚嫩化，避开脑筋急转弯，强调数学的美、趣、智。启智杯竞赛的特点解答不仅要写出答案，还要写出过程或思路，要清晰、严谨。对于有多种可能答案的，要依据要求写出多种结果，并说明其道理。对于规律推理问题，要分清层次，讲清道理。启智杯竞赛答题要求启智杯竞赛涉及的知识与思维命题宗旨：数学思维力气竞赛命题的宗旨是希望用完可能少的学问与经典的问题承载尽可能多的数学思想与思维方法。考察内容提要A组:小学四年级至六年级1.学问与技能数字与代数：计数、数字规律、整除与同余、整数四则运算、比和比例、简易方程等的理论、方法及其简洁应用。图形与几何：几何图形的概念、度量、拼组(分、合、移、补)、变换、折叠、开放等。2.思维与思想猜测与推理：找规律、归纳、类比、演绎、递推、分类、统计、决策、对称性、秩序性、可能性问题等。3.数学与应用数学与生活：数谜问题、进制问题、统计问题、统筹问题、最值问题、优化问题、组合问题、决策问题等生活数学或数学应用问题。B组:初中一至三年级1.学问与技能数字与代数：计数、数字规律、整除与同余、比和比例、数与式的四则运算、函数、方程等的理论、方法及其简洁应用。图形与几何：几何图形的概念、度量、拼组(分、合、移、补)、变换、折叠、开放、投影、反射、平移、对称、旋转等。2.思维与思想猜测与推理：找规律、归纳、类比、演绎、递推、统计、对称性、秩序性、可能性问题等。思想与方法：分类、化归、归纳、类比、抽象化、模式化、函数、方程、极限、概率、数形结合等思想方法。3.数学与应用数学与生活：数谜问题、进制问题、统计问题、统筹问题、最值问题、优化问题、组合问题、决策问题等生活数学问题。考察重点与评价标准1.重思想与思维力气，重思路与思考过程，重方法与独立制造，多角度观看，多方位思考。2.强调发散性与收敛性思维相结合，强调观看、猜测与推理相结合，强调数字、图形与生活实际相结合。3.不计较因时间匆忙而产生的数字计算错误，不计较因思路特异而产生的推断结论偏差。启智杯竞赛问题示例题目类型1.数字规律(关联思想：数组、数列、数阵的规律：奇偶性、整除性、对称性、周期或循环、素数与合数、补数与余数、同余、乘方、因数个数、等差、等比、相邻或相隔的关联、奇偶项规律、本项与前后项的关系、本项与前两项或三项的关系，数阵中各行、各列的特征)2.数式规律(归纳思想：一组特殊等式或不等式背后的隐秘：特殊到一般，归纳、类比，关注数字规律、符号规律)3.极值问题(极端与最优化思想：给定条件或背景，结果可能有很多种，寻求其极端状态)4.图形规律(类比思想：外形、大小、方向(旋转)、箭头、虚实、曲直、平行、对称、穿插、数量)5.图形计数(分类思想：大小、方向、顶点)6.图形分割(关联思想：等积分割、相像分割、同类分割，留意三角形、矩形、圆形、扇形面积公式，留意抓住特殊点，留意变化关系与趋势，留意从特殊到一般)7.图形变换与拼补(关联思想：反射、平移、旋转，等积代换)8.规律问题(关联思想：信息推断——依靠局部信息的关联来推断整体信息，数字谜、身份对应)9.应用问题(行程规划、购物规划、日程规划、投资规划、策略规划)问题的表现可能会与数学的图形、数字，生活、工程、商业等有关。1.数字规律问题例1.一列数，其前三项为1，3，15，第四项应当是什么？秩序性，规律性对于数列问题，不管给出多少项，都不能确定唯一规律。1,3,15，可能的规律：〔1〕前后项相比：1/3，1/5，？=1/7；答案105〔2〕各项分解：1×1，1×3，3×5，？=5×7；答案35〔3〕各项分解：1，1×3，1×3×5，？=1×3×5×7；答案105〔4〕各项分拆：1，1+2，1+2+12，？=1+2+12+22；答案37〔5〕与首项之和：3+1=4=22，15+1=16=24，？+1=26=64，或？+1=28=256；答案63或255其它可能的答案：〔6〕1，3=1×(1+2)，15=3×(3+2)，a4=15×(15+2)=255〔7〕an=5n2-13n+9,a4=45–9+1=37〔8〕an+1=(5/3)n3+(1/3)n+1,a4=(5/3)×27+(1/3)×3+1=47例2.

从1,2,3,4,5,6,7,8,9共九个数字中各取三个不同的数字可以组成多个三位数，问其中能被3整除的数有多少个？分类思想。数字分为三组：A组：1,4,7；B组：2,5,8；C组：3,6,9。三位数的选取可能性：1.全在A组；2.全在B组；3.全在C组；4.ABC组各取一个。例3.将2023颗石子依次编号排成一排，甲乙两人轮番从中提取石子，每人每次可以从中提取连续编号的假设干颗石子〔第一次不得取完〕，不得不取，也不得跳动，取到最终一颗石子者获胜。请问：为了保证成功，你是情愿先手还是后手？如何保证？…对称性与博弈、玩耍问题例4.把正整数按以下方法排列，信任你能觉察这些数字的排列方法。数阵问题1251017……4361118……9871219……1615141320……2524232221……………………如图，比方第2行第5列的数是18，可以记作为〔2，5〕；则〔11，7〕所表示的数字是多少？2023可以记作〔，〕？2.数式规律例5.

下述式子是正确的请据此写出第四个等式，使得该等式是上述三式的合理连续，验证你的等式，解释你的理由。从中你觉察了什么规律？写出你的规律。归纳，从特殊到一般例6.

下述式子是正确的1=11＋2＋1=4,1＋2＋3＋2＋1=9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16,1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25,请据此写出第2023个等式，解释你的规律和理由。例7.1条直线最多将平面分成2个局部；2条直线最多将平面分成4个局部；…，2023条直线最多将平面分成多少个局部？3.极值问题0条1个区域1条2个区域2条4个区域3条7个区域32+14条11个区域42+35条16个区域52+652+〔1+2+3〕2n+〔1+2+3+…+n-2〕续例.2条非重合的直线最多有1个交点；3条非重合的直线最多有3个交点；…，2023条非重合的直线最多有多少个交点？续例.3条直线最多围出1个三角形；4条直线最多围出3个三角形；…，2023条直线最多围出多少个三角形？例8.

请在标注ABCD的四个图中选出一个，使之放在？处后与题干图形适配。4.图形规律问题√外形数量相交点数同类例9.

请在标注ABCD的四个图中选出一个，使之放在？处后与题干图形适配。√外形对称方式同变化例10.以以以下图中有多少个三角形？5.图形计数问题分类：〔大小，位置，方向〕1.2+5+7+5=192.〔2+3+2〕+〔1+2〕=103.2+1=3合计32个例11.

请把一个正三角形等分为三个全等的图形，至少写出5种不同的分法。对称性6.图形分割问题例12.依据如下矩形中的信息，求红色局部的面积:1cm23cm2？cm27.图形变换与拼补问题困难：目标图形不规章思路：等高三角形面积比等于底边长之比相像三角形面积比等于边长比的平方全等图形面积相等a3a9cm212cm21/3cm211/3cm28.规律问题例13某酒店来了三组客人〔B和D，A和E，F和C〕，他们分别来自美、俄、英、德、意、法。他们中B和C带眼镜，D和C是女人，E和F打领带，B和D带包。又知道美国人带眼镜，俄国人是女的并与意大利人在同一组，德国人打领带，英国人带了包。问：A、B、C、D、E、F各是哪国人？美带眼镜BorCBC俄女人DorCCD意FB德打领带EorFE？英带包BorDD？法A？分组：BD，AE，FCB和C带眼镜，D和C是女人，E和F打领带，B和D带包。美国人带眼镜，俄国人是女的并与意大利人在同一组，德国人打领带，英国人带了包。例14.甲乙丙丁4个球队参与循环赛，两队之间各有竞赛一场。甲乙丙赛况如下表。请由此确定甲与丁的比分、丙与丁的比分。已赛场数胜场数负场数平场数进球数失球数甲210132乙320120丙202035全部赛事有六场：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁乙1:0胜两场；0:0平一场甲未负，失球2，0:0平一场〔乙〕；3：2胜一场〔丁〕乙1:0胜丙、胜丁各一场；0:0平甲丙未胜，0:1负乙，进3失5,3:4负丁结论：甲丁3:2；丙丁3:4已赛场数胜场数负场数平场数进球数失球数分析甲210132胜3:2平0:0乙320120胜1:0胜1:0平0:0丙202035负0:1负3:4规律性问题思路：列表集合信息;查找突破