2022届高考数学考前提分题及答案解析

2022年高考数学考前提分题

1.如图，在四棱锥P-ABC。中，四边形ABCQ是直角梯形，ABLAD,AB//CD,PC，底

ffiABCD,AB=2AD=2CD=2然,E是PB的中点.

(1)求证：PAVCB-,

(2)若三棱锥力-ACE的体积为1,求二面角P-AC-E的正弦值.

【分析】(1)证明BC_LPC,BCLAC,推出BC_L平面以C.即可证明BCL%

(2)以C为坐标原点，CB,CA,昂为x,y,z轴的正方向建系，求出平面B4C的一个

法向量，平面EAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P-AC-E的正弦

值即可.

【解答】(1)证明：VPC±¥®IABCD,BCu平面ABC。，

J.BCVPC,

因为直角梯形ABC。中，AB=2五,AD=CD=近,所以AC=BC=2,

所以AC2+BC2=AB2,所以BCLAC,

又ACCIPC=C,所以BC_L平面以C.

又因为雨u平面PAC,

所以BCA-PA.

(2)解：以C为坐标原点，CB,CA,己为苫，y,z轴的正方向建系如图，

易知C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),

设尸(0,0,2h),则E(1,0,h),

易知△AC。的面积为工Xx=1,

由三棱锥Q-ACE,即三棱锥E-AC£＞的体积为1,

得工x/ix1=1,故h=3

3

即P(0,0,6),E(1,0,3),

由(1)知，/=&=(2,0,0)是平面B4c的一个法向量，

设蔡=(%,y,z)是平面EAC的一个法向量，

CA=(0,2,0),CE=(1,0,3),

(TT

则、.^1=0,即『3°解得取z=-l,则x=3,

(n•CE=0+3z_u

故1=(3,0,-1),

—>—

设二面角P-AC-E大小为。，则cosJ=兽~=丁%=岛，

|m||n|2x710V10

工日.。1同

十是5血。=国=正.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的

求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题.

2.如图，在四棱锥S-ABC。中，SA=SB=SC=SD=\3,ACLCD,AB=6,BD=8.

(1)求证：平面SAO_L平面ABCD；

(2)求二面角A-SB-D的余弦值.

【分析】(1)根据平面与平面垂直的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余

弦值.

【解答】在四棱锥S-ABCQ中，SA=SB=SC=SD=\3,AC±CD,AB=6,BD=8.

(1)证明：取中点M,连接MS、MC.MB,

又因为S4=S£>,所以SM_L4。，

因为NACQ=90°,所以MC=；AZ)="。，

又因为SC=S。，SM=SM,所以aA/SC丝△"£),

所以NSMC=SMZ)=90°,所以SM_LMC,

又因M£>CMC=M,所以SMJ_平面ABC。，

又因为SMu平面SAO,

所以平面SA£>_L平面ABCD.

(2)解：由(1)知SM_L平面ABC£),

又因为SA=SB=SC=S£>,所以M4=MB=MC=M£>,

于是A、8、C、。四点共圆，所以NABD=N4C£>=90°,

因为AB=6,BD=8,由勾股定理得A/)=7AB2+BD2=10,

因为MC=MD=5,SC=13,由勾股定理得SM=VSC2-MC2=12,

建立如图所示的空间直角坐标系，

B(0,0,0),A(0,6,0),D(8,0,0),M(4,3,0),S(4,3,12),

BS=(4,3,12),BA=(0,6,0),BD=(8,0,0),

设平面SBA与平面S8Z)的法向量分别为m=(x,y,z),n=(u,v,vv),

BS-m=4x+3y+12z=0人1-.

__，令z=-l,m=(3,0,-1),

BA-m=6y=0

(SSn=4u+3v+12W=0>令卬=一［,%=(0,4,-1),

(BDn=8u=0

又因为二面角A-SB-D为钝角,

—>—>

所以二面角A-SB-D的余弦值为-单理1_V170

国历=一用・

【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.

3.如图，在正六边形ABC0EF中，将△48F沿直线8尸翻折至△?1'BF,使得平面A'BF

_L平面BCDEf,O,H分别为B尸和A'C的中点.

（1）证明：。”〃平面A'EF-,

（2）求平面A'BC与平面A'OE所成锐二面角的余弦值.

【分析】（1）取A'E的中点G,通过证明四边形OFGH为平行四边形，可得OH〃FG,

进而得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面A'8c与平面A'DE的法向量，利用向量的夹角

公式直接求解即可.

【解答】解：（1）证明：如图，取4'E的中点G,连接FG,HG,CE,

又；”是4'C的中点，

1

J.HG//CE,HG=^CE,

又「正六边形A5CDM中，BF//CE,BF=CE,

1

:.HG//BF,HG=^BFf

又。为3尸的中点，

：.HG//OF,HG=OF,

・・・四边形OFG”为平行四边形，故。〃〃/G,

TFGu平面A'EF,。"g平面A'EF,

，0H〃平面A'EF；

(2)由条件可知。4'VOB,OA1LOD,ODYOB,分别以OB,OD,OA'所在直线

为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正六边形ABCDEF的边长为2,则

B(V3,0,0),C(遮，2,0),。(0,3,0),E(-取,2,0),4(0,0,1),

：.BC=(0,2,0),A'C=(A/3,2,-1),ED=(V3,1,0),A'D=(0,3,-1),

设平面A'8c的法向量为/=Q,y,z),则=2y=°,则可取薪=

.m•ArC=y/3x+2y—z=0

(L0,V3),

设平面A'OE的法向量为£=(a,b,c),则R,西=8a+b=0,则可取%=(1,-

In-A'D=3b-c=0

V3,-3V3),

设平面A'