复习-工程数学

122.4拉普拉斯变换的应用3主要内容1、线性微分方程2、常系数线性微分方程组4求解线性微分方程解线性微分方程和微分方程组的基本思想：微分方程＋初始条件L变换代数方程像解原解51、常系数线性微分方程根据微分性质：因此求解时注意f(0)678稳定振荡幅度不变幅度指数衰减9m其他同上10112、解常系数线性微分方程组通过拉普拉斯变换，将微分方程组转化为代数方程组求解最后通过拉普拉斯逆变换求解出系数1213141516总复习一、复变函数二、积分变换17一、复变函数18主要内容1、复数2、复变函数3、导数4、复函数的积分5、复函数的级数6、留数7、保形映照191、复数两个复数相等的条件：当且仅当实部与虚部分别相等代数运算：满足交换律、结合律、分配率共轭复数

201、复数复数的几何表示复数z=x+iy可以用横坐标为x，纵坐标为y的点来表示复数z=x+iy可以用模值和幅角表示复数z的三角表达式复数z的指数表达式211复数复数的乘幂与方根乘幂方根数学归纳法22平面点集单连通区域设D为平面上任一区域 若在D内任作一条简单闭曲线，而曲线所围部分总属于D， 则称D为单连通区域多连通区域不是单连通的区域称为多连通区域或复连通区域232、复变函数复平面映照z平面

平面复变函数表示了z平面点集D到w平面上的点集G之间的一种变换，即映照24初等函数指数函数对数函数幂函数三角函数单值函数——Lnz的主值25初等函数反三角函数26初等函数双曲与反双曲函数27初等函数反双曲函数283、导数复变函数的极限极限的e-d

定义极限的运算：（1）加减乘除的极限等于极限的加减乘除（2）注意：极限存在要求与z->z0的方式无关，而意味着从四面八方趋于z0

，这与实函数情形时x->x0只有左右两个方向是不同的29复变函数的连续性连续的判别准则连续的性质（1）连续函数的加减乘除仍连续（2）连续函数的复合仍然连续（3）连续函数必有界，有界函数不一定连续30复变函数的导数定义：导数存在的充分必要条件：导数的运算31微分微分32解析解析的概念：在某点处解析，是指在该点及其邻域内可导；在某区域内可导与在某区域内解析完全等价解析的判别：（1）实部与虚部可微（导数存在且连续）（2）满足C－R方程33调和函数调和的概念：（1）具有二阶偏导数（2）满足拉普拉斯方程：共轭调和的概念：（1）实部和虚部是调和函数（2）一阶导数满足C－R方程调和与解析的关系：解析的充分必要条件是虚部是实部的共轭调和函数或者说，负实部是虚部的共轭调和函数344、积分定积分的计算方法：极限和：实部虚部：参数方程：35柯西积分定理柯西积分定理若函数f(z)在单连通域D内处处解析则函数f(z)沿D内的任何一条封闭曲线C的积分为零：36复合闭路定理构成复合闭路37柯西积分公式Cauchy积分公式38高阶导数求积分公式

不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.高阶导数公式的作用:39定积分的计算Cauchy积分定理原函数的概念复合闭路定理Cauchy积分公式高阶导数公式积分公式及计算405、级数复数项级数的判敛（1）首先判别（2）基本判别方法：（3）实部和虚部：（4）绝对收敛：复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题41函数项级数（1）幂级数部分和敛散性判别：收敛圆和收敛半径级数必绝对收敛,若级数发散,那末对满足的级数必发散.的满足如果级数在收敛,那末对42（2）Taylor级数常见函数的泰勒展开式4344（3）罗朗级数45罗朗级数展开的方法（1）直接法（2）间接法

根据解析函数Laurent级数展开式的唯一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.466、留数孤立奇点孤立奇点的定义：可去奇点：级数没有负幂项

极点：级数有有限个负幂项

为常数47本性奇点展开式有无穷多个负幂项零点零点的判别48无穷远点对应于z=0的特殊点49留数留数定义50留数计算留数计算可去奇点：本性奇点：极点：51留数定理留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.52处留数的计算用1/t替换，更好求时级数展开较方便时求孤立奇点的留数较方便时53用留数计算积分三角有理式的积分2.积分区域的转化:1.被积函数的转化:当在变化时,正方向绕行一周.z沿单位圆周54有理函数的无穷积分若有理函数f(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点，计算步骤：2.积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使f(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,f(z)=f(x))55有理函数与三角函数乘积的积分2.积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使f(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,f(z)=f(x))f(x)f(z)cos(ax)sin(ax)eiaz567、保形映照导数的几何意义保角性映射具有保持曲线间夹角的大小与方向不变的性质伸缩率的不变性：即通过z0的任何一条曲线的伸缩率 均为|f(z0)|而与其形状和方向无关57保形映照定义若函数w=f(z)在D内处处有f’(z)0,那么映射w=f(z)是D内的保形映照判别：58分式线性映照分式线性函数由四种函数复合而成：平移旋转放大关于实轴的对称映照关于圆|z|=1的对称映照59分式线性函数的确定（1）对称点（2）圆对于扩充z平面上的点z1,z2,z3和扩充w平面上的点w1,w2,w3存在唯一的分式线性函数，把点z1,z2,z3映照成点w1,w2,w3扩充z平面上的任何一个圆，可以用一个分式线性函数映照成扩充w平面上任何一个圆60典型分式线性函数单位圆单位圆61指数函数映照特别的：62幂函数确定的映照幂函数映照的特点把以原点为顶点的角形域映照成以原点为顶点的角形域但张角变成了原来的n倍就采用幂函数带形区域映照到角形区域(可有割痕），用指数函数角形区域（可有割痕）映照到带形区域，用指数函数角形区域映照到带形区域，用对数函数圆映照到角形区域角形区域映照到圆分式线性函数求解角形区域到角形区域的映照，63解析函数导数的几何意义模值幅角保形映照对应角相等对应边成比例分式线映照指数函数幂函数上半平面映照为上半平面上半平面映照为单位圆单位圆映照为单位圆水平带状区域映射为角形区域角形区域映射为角形区域(顶点在原点，张角为n倍）64第二篇积分变换65主要内容1、傅立叶变换2、拉普拉斯变换661、傅立叶变换傅立叶级数周期函数的频谱序列该式从物理上可看作是频率为的振动的叠加67频谱序列的幅值由系数确定：68非周期函数的傅立叶变换F(w)被称为频谱函数f(x)是角频率为w的振动的叠加69卷积定义卷积运算的性质：交换律：分配律：70傅立叶变换性质一览线性af(t)+bg(t)aF(w)+bG(w)位移相似微分积分卷积F1(w)F2(w)71d函数的定义工程定义：工程定义：

d函数

d（t-t0)函数72d函数的定义数学定义：

d函数

d（t-t0)函数73d函数的性质（1）筛选性质（2）d函数为偶函数（3）相似性（4）d函数是单位阶跃函数的导数74d函数傅立叶变换

d函数的傅立叶变换常