专题9.6直线与圆锥曲线位置关系2

专题9.6直线与圆锥曲线位置关系【核心素养】通过考查直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理等核心数学素养.知识点知识点一直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．知识点知识点二“弦”的问题1.弦长公式设斜率为k（）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，，则＝＝.2．处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq\f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l．(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)|AB|＝2(x0＋eq\f(p,2))＝x1＋x2＋p；(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2．常考题型剖析常考题型剖析题型一：直线与圆锥曲线位置关系的判断【典例分析】例11．（2023·全国·高三专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定例12.（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线交点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【变式训练】变式11．（2024·全国·高三专题练习）双曲线与直线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2变式12.【多选题】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（

）A． B．C． D．题型二：研究曲线的几何性质【典例分析】例21.（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3例22.（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式训练】变式21.（2023春·海南海口·高三统考期中）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（

）A．3 B． C．2 D．变式22.【多选题】（2023·广东东莞·校考三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（

）A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点C．线段长的最小值为 D．题型三：求直线方程【典例分析】例31.（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．例32.（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．【变式训练】变式31.（2021·天津·统考高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．变式32.（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．题型四：求曲线方程【典例分析】例41.（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例42.（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为双曲线C左支上一点，．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线与x轴交点的横坐标分别为，且，求双曲线C的方程．【变式训练】变式41.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G：，斜率为的直线l交椭圆于A，BAB的中点坐标为，试写出椭圆G的一个标准方程.变式42．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；(2)求线段的中点的轨迹方程.题型五：求参数【典例分析】例51.（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．例52.（2022·北京·统考高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．【变式训练】变式51.（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式52.（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．题型六：长度、距离问题【典例分析】例61.【多选题】（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．例62.（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．【变式训练】变式61.（2020·海南·高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=．变式62.（2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率存在的直线交的右支于两点，且直线与的斜率之和为0．记交轴于点．(1)求的坐标；(2)若直线交直线于点，求的值．题型七：图形的面积问题【典例分析】例71.（2021·全国·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．例72.（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．【变式训练】变式71.（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则的面积为（

）A． B． C．12 D．变式72.（2024·全国·高三专题练习）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点(1)求抛物线的准线方程；(2)求的面积（为坐标原点）..一、单选题1．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．4 D．42.（2023秋·山西朔州·高三校考开学考试）已知是抛物线：上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（

）A．24 B．28 C．30 D．323.（2023·江苏盐城·统考三模）定义曲线为双曲线的“伴随曲线”.在双曲线：的伴随曲线上任取一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则直线与曲线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．与点的位置有关系4．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，过P作C的切线交直线于点Q，则（

）A．C的离心率为 B．C的离心率为C．△OPQ的面积为 D．△OPQ的面积为三、填空题7．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若.则双曲线的离心率为.8.（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，已知椭圆和抛物线的一个交点为P，直线交于点Q，过Q作的垂线交于点R（不同于Q），若是的切线，则椭圆的离心率是．四、解答题9．（2020·天津·统考高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．10.（2020·山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求