云南省2022年中考数学总复习训练-体验集训第十九讲解直角三角形

1．(2021·宜昌中考)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为(B)A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(4,3)D．eq\f(2\r(2),3)【解析】如图．方法一：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，∴cos∠ABC＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(3,3\r(2))＝eq\f(\r(2),2).方法二：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).2．(2021·金华中考)如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(A)A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．eq\f(4,cosα)米【解析】过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(DC,2)，∴DC＝2cosα(米)，∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα(米).3．(2021·宜宾中考)如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是(A)A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(\r(6),3)D．eq\f(\r(6),4)【解析】如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴∠ODB＝90°，BD＝CD＝6.∴根据勾股定理得：AD＝eq\r(100－36)＝8.∵BE平分∠ABC，∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10－6＝4.设OD＝OF＝x，则AO＝8－x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：(8－x)2＝x2＋42.∴x＝3.∴OD＝3.在Rt△OBD中，tan∠OBD＝eq\f(OD,BD)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).4．(2021·武汉中考)如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是20m(eq\r(3)≈1.732，结果保留整数).【解析】过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，根据题意得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，AB＝3×10＝30(m)，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝eq\f(1,2)AB＝15m，∵tan∠ABH＝eq\f(AH,BH)，∴BH＝eq\f(15,tan30°)＝eq\f(15,\f(\r(3),3))＝15eq\r(3)(m)，∵∠ACH＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，∴CH＝AH＝15m，∴BC＝BH＋CH＝(15eq\r(3)＋15)m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(15\r(3)＋15,2)≈20(m).5．(2021·自贡中考)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1，参考数据：tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，eq\r(3)≈1.73)【解析】由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，∴tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(24,AD)≈1.33，∴AD≈eq\f(24,1.33)≈18.05(米).∵tan∠CAD＝tan30°＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(CD,18.05)＝eq\f(\r(3),3)，∴CD＝18.05×eq\f(\r(3),3)≈10.4(米).故办公楼的高度约为10.4米．6．(2021·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.(1)若AE＝1，求△ABD的周长；(2)若AD＝eq\f(1,3)BD，求tan∠ABC的值．【解析】(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1，故△ABD的周长为1.(2)设AD＝x，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝eq\r(BD2－AD2)＝eq\r(（3x）2－x2)＝2eq\r(2)x.∴tan∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(4x,2\r(2)x)＝eq\r(2).7．(2021·临沂中考)如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童(结果保留整数)?(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)【解析】∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝eq\r(OC2－CM2)＝4m，∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴eq\f(CM,BD)＝eq\f(OM,OD)，即eq\f(3,BD)＝eq\f(4,3)，∴BD＝eq\f(9,4)＝2.25(m)，∴tan∠AOD＝tan70°＝eq\f(AD,DO)，即eq\f(AB＋BD,DO)＝eq\f(AB＋2.25,3)＝2.75，解得：AB≈6(m).答：汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．8．(2021·岳阳中考)某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1∶0.7(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°.(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度．(结果精确到0.1m)(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)【解析】(1)在Rt△ABC中，BC＝80，∵AB的坡度i＝1∶0.7，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,0.7)，∴eq\f(80,AC)＝eq\f(1,0.7)，∴AC＝56，在Rt△BCE中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝90°－∠BEC＝90°－45°＝45°，∴∠BEC＝∠CBE，∴CE＝BC＝80，∴AE＝CE－AC＝80－56＝24(m)，答：山脚A到河岸E的距离为24m；(2)在Rt△BCF中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝eq\f(BC,CF)，∴eq\f(80,CF)≈0.6，∴CF≈133.33，∴EF＝CF－CE＝133.33－80＝53.33≈53.3(m)，答：河宽EF的长度约53.3m．【素养提升题】(2020·衡阳中考)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②.使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B，O，C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°.(1)求OC的长；(2)如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．(结果保留根号)【解析】(1)如题干图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°，∴OC＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(1,2)×24＝12(cm).(2)如图，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′