5.2.1三角函数的概念（五大题型）

5．2．1三角函数的概念【题型归纳目录】题型一：三角函数的定义题型二：判断三角函数值的符号题型三：确定角所在象限题型四：诱导公式（一）的应用题型五：圆上的动点与旋转点【知识点梳理】知识点一：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即．知识点诠释：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．知识点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三：诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：，其中注意：利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值．知识点四、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【典型例题】题型一：三角函数的定义例1．（23·24上·北京·阶段练习）已知角终边经过点，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由三角函数的定义可知，角终边经过点，故.故选：B例2．（23·24上·河西·阶段练习）若角的终边过点，则的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】依题.故选：D例3．（23·24上·陕西·阶段练习）已知是角的终边上一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三角函数的定义知:，所以.故选：A.变式1．（23·24上·榆林·阶段练习）已知，终边上有点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，故，，又，故在第四象限，又，所以，从而，解得，又，所以，故.故选：D变式2．（23·24上·晋中·阶段练习）若角的终边上有一点，且，则（

）A．4 B． C．1 D．【答案】C【解析】由已知，得，解得.因为，所以，则.故选：C变式3．（23·24上·渝中·阶段练习）角的终边上一点的坐标为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，解得：，所以.故选：A.变式4．（22·23下·眉山·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：.故选：B.【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．题型二：判断三角函数值的符号例4．（22·23·宜宾·三模）已知角的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为角的终边上一点的坐标且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，，，，选项A，，故选项A正确；选项B，，因为的正负不知，故选项B错误；选项C，，因为的正负不知，故选项C错误；选项D，，因为的正负不知，故选项D错误；故选：A.例5．（22·23下·沈阳·期末）已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角终边经过点，所以在第四象限，所以，，，，故C正确．故选：C．例6．（20·21上·喀什·阶段练习）已知为第三象限角，那么下列正确的是（），A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的终边与单位圆的交点的坐标为，而为第三象限角，所以，得.故选：C.变式5．（21·22上·山西·阶段练习）下列各式的值为负的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A选项，由，，可知A选项不正确；对于B选项，由，，可知B选项不正确；对于C选项，由，，可知C选项不正确；对于D选项，由，，可知D选项正确.故选：D.变式6．（21·22·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，以轴非负半轴为始边，终边经过点，，则下列各式的值可能大于0的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，角的顶点在原点，以轴非负半轴为始边，终边经过点，，可得，，故符号不定，值可能大于0，A正确；，B错误；，C错误；，D错误．故选：A．变式7．（18·19·贵阳·期末）下列三角函数值为正数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．，，因此不正确；B．，，因此不正确；C．，，因此不正确；D．，，因此正确．故选：D．【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．题型三：确定角所在象限例7．（20·21上·江西·期末）已知．则角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】用诱导公式化简后根据三角函数值正负确定角所在象限．，，，，∴在第四象限．故选：D．例8．（20·21上·湖州·阶段练习）我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点在第三象限，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为点在第三象限，所以，，则，角的终边在第二象限，故选：B.例9．（18·19下·西安·阶段练习）若，则所在的象限是A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三【答案】C【解析】由得出或，分两种情况讨论，即可确定角所在的象限.，或.若且，则角为第一象限角；若且，则角为第四象限角.综上所述，角为第一或第四象限角.故选：C.变式8．（19·20·全国·课时练习）若,且,则角的终边所在象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由确定终边在轴左侧，，得终边在轴下方，然后求出终边位置，两者结合可得终边所在象限．,,.,,.,.综上可得,.当,且时,角的终边所在象限是第二象限.故选:B变式9．（18·19上·哈尔滨·期末）若，则所在象限是A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限【答案】A【解析】因为，，所以，故在第二象限，即，故，当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限，即所在象限是第一、三象限．故选A.变式10．（17·18下·山西·期中）如果点位于第四象限，那么角所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】分析：根据象限内坐标的特点，判断，由三角函数的定义可得结果.因为点位于第四象限，所以横坐标，纵坐标，可得，只有终边在第二象限的角正弦小于零，余弦大于零，故选B.变式11．（16·17上·丰台·期末）如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】∵点位于第四象限，∴，∴角所在的象限是第二象限．故选B．变式12．（22·23上·大同·期末）点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，即的终边在第二象限，所以，，所以点在第二象限.故选：B.变式13．（22·23上·安徽·阶段练习）设角是第一象限角，且满足，则的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由角是第一象限角，有，可得，可知为第一或第三象限角，又由，可得为第三象限角.故选：C.【方法技巧与总结】确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的三角函数值的符号，确定角所在象限．题型四：诱导公式（一）的应用例10．（21·22下·深圳·阶段练习）．【答案】【解析】由诱导公式可得.故答案为：.例11．（23·24上·徐州·阶段练习）的值为．【答案】/【解析】因为，故答案为：.例12．（21·22上·全国·课时练习）已知是角的终边上一点，则=.（【答案】/【解析】由于是角的终边上一点，所以，故，故答案为：变式14．（22·23上·西安·期末）．【答案】【解析】，故答案为：．变式15．（20·21下·全国·课时练习）已知，其中a、b、α、β为常数．若，则.【答案】1【解析】∵，∴..故答案为：1变式16．（22·23下·西城·阶段练习）的值为【答案】【解析】.故答案为：.变式17．（22·23下·浦东新·阶段练习）.【答案】0【解析】.故答案为：0.【方法技巧与总结】利用诱导公式一化简或求值的步骤（1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式．（2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值．（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．题型五：圆上的动点与旋转点例13．（20·21上·益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以故选：C例14．（22·23下·顺义·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（

）A． B．（）C．（，） D．（－，）【答案】A【解析】设与轴正半轴的夹角为，则点P逆时针方向运动弧长到达Q点后与轴正半轴的夹角为，此时，则，，故此时点Q的坐标为.故选：A例15．（22·23下·忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得，，作轴且垂足为；利用三角函数定义可得，；又点在第四象限，所以点的坐标为.故选：C变式18．（21·22上·全国·专题练习）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．【解析】（1）设、第一次相遇时所用的时间是，则，（秒，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为，则，，点的坐标为，（2）第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为．变式19．（19·20上·深圳·期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.【解析】设、第一次相遇时所用的时间是秒，则．（秒，即第一次相遇的时间为4秒；设第一次相遇点为，第一次相遇时点已运动到终边在的位置，则，．点的坐标为，点走过的弧长为，点走过的弧长为．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解【过关测试】一、单选题1．在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当角的终边过点时，根据三角函数的定义，可得，充分性成立；当时，为第二象限角或第四象限角，若为第四象限角，则角的终边不过点，必要性不成立.所以“角的终边过点”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．已知角α的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知点到原点的距离，由任意角的三角函数的定义，，所以.故选：D3．已知角终边上有一点，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因为是第二象限角，所以，所以点P在第四象限，即角为第四象限角，所以为第一象限角，所以为第三象限角.故选：C4．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则成立，故充分性成立；若，则，不一定为，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度数为，则角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设角所在的扇形的半径为，面积为，则由题意可得，解得，所以，故选：D6．已知角，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如下图示，在单位圆中，轴，轴，且，所以，，，的面积，扇形的面积，的面积，由图知：，故.故选：A.7．已知是定义在有限实数集A上的函数，且，若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则的值不可能是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由题意得到，问题相当于圆上由个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，我们可以通过代入和赋值的方法，当时，此时得到的圆心角为，然而此时或者时，都有个与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个，因此只有当时旋转，此时满足一个只会对应一个.故选.：C.8．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有，解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为.故选：C二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦对的圆心角是C．经过4小时时针转了D．若角与终边关于轴对称，则【答案】AB【解析】设角终边上点的坐标为，则，若角终边在第二象限或第四象限，则，若，则角终边在第二象限或第四象限，所以角终边在第二象限或第四象限的充要条件为，故A正确；圆的一条弦等于半径，则圆心角为，即，故B正确；经过4小时时针旋转了，故C错；若角和角的终边关于轴对称，则，故D错.故选：AB.10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若,则下列各式的符号不能确定的是(

).A． B． C． D．【答案】AC【解析】由三角函数的定义可知：，当时，，，当时，，，当时，，，故符号不确定；因为，所以，符号确定；，当时，，，当时，，，当时，，，故符号不能确定；，故符号确定.故选：AC11．求函数可能取值，其中

（

）A．16 B． C．10 D．10【答案】ABD【解析】由函数有意义可得，当时，，当时，，当时，，当时，，故选：ABD.12．若，，则可以是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】AC【解析】因为，，所以，故是第一象限角，由，得，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角.故选：AC.三、填空题13．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边上一点，则.【答案】【解析】因为终边上一点，则.故答案为：.14．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则【答案】－【解析】角θ的终边经过点；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，.故答案为：15．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于y轴对称，则满足的一个角的值可以是．【答案】（答案不唯一）【解析】例如，可知角与角的终边关于y轴对称，且，满足.故答案为：（答案不唯一）.16．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则．【答案】1【解析】易知角的终边按逆时针方向旋转后得到，由题意可知的终边位于第二象限，且，故，所以，即.故答案为：1四、解答题17．在单位圆中，确定下列三角函数值的符号：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）如图1，作出（自轴非负半轴起，逆时针旋转），可知该角的终边位于第二象限，设，易知，根据三角函数的定义可得，.（2）如图2，作出（自轴非负半轴起，逆时针旋转），可知该角的终边位于第三象限，设，易知，根据三角函数的定义可得，，所以.（3）如