2022届高考数学基础总复习提升之突破详解17创新数列含解析

专题17创新数列

一.命题类型

1.数列与函数的综合

2特殊数列

3.数列的性质

4.数学文化与数列的应用

5.新定义数列

6.找规律

7.项和互化的综合问题

8.分奇偶数项的讨论问题

9.数列不等式

知识要点及方法

1.递推数列的概念

如果已知数列｛a.｝的第1项(或前4项)，且任一项品与它的前一项(或前若干项)间的关

系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的;由递推公式确

定的数列叫做递推数列.

2.已知数列的递推关系求通项

一般有三种途径：一是归纳、猜想，二是转化化归为等差、等比数列；三是逐项迭

代.

递推数列求通项的特征归纳：

(1)累加法：a„+1-a„=f(n).

(2)累乘法：—=f(n).

⑶化归法：(常见)an+i=Aan+B(AWO,AWl)=an+i+入=A(a"+入)；an+2=pan+i+

qan=>Hn+2+入an+l=(p+入)•(an+l+Aan)；an+l=pan+p"，笔［=：+L

pp

(4)归纳法：计算a2,a3,凡呈现关于项数2,3,4的规律特征.

(5)迭代法：产pa”或a"+1=a:或an+i=pd)+f(n)等.

3.求数列前〃项和的基本方法

(1)公式求和法

(2)裂项相消求和法

数列｛a｝满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和.

(3)倒序相加法

如果一个数列｛a｝的前〃项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，

那么求这个数列的前〃项的和即可用倒序相加法，如等差数列前〃项的和公式就是用此法推

导的.

(4)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这

个数列的前〃项和即可用此法来求，如等比数列的前"项和公式就是用此法推导的.

(5)分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时

可用分组求和法，分别求和而后相加减.

(6)并项求和法

一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如类

型，可采用两项合并求解.例如,S,=1002-992+982-972+-+22-l2=(100+99)+(98

+97)+…+(2+1)=5050.

1.数列综合问题中应用的数学思想

(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集

或其有限子集｛1,2,…，加上的函数.

(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程.

(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究.

(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想

思想等.

2.解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.

(2)建模一一将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该

数列的特征、要求是什么.

(3)求解——求出该问题的数学解.

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.

3.数学应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或

减少)的量就是公差.

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，

这个固定的数就是公比.

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化

时，应考虑是品与4+,的递推关系，还是S与S+,之间的递推关系.

二.命题类型分析及防陷阱措施

1.数列与函数的综合

例1.设函数/(X)是定义在(0,+o。)上的单调函数，且对于任意正数有

f(xy)=f(x)+f(y),已知=若一个各项均为正数的数列｛”“｝满足

/(5„)=/(a„)++其中S,是数列｛%｝的前葭项和，则数列｛%｝中

第18项“8=()

A.—B.9C.18D.36

36

【答案】C

【解析】•••对任意的正数均有且卜一1,又丁巴)。且

/⑸)=/(4)+〃%+1)一1=/“)+〃％+1)+70=〃£")=小：+4/,XV/(x)

是定义在(。,*可上的单调增函数，---^=1(«/+^)①，当”=1时，q=g(1+4),

.'.0^-01=0/.'o>0,/.Oj=1,当〃之2时，二②，①-②可得

12

2a“—2S"—为止]=片+%—03—。立1,二(％+)(%-—1)=。>

•二%>0,二4-4_1=1(〃之2)二｛.*｝为等差数列6=Ld=l,aK=n,药8=18,故选C.

【方法规律总结】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前〃项和之间的关系以及

公式为=5“一£1_I(〃22)的应用，属于难题.已知S“求。”的一般步骤：(1)当〃=1时，

由4=S|求为的值；(2)当〃之2时，由a“=S“-S“_],求得a”的表达式；(3)检验苗的

值是否满足(2)中的表达式，若不满足则分段表示%;(4)写出/的完整表达式

练习L设函数/(x)是定义在(0,+8)上的单调函数，且对于任意正数有

f(xy)^f(x)+f(y),已知=若一个各项均为正数的数列｛叫满足

/(S,)=./•(%)+/(4+1)—1(〃eN*),其中S“是数列｛4｝的前〃项和，则数列｛4｝中

第18项48=()

A.-B.9C.18D.36

36

【答案】C

【解析】(S„)=f(a„)+f(a„+l)-l=f[—a„(a„+l)].函数f(x)是定义域在(0,+°0)

2

上的单调函数，数列｛④｝各项为正数.一产上③(a0+l)①当n=l时，可得&=1；当n22时，

2

Sn-l=—3n-l(ah-l+l)②，

2

—-

①-②可得an二一an(an+1)—-Hn-i(an-i+1)•,*(an+a(i-i)(anSn-i1)=0

22

Van>o,工既一anr1=0即a「an尸1・••数歹lj｛aj为等差数歹I,a^l,d=l；.*.an=l+(n-1)Xl=n

即a尸n所以《8=18

故选Co

练习2.已知口(x)=/1x+g1-1是/?上的奇函数，

an=/(0)++/(£)+…+/(f)+/⑴(〃GN*),则数列｛a,,｝的通项公式为

().

2

A.an=nB.an-2nC.an=n+\D.an=n-2n+3

【答案】C

【解析】•••=+-1是奇函数，...尸仁卜尸卜;卜。，令尤=；，

唱"ON,

令x=-；，尸[-£|=〃0)-1,•••/(())+/⑴=2,..wreH/⑴=2,

令”'吧一｛|二田卜’令x=.•.呜TTF)

.“壮彳卜口「一卜。'"q)+/(9)=2,同理可得

/CW一卜2.

+

f口+/-^]=2,.'.an=2+2x—~-=n+l(neN),

\nj\n)n

故选C

练习3.设等差数列｛a.｝的前"项和为S“，已知(4-1)3+2016(%-1)=1，

3

(«2013-l)+2016(«2013-l)=-l,则下列结论正确的是()

A-^2016~—2016,^2013>a4B，$236=2016,&)13>%

C^2016~—2°16,。2013<4D.<^2016=2016,<220|3<%

【答案】D

【解析】令f(x)=x'+2016x,则F(x)=3x+2016>0,

所以f(x)在入上单调递增，目/'(*)为奇函数。

由条件得,-1)=-1，式。4-1)=1，

••^2013—1+。4—1=。，从而。4+?013=2,

又等差数列｛4｝的前〃项和为S“,

2016(al+a2016)2016(4+%)13)

所以§2016=2016,

22

因为Ag013-1）=T，f（%-1）=1，f（x）在"上单调递增，

所以。4-1＞。2013—1，即小＞。2013，

故选：D.

练习4.数列4,心，。”是正整数1,2,…，〃的任一排列，且同时满足以下两个条件：

①q=l；②当〃上2时，—4+JK2（/=1,2,•••,«-1）.

记这样的数列个数为/（〃）.

⑴写出〃2）J（3）J（4）的值；

（II）证明"2018）不能被4整除.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：⑴依题意，易得：/（2）=1,/（3）=2,/（4）=4；（2）把满足条件

①②的数列称为"项的首项最小数列.对于〃个数的首项最小数列，由于4=1,故4=2或

3.分成三类情况，利用已知条件逐一进行验证即可.

试题解析：

（I）解：〃2）=1"（3）=2,〃4）=4.

（II）证明：把满足条件①②的数列称为“项的首项最小数列.

对于“个数的首项最小数列，由于4=1,故4=2或3.

（1）若々=2,贝"%-1，。3-1，-一，4一1构成〃—1项的首项最小数歹1」，其个数为/（〃一1）；

（2）若g=3,%=2,则必有4=4，故4一3,。5一3「一,4-3构成“一3项的首项最小

数列，其个数为/（〃一3）；

（3）若出=3,则4=4或%=5.设4+1是这数列中第一个出现的偶数，则前左项应该是

1,3「、2女—1,是〃或2k—2,即4与6句是相邻整数.

由条件②，这数列在知+1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在%句之后，故4+1

后的各项都小于它.

这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.

综上，有递推关系：/（〃）=/（〃-1）+/（〃-3）+1,n>5.

由此递推关系和⑴可得，〃2）,〃3）,…,”2018）各数被4除的余数依次为:

1,1,2,0,2,1,2,1,3,2,0,0,3,0,1,1,2,0,—

它们构成14为周期的数列，又2018=14x144+2,

所以/（2018）被4除的余数与/（2）被4除的余数相同，都是1,

故“2018）不能被4整除

2特殊数列

6八+6丫1-M

例2.已知数列4=苧12,则。2017一定是

2J2J

A.奇数B.偶数C.小数D.无理数

【答案】A

【解析】因为。“=好（匕且］—（匕1］，所以

522

q=1吗=1,%=2,%=3,%=5,…，则数列｛4｝从第3项开始，每一项均为其前两项的和,

因为前两项均为1,是奇数,所以从第三项开始,第3〃项均为偶数,第3/7+1项均为奇数,第

3n+2项均为奇数,所以々Ou一定是奇数•

【方法规律总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略

（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的

数列）等方法.

（2）具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各

项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或

寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用（-l『，ZeN+处理.

练习1已知数列｛风｝满足号•，噜，等…噤=g（〃wN*）,则％o=（）

110100

A.e30B.e40C.e~D.e~

【答案】C

【解析】•.•她，幽,她…皿=当”叱）

3693〃2,7

.㈣ln^InqIn*3(〃-1)

〃eN*)

"3'6'93(〃-1)-2

Ina,=-^~—(n>2),

"(〃-1)、7

3/

：.an=e^

100

/.4()=e③

故选C.

练习2..设S“为数列｛q｝的前〃项和，2a“-a“T=32i(〃N2),且34=24.记(

为数列<--——>的前〃项和，若PnwN",T“<m,则，〃的最小值为()

4+S",

A.—B.—C.—D.1

323

【答案】A

【解析】由2a“-a-=3・2…(n22),得，&=上冬+之4•一1=，(餐―1]

2"42"T42"4(2"T)

由2a-an-尸3,2"।(n22),且3ai=2a2,

可得2a2-a1二6,即2a尸6,得ai=3.

数列｛%-1｝是以■5•为首项，以,为公比的等比数列，

2"24

/1AT

b2/:2

=r-I+

\27

1-2(1-2")

(2+22+23+—+2")2»2n-21-

1________________1

%+S“-2~@2"+2??”-

•.•对VndN*,T„<m,

••.m的最小值为』.

3

故答案为A。

【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了

等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个

题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和。比研究单

调性，直接研究表达式的单调性。

3.数列的性质

例3.已知数列｛。“｝,%=1,。2=丁税，则%=()

A.---B.-C.---或1D.一

2442

【答案】B

【解析】由条件可知％=刍一，两边去倒数得」一=L+-Ln是等差数列，故

4+2a„+i2an］4

—=1+(71-1)—=-^-^-，故得为=上2,%=!1

4')221+〃4

故答案选B.

【方法总结】已知数列4+1=刍、.要求通项，可以两边取倒数，得到［上］是等差数列，已知勺=1

4+2⑸

可以求出工=1,再根据等差数列的性质求出数列的通项公式，-=1+(»-1)1=^,再取倒数可

/a»22

2

以求出4=--，代入"力求得结果即可.

1+力

练习1.数列｛%｝定义为4>0,an=a,a“+i=a“+gq〉〃eN*

(1)若q=—^(a>0),求一!一+—!—+…+―的值；

1+2。2+q2+?2+。］()

⑵当a>0时，定义数列也｝,bx=ak(k>n),2用=-l+Jl+纥，，是否存在正

整数使得4+r=a+g〃+Jl+2a-1.如果存在,求出一组(7,/),如果不

存在，说明理由.

【答案】(1)2；(2)答案见解析

【解析】试题分析:

由题意可得一!一=」——裂项求和有11

（i）-----------1-----------+…+—的值是2；

。

4+2a,,all+l2+42+32+a1

（2）结合所给的递推关系讨论可得存在一组亿；）=（攵-11,攵-9）满足题意.

试题解析:

(4+2)41—2

⑴4+1

2，一(勺+2)&

所以---------------

4+1an4+2

故M---।--=--I---I----

。“+2«„«,1+,

所以一'一+1111+2。1

2+q2+42+4。q%aa

(2)由%=—l+Jl+2d

得%M+1=J1+2〃，，两边平方

(%+1)2=1+22

所以

当4=%时，由4=4+g片知ak二4+

又g=&1+3说7,数列｛〃〃｝递增，所以a=%-1

类似地,by=%_2,…4=ak-M

又aH—ci~=

2"2

2

(Jl+2a-1+2a—1|=Q=%]

Jl+2a-1=Q]o

4+勺=1+%

所以4_源+%_.=«10+«12

存在正整数1+1=12,1+1=10

i=k一ll,j=k一9

存在一组«")=(4-11,09)

练习2.在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数

的乘积记为A“，令=logzA,〃eN”.

(1)数列｛4｝的通项公式为％=；

(2)Tn=tana?,tanfl4+tant74•tana6H----1-tan«2n-tan«2/j+2=.

n+2tan(〃+2)T“〃2

【答案】--------------------------n.

2tanl

【解析】(1)设在数1和2之间插入〃个正数，使得这〃+2个数构成递增等比数列也“｝

则仇=1,%?=2=1xq"+l,即ql,+'=2,q为此等比数列的公比

(〃+1)(〃+2)n+2〃+2

.A1——2_3八〃+1」+2+3H—>-(H+1)772(八〃+1\2)n7z

:.An=\qqq-q—q'=q=\qI=2

[4〃+2

•••4=log2A”=^-

故数列｛%｝的通项公式为q=

J72

(2)由(1)可得。，小脸耳尸可，又

tan(H+1)-tann

tanl=tan+=

l+tan(n4-l)tan/?

tan(n+l)-tann1

z.tan(n+l)tann=

tanl

/、/、tan(n+2)-tan(n+1)*

/.tana2n-tana2n+2=tan(〃+1)tan(〃+2)=----------------------------1,〃£N

Tn-tana2-tana4+tana4-tanab+•••+tana2n•tana2n+2

tan3-tan2tan4-tan3八(tan5-tan4A(tan(H+2)-tan(n4-l)

-1+--------—--1---+-…+-----------------------------1

tanlJItan1/Itanl)Itanl

tan(n+2)-tan2才

=-----------------------nneN

tanlf

tan(n+2)-tan2

故答案为———L----------n

tanl

A7n-k45

练习3.已知两个等差数列｛4｝和｛4｝的前〃项和分别为A“和耳，且£=毛詈,

%=,%为整数的正整数〃的取值集合为.

4bn

【答案】9；｛2,3,5,11｝

【解析】试题分析：

由等差数列的性质和求和公式可得幺=&4=卫，可得〃的取值。

"%T〃+1

试题解析：

...4J+45

‘纥〃+3

a5_2%(a,+tz9)x-7x9+45_108_9

・2=*伍+妃、|=瓦=9+3=苗=

^2“+[

%=5_4向7(2〃—1)+4514〃+387〃+197।仁，

b〃Bzn+i(2〃-1)+32几+2屋+1〃+1

2〃一1

即〃+1=3或力+1=4或〃+1=6或〃+1=12,从而〃=2,3,5,11,即集合为｛235,11｝

故会为整数的正整数〃的取值集合为｛235,11｝

4.数学文化与数列的应用

例4某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时

将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资

500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面也可以

大大降低原料成本.据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入

g(〃)是生产时间〃个月的二次函数g(〃)="+ki(女是常数)，且前3个月的累计生产净

收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时，该厂不

但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.

(1)求前8个月的累计生产净收入g(8)的值；

(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.

【答案】(1)g(8)=g(5)+3xlO9=852；(2)经过9个月投资开始见效。

【解析】试题分析：(1)根据g(3)得到k,再计算g(5)和g(5)-g(4),而g(8)

=g(5)+3[g(5)-g(4)],从而得到结果;

(2)求出投资前后前n个月的总收入，列不等式解出n的范围即可.

试题解析

⑴据题意g⑶=32+34=309,解得&=100,

第5个月的净收入为g⑸-g(4)=109万元，

所以，g(8)=g⑸+3x109=852万元

n2+100n,(n<5)

⑵g(〃))⑸+(〃_5)[g(5)-g(4)].(〃〉5)

n2+100/7,(n<5)

即g(〃)={

109〃-20,(〃>5)

要想投资开始见效，必须且只需

500+100〉70“-3〃+\，x2

即g(n)+〃2-68〃—400>0

当〃=1,2,3,4,5时，+]00〃+〃2_68〃-400>0,

即〃(〃+16)>200不成立；

当〃>5时，109〃―20+〃2—68〃—400>0,即〃(〃+41)>420,

验算得，时，n(n+41)>420

所以，经过9个月投资开始见效。

练习1.用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，

以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%,按复利计算.若

交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实

际付款多少元？每月还款多少元？（最后结果保留4个有效数字）

参考数据：（1+1%）’9=1.208,（1+1%）8=1.220,（1+1%产=1.232.

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：购买当天先付款后，所欠款数可求，用20个月还清，月利率为1%,按

复利计息，分期付款的总款数，是等比数列的前20项和，求出可得买这件家电实际付款数,

以及每个月应还款数.

试题解析：

由题易得X（1+1%）''+-¥（1+1%）…+x（l+1%）+x=1000（1+1%）-",

即x•G=1000X（l+l%）20,

I000X1X（1+1%）8

所以x=（1+1%）J和55.45,即每月还款55.45元.

所以买这件家电实际付款55.45X20+150=1259（元），每月还款55.45元.

练习2.吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百

八十一，请问塔顶几盏灯？（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

4（27-1）

【解析】设塔顶6盏灯，则上----^=381,解得q=3.

12-1

故选C.

练习3.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的（如图），其中

=A4=44=-=44=I，记。4，。&，…，。4的长度构成的数

列为则｛6,｝的通项公式

【答案】a“=ii

【解析】根据题意：々1=44=44="，=44=1

22.

,•4=。《~1+1，

，｛d｝是以1为首项，以1为公差的等差数列

0：=力=y!n.

练习4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子

算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801

年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国

剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数

中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛勺｝,则此

数列的项数为,

【答案】135

【解析】试题分析：将题目转化为4-1即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数即

-1=15%（%=0,1,2-），当％=134,154=201（）,当后=135时，15%>2（）16,

故女=0,1,2…,134,数列共有135项.

5.新定义数列

例5.对于给定的正整数火，如果各项均为正数的数列｛4｝满足：对任意正整数〃（〃>幻，

《一必……产总成立，那么称｛4｝是“0（攵）数列”.

（1）若｛%｝是各项均为正数的等比数列，判断｛%｝是否为“0（2）数列”，并说

明理由；

⑵若｛4｝既是“。（2）数列”，又是“。（3）数列”，求证:｛4｝是等比数列.

【答案】（1）见解析；（2）见解析。

【解析】试题分析：（1）假设k｝是各项均为正数的等比数列，由等比数列的性质可得:

%-2aA14+42=/尸■6/9尸=（4尸）4=a：即可证明•

<2）｛4｝既是“。（2）数列”，又是“。（3）数列”，可得

aaa。立姿生爪口内火+汹。：可得对于任意都成立.即

K-2^+\,^2=7=・n€N*（n"4）

可证明.

试题解析：（1）｛4｝是“0（2）数列”，理由如下：

因为｛”“｝是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为q.

当及>寸，有限n+=（n『4

2B**4+1=a"T•ad'--atq"•a,q'ayq-'=a,,

所以｛4｝是“Q（2）数列”.

（2）因为｛%｝既是“。（2）数列”，又是“0（3）数歹，

所以，4

V〃>2an_2an_xan+xan+2=a,，，①

V">3，/_3%_2%-必，，+q”+2。，，+3=an-②

由①得，V〃>1,。“一。％+2/+3=4；，③

V〃>3,an_yan_2anan+x=aJ.④

44

③X④+②得，V〃>3,a,j="T,..

%

因为数列各项均为正数，所以

｛a.｝V〃>3,a；=an_xan+x.

所以数列｛a,｝从第3项起成等比数列，不妨设公比为/.

①中，令〃得，4所以

=4a^a3a5a6=a4,

q’

①中，令〃得，,所以

=3ata9a4a5=q=2.

q

所以数列｛a“｝是公比为小的等比数列.

练习记〃项正项数列为。”，其前项积为定义为"相

14,4，……nT,,lg（7；Z……Tn）

对叠乘积”，如果有2013项的正项数列q,。2,……。2013的“相对叠乘积”为2013,则有2014

项的数列10,%,。2,……”2013的''相对叠乘积”为()

A.2014B.2016C.3042D.4027

【答案】D

【解析】由题意得2014项的数列10,铀,…,33g的“相对盘乘积”为

aGU

1g[10(10Tt)(10Ta)(10T,)(10TJ]=lglO+lg(Tf…Ik)=2014+2013=4027.

故选：D.

【方法规律总结】：本题属阅读型试题，考查利用对数的运算法则解决问题的能力及学生的

阅读理解能力，解题时要认真审题，注意准确理解“叠乘积”的概念，利用对数的运算法则

可得lg[10(10T1)(10L)(lOTa)•••(10T„)]=lgl02014+lg(T^L-L)即得解.

练习2.已知数列4=｛4,外,…<。2<一-<4，〃？2)具有性质/｝：对任意i,

j(l<i<j<n),《•力与鱼两数至少有一个属于A.

ai

(I)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由.

(II)求证：4=1.

(III)求证：—7P~~77------

4+%+…+。“

【答案】(1)具有性质P(2)见解析(3)见解析

【解析】试题分析：(1)直接根据定义进行判断：由于3x4与之均不属于数集｛1,3,4｝,所

以｛1,3,4｝不具有性质P,而肯定时需全面检验：由于1x2,1x3,1x6,2x3,1,

1,二J都属于数集｛1,2,3,6｝,所以｛1,2,3,6｝具有性质P.⑵取极

端位置的数：44与&中至少有一个属于A,而勺怎eA,所以l=%eA,即证

q=1.(3)从数列单调性上寻找条件：&eA仕=1,2,…〃)，所以%=1,反=2，

akanI

…，%生=a“，代入即得结论

a2a\

试题解析：（I）由于3x4与:均不属于数集{1,3,4},所以该数集不具有性质P，

由于1x2,1x3,1x6,2x3,--都属于数集{1,2,3,6},

231236

所以该数集具有性质p.

（II）因为A={q,4,q,…%}具有性质P,

所以“与」•中至少有一个属于A,

a“

由于<生<•••^，所以故史A,

从而l==eA,所以4=1.

a„

(III)因为l=q<•••<“"，所以故a*4史A(左=2,3.

由A具有性质P可知"eA(Z=l,2,…〃)，

%

又因为"<…组<2，

a„an-\a24

所以-=1>———cir,>…，——tzn_|，—=an,

a”%%a\

+•■•+—+—

anan-\a24

=4+&+…+%+”“，

所以\+。2：…+々=为.

q+。2+,,•"〃

练习3.用印表示不超过x的最大整数,例如[3]=3,[1,2]=1,[-1,3]=—2.已知数列

2

{4“}满足q=1,«„+|=«„+an,则」[+~~~+…+"刈6[=_________-

a,+1a2+\a20l6+1

【答案】2015

【解析】

22

试题分析:因4+i=I+4,故」匕=3_,又。虫＞4,则—=所以

4+1。壮14+14+1

3+3+-+-^%]=[$+3+…+3]=1+“…+1=2015.故应填答案

_4+1%+1。》16+1」勺+1a2+l4+L

2015.

6.找规律

例6.一同学在电脑中打出如下若干个圈：o・oo・ooo・oooo・ooooo•…

若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的•的个

数是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【解析】试题分析：由图像可得%=蝮蚓=软强=签%=磁…

二图像所示的圈可以用首项为2,公差为1的等差数列表示，

务喙一瞬=4醐

二前120个圈中的•的个数即为"“誓，

唆胃二切

&，解得嫄=•脑，

二前120个圈中的•有阳一』=若个,

故选D.

练习1..已知等差数列｛&｝中，%=7,4=16将此等差数列的各项排成如下三角形数

阵：

q

a2ai

《as4

a?a,“。10

・・・・・・・・・・・・・・・

则此数阵中第20行从左到右的第10个数是一.

【答案】598

4+Id-7a.

【解析】等差数列{&}中，。3=7,4=16，,■,{1=、”•,・{-

0t+5a=16d-3

而第1行有1个数，第2行有2个数，依此类推第19行有19个数则第19行的最后一个数

是数列的第1+2+…+19=190项，则此数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第200

项，."200=1+199X3=598

故答案为:598

点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式，解题的关键是先根据等差数列中的两项求出数

列的通项，然后弄清数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第几项，根据通项公式

即求解.

练习2.观察如下规律:

111111111111111111111111

L,该组数据的前

3,3,3,5,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,7,9,9,9,9,9,9,9,9,9

2025项和为

【答案】45

【解析】项数N=l+3+5+…+2n-l=”2=2025,n=45,相同数凑成一组和为1,共45个1,所以

11

5=1+-+-++•••+(—+■••+—)=45,填45.

3338989

练习3.如图所示的数阵中，用表示第加行的第〃个数，则以此规律A（8,2）为

1

3

1

66

111

1012Io

i1I

15222215

1111I

2137443721

【答案】—

122

【解析】由题可令每一行的第一个数的分母为4,则有

q=3>%—6=3,弓—％=4,q—色=5>一=〃+1，利用累加法，可得用=4--------从弟

Ju

三行起，每一行的第二个数的分母都等于前一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和.令从第三行开

始第二个数字为45之3））则为一4=a3,b3-bA=a^...,bt-b1=a1,将所有等式的左边和右边分别相加

得与一4=玛+冬+…+々=110,所以4=110+&=110+12=122.所以4(8,2)=——.故本题应填

122

1

函.

7,项和互化的综合问题

iio

例7.已知数列｛a,,｝的首项为2,前〃项的和为S“，且」——-=（〃GN*）.

4-4s“一1

(1)求生的值;

(2)设a=——,求数列｛b｝的通项公式;

(3)是否存在正整数”，使得义坦为整数，若存在求出“，若不存在说明理由.

%

141

【答案】（1）出=一；（2）b=n一一；（3）n=\

-3,4

【解析】试题分析：（1）令n=l可得4=巴；（2）由-!——L=_2_,得

-3a“an+]4S„-1

%一。“2

a.4.14S„-1

所以4S,,_]=2a“a,川，所以4s.一1=也±1",两式相减整理可得

4用一凡4+2-4用

—3-------%—=1，即2+「2=1,故得数列｛4｝是等差数列；（3）结合（2）可

%+2-4+14+1—4

求得a=2(4〃—1),则4±1=史土11=1+」_,然后根据4〃—1之3,且4〃—1为12

7

3、an4〃-14〃一1

的约数可求得〃=1。

试题解析:

(1)易得/=：14

14+「42

(2)由----

a

na7,/4-1a—4s“一1

所以4S,,-1=2%”，田①.

4+1-4“

所以4s,+1-1=2%+4+2②,

a“*2-4+1

由②-①，得2。,用=""+""+2a“a“+i

aa

,,+2~n+\a"+i-a”

因为。,用工0,所以2=—^

4+2一%a〃+i〃

a“+i

所以1+——%—=2,即一1,

a!“+2-4用4+i,区%+2-4+1

即d+i一2=1,所以数列｛"｝是公差为1的等差数列.

因为仇=£%