复变函数第7章

第七章傅里叶变换§1傅里叶变换的概念§2单位脉冲函数及其傅里叶变换§3傅里叶变换的性质所谓积分变换，顾名思义就是通过积分把一个函数变为另一个函数。而由积分的定义，函数在给定区间(有穷或无穷)上积分，只要其收敛，得到的是确定的数值。因此，要想通过积分变换把给定的函数变成一个函数，通常的做法是引入参量，即将函数乘以一个二元函数后再计算积分如果该积分收敛，则能得到一个关于参量的函数，即这里积分域是确定的，而且也是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核，称为像原函数，称为像函数。当积分区域为，核函数为时，所确定的积分变换就是傅里叶变换(Fouriertransform)。当积分区域为，核函数为时，所确定的积分变换就是拉普拉斯变换(Laplacetransform)。7.1.1Fourier级数第一节傅里叶变换的概念设是个以为周期的实值函数，则在区间上的傅里叶级数为定义7.1记为其中傅里叶系数(Fouriercoefficients)

和为问题：（7.2）右端的级数是否收敛到定理7.1

设是以为周期的实值函数，且上满足狄利克雷条件：。在区间定理7.1

设上连续或只有有限个第一（1）在类间断点；上只有有限个极值点，（2）在的连续点处以(7.3)式为系数的级数(7.1)则在收敛至,即的不连续点处以(7.3)式为系数的级数而在(7.1)收敛至公式（7.4）将一个周期函数表示成正弦函数类之和，称为函数的傅里叶级数。除了上述三角函数表示的形式外，傅里叶级数还可以转换成复指数形式，由欧拉公式则（7.4）可以表示成记将上述三式统一表示为则（7.4）表示成复指数形式为按照工程数学中的习惯，在第7、8两章中用字母表示虚数单位。假设非周期函数在区间内连续、可积，且绝对可积，考虑区间，则由指数表示，在此区间上有其中7.1.2傅里叶积分公式注意到（7.5）式右端定义一个周期为的函数，在区间内等于，而在端点处的值可能等于在这两点的平均值。当越大时，与

相等的范围也越大,即有这样我们得到函数在整个实数集合上的一个三角函数类表示，即对任意的有下面讨论当时，（7.7）右边的极限形式。记，有而所对应的点均匀地分布在实数轴上,因此（7.7）变为这是一个和式的极限，由积分的定义，有这样我们就形式地得到了定义在上的非周期函数的傅里叶积分公式。（7.8）的右端称为的傅里叶积分。

注：从周期函数的傅里叶级数展开式出发推导非周期函数的展开式的过程是不严格的，（7.8）是否收敛或是否收敛于？

定理7.2

若在上满足下列条件：在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；在任何有限区间上只有有限个极值点；（3）在区间上绝对可积，即积分收敛。则在连续的点（7.8）式成立，在不连续的点，（7.8）式中的改为它还有等价形式其中若是上的偶函数，则若是上的奇函数，则

例1

设试用傅里叶积分公式表示，并由此证明

解由于是偶函数，则所以的傅里叶积分公式为由定理7.2，得因此，当时即因此7.1.3傅里叶变换的概念在傅里叶积分公式（7.8）中，令则定义7.1

（7.13）式称为的傅里叶变换，记为；（7.14）式称为函数的傅里叶逆变换，记为称为的像函数，称为的像原函数。若是上的偶函数，得的余弦傅里叶变换和的余弦逆变换若是上的奇函数，得的正弦傅里叶变换和的正弦逆变换例2

求矩形脉冲函数的傅里叶变换解

由(7-13)式，可得的傅里叶变换

例3

求指数衰减函数函数的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中。解根据公式（7.13），有这就是指数衰减函数的傅里叶变换。下面求傅里叶逆变换，由公式（7.14），有例4

求解积分方程式的正弦傅里叶变换，从而可以看作是的正弦傅里叶逆变换。所以可看作是解令则作业:P125.T1;T2；T5.第二节单位脉冲函数及傅里叶变换单位脉冲函数是一个广义函数，没有通常意义下的函数值。因此不能用通常意义下“值的对应关系”来定义。但在形式上，可以将单位脉冲函数（又称为狄拉克函数或函数）看成是如图所示的矩形脉冲函数to当时的极限，

即因为，即矩形的面积为，称为脉冲的强度。所以说明式(7-15)和(7-16)所表示的极限不是我们的物理意义，强度为1的理想单位脉冲。

在微积分中所学习过的极限，是一个宽为0，振幅为在电流强度为零的电路中,试确定某一时刻(如t=0)进入一单位电量的脉冲,电路上的电流i(t).则例1解以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则所以，当

时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得另外，由于电路中的总电量为1个单位的电量，所以在忽略的物理意义后，我们有定义7.3称满足如下两个条件的函数为单位脉冲函数

(1)

(2)。。

如果脉冲发生在时刻，仿照定义7.3可以定义性质1

对任意具有连续导数的函数，有一般地，有单位脉冲函数的性质性质1表明单位脉冲函数具有筛选性，即把连续的值筛选出来。

函数在

性质2

对任意有连续导数的函数有对任意有连续阶导数的函数有

性质3

单位脉冲函数是偶函数性质4

设为单位阶跃函数，即则且由性质1，容易导出函数的傅里叶变换，,7.2.2单位脉冲函数的傅里叶变换根据傅里叶逆变换公式，有例2

证明：单位阶跃函数的傅里叶变换为证明单位阶跃函数不满足定理7.2的条件，因为函数在上的积分不是绝对收敛的，故讨论该函数的傅里叶变换，是指广义的傅里叶变换。我们证明函数的傅里叶逆变换为函数，就证明了我们的问题。由傅里叶逆变换公式，有已知积分因此，当时，有当时，有故有因此，当时，有即这表明函数的傅里叶逆变换为函数，命题得证。例3

求函数的傅里叶变换

解由傅里叶变换公式和式(7.17),有例4

求正弦函数的傅里叶变换解根据（7.13）和例3，有作业:P129.T2;T3第三节傅里叶变换的性质本节介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足定理7.1中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.并且假定所涉及的运算都满足次序可交换的条件。函数的傅里叶变换，记为即设，则（线性性质）对任意常数，有（位移性质）设为实常数，则性质1性质2证明由傅里叶变换公式，有例1

求矩形脉冲函数的傅里叶变换。

解设由傅里叶变换公式，有又由于，所以由位移性质得例2

设，求与解因为所以由线性性质和位移性质，有

（相似性质）设，为非零实常数，则有性质3例3

设，求解

利用位移性质，得再对利用相似性质，得因此

（微分性质）如果在上的至多只有有限个可去间断点的连续函数，且当时，则有性质4证明

由傅里叶变换公式，有推论7.1如果在上连续或只有有限个可去间断点，且当时，那么性质5

（像函数的导数）设，则有证明因为即

所以结合傅里叶逆变换的线性性质，得

推论7.2设，则或性质6

（积分性质）设若，则性质4-6及其推论在求解线性微分方程、积分方程和微分积分方程时有较大的作用，下面举例说明。例4

求常系数非齐次线性微分方程的解。解设，对方程两边施行傅里叶变换，利用傅里叶变换的线性性质和微分性质，因此查傅里叶变换简表知例5

求解微分、积分方程解设，对方程两边施行傅里叶变换，利用傅里叶变换的线性性质和微、积分性质因此取傅里叶逆变换，得其中分别是的共轭复数

性质7.（乘积定理）设，则

推论7.3

设，则有上式,称为帕塞瓦尔(Parseval)等式

证明在性质7中，因为为实函数，故因此。例6

求

解

设

，查傅里叶变换简表知

由帕塞瓦尔等式得卷积与卷积定理定义7.4

记作，即收敛，则它定义了一个以为自设函数是定义在上的实值函数，对任意实数变量的函数，称此函数为与的卷积，若无穷积分卷积满足如下运算律和不等式：交换律：结合律：

分配律：

绝对值不等式：

例7

设函数，

求.

解

因为所以的区域为如图由卷积的定义，有

当

时，

从而

当时,即定理7.3

卷积定理

设

，，

则

证明

令

由卷积的定义有

根据傅里叶变换的定义，即得(7-18)。

类似可证(7-19)。

由(7-18)知，

例8

求函数

与

的卷积，其中

解

查傅里叶变换简表知令

则

由卷积定理，可得解由单位阶跃函数的定义和第7.1节例4知，例9

求函数

的傅里叶变换。

再由第7.2节例5知，利用卷积定理和单位脉冲函数的性质，可得7.3.3傅里叶变换在频谱理论中的应用

由7.1.1节的讨论知，一个周期为

的信号

可以分解成若干个简谐波的和，它的第

次谐波函数为振幅为频率为对上述信号

当

在

中取值时，

上述各式描述了各次谐波的振幅随频率变化的

分布情况，该分布情况在直角坐标系下的图像就是频谱图。所谓频谱图，通常就是指振幅和频率的关系图，称为

的振幅频谱，简称频谱。

由于