2022届江西省南昌市新建二中高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知斜率为-2的直线与双曲线—方=1（。＞0力〉0）交于两点，若M（/,%）为线段4?中点且

kOM=-4（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.75B.3C.73D.

4

2.已知（1+x）"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）.

A.212B.2"C.210D.29

3.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）

分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：〃=2及〃=3时，如图：

n=3

记S”为每个序列中最后一列数之和，则S6为（）

A.147B.294C.882D.1764

4.运行如图程序，则输出的S的值为（）

A.0B.1C.2018D.2017

5.已知集合A={x|y=j2-x2卜B={x|^1<0）,则4门5=（）

A.[-L2]B.[-1,72]C.（-1,72]D.[-/,0]

6.已知命题。：“关于x的方程4x+a=o有实根”，若M为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数加

的取值范围是（）

A.[l,+oo）B.（1,+?）C.（-oo,l）D.（-00,1]

7.已知集合人=/Ix>0},B={x|x2-x+b=0},若Ac8={3},贝!）8=（）

A.-6B.6C.5D.-5

8.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球

体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80,52）,则直径在（75,90]内的概率为（）

附：若X〜N（〃,cr2）,则尸"+cr）=0.6826,P（〃-2b<X,,M+2（T）=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

-2

9.已知A,6是函数=r图像上不同的两点，若曲线y=/（x）在点A,8处的切线重合，则

x\nx-a,x>0

实数。的最小值是（）

10.若aeR,则“。=3”是“x(l+or)5的展开式中｛项的系数为90”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.设i为虚数单位，复数z=(a+i)(l—i)eR,则实数。的值是()

A.1B.-1C.0D.2

12.正AABC的边长为2,将它沿8c边上的高AD翻折，使点3与点。间的距离为出,此时四面体A—BCD的外

接球表面积为()

10%137

A.------B.4乃C.------D.7TT

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2Q2

13.已知x〉0,丁＞一1,且x+y=l,则上上+二一最小值为________

xy+1

”1

14.已知实数x、y满足卜＜2x-1,且可行域表示的区域为三角形，则实数〃?的取值范围为,若目标函数

y＜m

Z=X-)'的最小值为-1,则实数〃7等于.

15.如图，在体积为丫的圆柱。1。2中，以线段。1。2上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，

匕，则铝£的值是.

16.如图，棱长为2的正方体A8C。一A4GR中，点M,N,E分别为棱AVAB,A£＞的中点，以A为圆心，1为半

径，分别在面A8B同和面ABC。内作弧MN和NE,并将两弧各五等分，分点依次为M、片、鸟、4、乙、N

以及N、Q、2、。4、E.一只蚂蚁欲从点［出发，沿正方体的表面爬行至0,则其爬行的最短距离为

.参考数据：cos90=0.9877；cos18°=0.9511；cos27°=0.8910)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=2+2cos。

17.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为，c.，(a为参数)，以坐标原点为极点，x轴

y=4+2sina

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C,的极坐标方程为。=4sin。.

(1)把G的参数方程化为极坐标方程：

⑵求G与G交点的极坐标20,0w。＜2%).

18.(12分)已知函数/(x)=2ax+Z?x-l—21nx(aeA).

(1)当。=0时，讨论函数/(*)的单调区间；

(II)若对任意的aw[1,3]和xe(0,-HX)),/(x)22法-3恒成立，求实数。的取值范围.

19.(12分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是边长为2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中点.

(1)证明：PO//平面AEC；

(2)设尸是线段。。上的动点，当点E到平面Q4F距离最大时，求三棱锥P-AFE的体积.

20.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC_L平面ABC,AB=BC,PALPC.^E,F,。分别为线

段Q4,PB,AC的中点，点G是线段CO的中点.

(1)求证：Q4_L平面项?。.

(2)判断FG与平面仍0的位置关系，并证明.

21.(12分)如图，已知正方形ABCO所在平面与梯形A3MV所在平面垂直，BM//AN,NA=AB=2,BM=4,

CN=26.

(1)证明：MN工平面BCN；

(2)求点N到平面CDM的距离.

22.(10分)已知圆M：卜+2G『+y2=64及定点N(2ji,0),点A是圆M上的动点，点8在N4上，点G在M4

上，且满足福=2丽，丽・丽=0，点G的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设斜率为k的动直线/与曲线C有且只有一个公共点，与直线y=和y=分别交于尸、Q两点.当网〉1

时，求AOPQ(O为坐标原点)面积的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

设4(%,%),8(工2，%)，代入双曲线方程相减可得到直线A3的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求

出离心率.

【详解】

k---4

鼠。M——f,

%

r22

设A（%，x）,仇工2，必），

两式相减得（%+2），「/）_）=°,

2

Q-h

=9=^^="=<21-2,..乃=8,~=、口

a4

xt-x2矿（%+%）a%'V7aVa

故选：B.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程

相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

2.D

【解析】

因为（1+尤）”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C：=C：,解得〃=10,

所以二项式（l+x）i°中奇数项的二项式系数和为」x2i°=2:

2

考点：二项式系数，二项式系数和.

3.A

【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得56的值.

【详解】

依题意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

]_

31530

2

\_

21020

3

3_15

15

42T

16

612

5?

1_

1510

6

所以$6=60+30+20+15+12+10=147.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

4.D

【解析】

依次运行程序框图给出的程序可得

7T

第一次:S=2017+sin-=2018,z=3,不满足条件；

2

3%

第二次:S=2018+sin—=2018—1=2017,1=5,不满足条件;

2

57r

第三次:5=2017+sin一=2018,i=7,不满足条件；

2

第四次:S=2018+sinz2£2018—1=2017,7=9,不满足条件；

至

第五次:S=2017+sin2.2018,/=11,不满足条件；

.

.

11

第六次:S=2018+sin2.二2018—1=2017,i=13,满足条件，退出循环.输出1.选D.

.

5.C

【解析】

计算A=[-夜，、/5=(-1,2],再计算交集得到答案.

【详解】

A=(x|y=72-x2}=[-V2,V2],3={x|£<0}=(-1,2],故An§=(—1，&].

故选：C.

【点睛】

本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.

6.B

【解析】

命题p：tz<4,「〃为”>4,又力为真命题的充分不必要条件为a>3m+l,故3加+1>4=>加>1

7.A

【解析】

由Ac8={3},得3w3,代入集合B即可得从

【详解】

♦.♦AcB={3},.•.3eB,;.9-3+力=0,即：b=-6,

故选：A

【点睛】

本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.

8.C

【解析】

根据服从的正态分布可得〃=80,(T=5,将所求概率转化为一b<XW〃+2b),结合正态分布曲线的性质可

求得结果.

【详解】

由题意，〃=80,b=5,贝UP(75<X,,85)=0.6826,P(70<X„90)=0.9544,

所以P(85<X,,90)=；x(0.9544-0.6826)=0.1359,P(75<X,,90)=0.6826+0.1359=0.8185.

故果实直径在(75,90］内的概率为0.8185.

故选：C

【点睛】

本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.

9.B

【解析】

先根据导数的几何意义写出/(x)在两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，

从而得出〃=；(*—e2*),令函数8(力=3卜2-2，)(*〈0),结合导数求出最小值，即可选出正确答案.

【详解】

解：当xWO时，/(x)=x2+x+a,则/'(x)=2x+l；当x>o时，/(x)=xlnx-a

则尸(尤)=lnx+L设&芭,/&)),8(和"%2))为函数图像上的两点，

当王＜々＜0或0＜玉＜龙2时，尸(王)。/'(9)，不符合题意，故罚＜0＜々.

则/(X)在A处的切线方程为y-(x；+XI+a)=(2xl+l)(x-xl)；

/(x)在B处的切线方程为y—x21nx2+a=(lnx2+l)(x-x2).由两切线重合可知

Inx+1=2x,+1

2,整理得a=-e2V|)(x,<0).不妨设g(x)=)(xw0)

—%2—a=a—x；

则g(x)=x—e2，,g"(x)=i—2e2',由g"(x)=o可得

则当尤=Lln，时,g'(x)的最大值为=

22\乙乙J乙乙乙

贝重(力=粉2_02*)在(-0),0］上单调递减，则aNg(O)=—g.

故选:B.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的

难点是求出a和x的函数关系式.本题的易错点是计算.

10.B

【解析】

求得x(l+ar)5的二项展开式的通项为C；xak-xM，令k=2时，可得/项的系数为90,即C；x/=90，求得“，即可得出

结果.

【详解】

若a=3则x(1+Grp=x(l+3x)5二项展开式的通项为egx3"•/I令人+1=3，即2=2，则/项的系数为

C；x3?=90，充分性成立;当x(l+⑪丫的展开式中父项的系数为90,则有C；x«2=90，从而a=±3，必要性不成立.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识，考查考生的分析问题的能力和计算能力，难度较易.

11.A

【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得。的值.

【详解】

复数z=(a+i)(l—i)eH,

由复数乘法运算化简可得z=a+l+(l-a)i,

所以由复数定义可知1—。=(),

解得a-\,

故选:A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.

12.D

【解析】

如图所示，设的中点为。2，MCD的外接圆的圆心为。-四面体A-BQD的外接球的球心为。，连接

00\,00”0D,利用正弦定理可得。旦=1,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形。。2。。|为平行四边形,

最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.

【详解】

如图所示，设AO的中点为。2，ABC。外接圆的圆心为,四面体A-3C0的外接球的球心为。，连接

OO.,OO2,OD,则0。1_1_平面BCD,002IAD.

因为CD=BD=l,BC=g,故cosNBDC=2~.3'=一一1，

2x1x12

27r

因为N8OC€((),〃)，故

出

由正弦定理可得2°。=—^3=2,故。01=1,又因为4。=百，故。0,=包.

sin——?

3

因为AD_L£)B,AD，C7),DBcCO=。，故AD平面BCD,所以OQJ/AO,

因为4)，平面BCD,。。＜=平面BQ),故A。，。。一极OOJ/DO、,

所以四边形。ana为平行四边形，所以0a=。。2=#，

所以。。=＜跖=也，故外接球的半径为也，外接球的表面积为4»x2=7万.

V4224

故选：D.

【点睛】

本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变

量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一

定的难度.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2+百

【解析】

首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.

【详解】

工工

xy+1

31

结合可知原式=1+方

„31(31)x+(y+l)1「，3(y+l)x'

xy+1(xy+1)22\_xy+1

」［4+2,代亘工］=2+8,

2'xy+1

当且仅当％=3-6,〉=-2+6时等号成立.

r2,32

即:——+:最小值为2+G・

xy+1

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三

相等一等号能否取得“，若忽略了某个条件，就会出现错误.

14.m>2m-5

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z=x-），的最小值，利用数形结合即可得到

结论.

【详解】

作出可行域如图，

则要为三角形需满足B。』）在直线=m下方，即1+1＜机，加＞2；

目标函数可视为丁=x-z,则二为斜率为1的直线纵截距的相反数,

该直线截距最大在过点A时，此时Zmm=-1,

直线Q4：y=x+\,与AB：y=2x-l的交点为A（2,3）,

该点也在直线AC：x+y=加上，故加=2+3=5,

故答案为：加＞2：m=5.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属

于基础题.

1

15.-

3

【解析】

根据圆柱0Q的体积为V,以及圆锥的体积公式，计算即得.

【详解】

由题得，V,+v2=hQO＜001+1^^o.a=1v,得乂答=；・

故答案为：—

【点睛】

本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.

16.1.7820

【解析】

根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据

所给参考数据即可得解.

【详解】

棱长为2的正方体ABS—AQCiD中，点分别为棱的中点，以A为圆心，1为半径，分别在

面ABB.A,和面ABCD内作弧MN和NE.

将平面ABCD绕AB旋转至与平面ABgA共面的位置，如下图所示：

1on0

则/勺4。4=彳bX8=144°，所以出⑷=2sin72°；

将平面ABC。绕AO旋转至与平面共面的位置，将ABB/绕A4旋转至与平面AOAA共面的位置，如下

=2sin630；

因为sin63°<sin72°，且由诱导公式可得sin63"=cos27,»

所以最短距离为由Q|=2sin63°=2x0.8910=1.7820,

故答案为：1.7820.

【点睛】

本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应

用，综合性强，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)p2-4pcos^-8psin(9+16=0；(2)G与交点的极坐标为(4,'],和(20,?

【解析】

(1)先把曲线G化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；

(2)联立曲线G和曲线c?的方程解得即可.

【详解】

(1)曲线G的直角坐标方程为：(x—2y+(y—4)2=4,即尤2+y2-4x—8y+16=0.二G的参数方程化为极坐标

方程为p2-4pcos6-8psine+16=0；

⑵联立?2-4〃。。四-丫：冶+16=0可得：,兀或.P[.a与C,交点的极坐标为(4,外和(2夜,;

p=AsinO8=—0\^)\47

I214

【点睛】

本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.

18.(I)见解析(n(—oo,2-1

【解析】

(I)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可；(H)将原问题进行等价转化为

a+Vx«0,+s),Vae[l,3]恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数〃的取值范围即可.

【详解】

解：(I)当匕=0时，r(x)=2a-2=2(ar^(》〉。)，

当aWO时，/'(可<0在(0,+8)上恒成立，函数/(x)在(0,+幻)上单调递减；

当a>0时，由/'(x)<0得：0<x<-由/'(x)>0得：x>—.

a?a

...当aKO时，函数/(x)的单调递减区间是(0,+8),无单调递增区间：

当a>0时，函数的单调递减区间是函数的单调递增区间是+8.

ka)\a；

(II)对任意的ae[l,3]和xe(0,口)，f(x)>2bx-3恒成立等价于：

2ax+bx-l-2lnx>2bx-3,Vxe(0,+oo),Vae[l,3]恒成立.

即a+,一也2勺，Vxe(0,4w),Vae[l,3]恒成立.

令：^(x)=a+--—,«G[1,3],XG(0,+OO),

、11-lnxlnx-2,

则g(x)=_1--^=—^-=0得x=f,

由此可得：g(x)在区间(042]上单调递减，在区间上2,+8)上单调递增，

.•.当x>0时，g(x)向n=g(e2)=a-J,即'a一,

实数〃的取值范围是：(一8,2-5.

【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于

中等题.

19.(1)见解析(2)B

3

【解析】

(1)连接DB与AC交于。，连接OE,证明PD//OE即可得证线面平行；

(2)首先证明24,平面A5CO(只要取BC中点可证平面从而得Q4_LBC,同理得Q4_LC。),

因此点8到直线A/的距离即为点8到平面P4尸的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积.

【详解】

(1)证明：连接DB与AC交于。，连接OE,

因为ABC。是菱形，所以。为。3的中点，

又因为E为P8的中点，

所以PD//OE,

因为PD0平面AEC,OEu平面AEC,

所以PD//平面AEC.

(2)解：取8c中点连接

因为四边形ABC。是菱形，N84D=120°,且PC=PB,

所以5。_1_4知,8。_1_9,又AMnPM=M，

所以8C_L平面"M，又APu平面"M，

所以3C_LB4.

同理可证：DC1PA,又8CnoC=C,

所以24,平面ABC。，

所以平面PAF±平面ABCD,

又平面PAFc平面ABCD=AF,

所以点3到直线AF的距离即为点3到平面抬尸的距离，

过8作直线AE的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB=2,

因为E为心的中点，故点£到平面RLF的最大距离为1,

此时，尸为。。的中点，即Af=6，

所以ZpMu/PA.AbugxZxGu6,

所以Vp-AFE=VE-PAF=g^X1=*.

【点睛】

本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键.

20.(1)见解析(2)FU//平面仍。.见解析

【解析】

(D要证P4_L平面EB。，只需证明BO_LB4,OE1PA,即可求得答案;

(2)连接AE交班:于点Q,连接Q。，根据已知条件求证FG//QO,即可判断FG与平面仍。的位置关系，进

而求得答案.

【详解】

(1)

vAB^BC,。为边AC的中点，

•••BO1AC,

•.•平面Q4C_L平面ABC,平面PAC。平面ABC=AC,80u平面ABC,

30,平面PAC,

B01PA,

••・在AR4c内，0,E为所在边的中点，

OEUPC,

又•.•Q4LPC,OE1PA,

•••9工平面反。.

(2)判断可知，FG〃平面EB0,

证明如下：

连接A尸交3E于点。，连接。。.

•；E、F、。分别为边Q4、PB、AC的中点，

A0.

——=2.

0G

又：。是AR4B的重心，

.强=2=皿

"QF0G9

FG//QO,

•••FGz平面EBO,Q。u平面EBO,

FG//平面石80.

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力

和空间想象能力，属于中档题.

21.(1)证明见解析(2)2叵

5

【解析】

(1)因为正方形48CQ所在平面与梯形A8MN所在平面垂直，平面ABC。0平面ABMN=他，3c_LAB,所以8C,

平面ABMN,

因为肠Vu平面ABMN,3Nu平面ABMN,所以BC_L肱V,BCLBN,

因为BC=2,CN=2百，所以BN=JCN?-BC2=2夜，

因为24=43=2,J9fy,AB2+AN2=BN2,所以AB_LAV,

因为在直角梯形A5MN中，BM=4,所以MN=2及，

所以BN2+MN?=BM"所以BN人MN,因为BCCBN=B,所以平面8CN.

(2)如图，取5M的中点E,则B£=AN,

又AN,所