复变函数第三章第三节

一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,求这个值。第三节柯西积分公式及其推论二、柯西积分公式定理证此式称为柯西积分公式证根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕](1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)解析函数的平均值定理：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.则有

柯西积分公式的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.三、典型例题例1解由柯西积分公式例2解(1)由柯西积分公式由柯西积分公式这种解法对吗？为什么？例3解由柯西积分公式例4解由闭路复合定理,得例5解根据柯西积分公式知,比较两式得例6解被积函数是多值函数，支点为f(z)的原函数仍是多值函数，在代入上、下限时需要考虑对应的单值分支。01其中积分方向应是顺时针方向.柯西积分公式对无界区域也是成立的，五、解析函数的无穷可微性问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?定理证根据导数的定义,从柯西积分公式得再利用以上方法求极限从而证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.

例1解由复合闭路定理例2解例3解由柯西积分定理得由柯西积分公式得例4解六、柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理定理1

(柯西不等式)设在区域D内解析，为D内一点，区域包含于D，则有其中证明：在上应用高阶导数公式，则有由柯西不等式，容易得到刘维尔定理。刘维尔定理:z平面上解析且有界的函数必为常数．由刘维尔定理，可以证得到代数学基本定理。代数学基本定理

在z平面上，n次多项式

（）至少有一个零点．证(反证法)假设在z平面上无零点，由于在平面上解析，从而在z平面上也是解析的．其次，由于所以，于是，使得，。又因为在上连续，故，使得，从而在z平面上有，即在z平面上解析且有界，因此根据刘维尔定理，为常数，故亦为常数，这与已知为多项式矛盾，定理得证．七、摩勒拉(Morera)定理柯西积分定理说明，只要在单连通区域D内解析，则对D内任一围线均有。我们现在证明其逆也是正确的．摩勒拉定理设函数在单连通区域D内连续，且对D内任一围线C，有，则在D内解析．证依题意可知可由导数的定义证明因为解析函数的导数仍为解析函数,例6证不等式即证.例7证积分值与R无关，故有f(a)=f(b).由a,b的任意性得f(z)为常数.例8证任取一点z=a,取围道C为|z|=R>|a|,逆时针方向,由柯西积分公式有即有由a的任意性得f(z)为常数.