中考数学二轮复习对称性质在折叠问题中的应用专题综合训练

对称性质在折叠问题中的应用1.如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周长为________．第1题图第2题图2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝4cm，BC＝5cm，则EF的长为________．3.如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，BD与x轴交于点E，则点D的坐标为________．第3题图第4题图4.在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝4，现将纸片折叠压平，使点C与点A重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于________．5.如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长为________．第5题图6.如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1.将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B′处．B′P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF的长为________．第6题图参考答案1.10【解析】由折叠可得，BF＝FG，AE＝EH，AB＝HG，∴阴影部分的周长＝EH＋HG＋GF＋FC＋CD＋DE＝AE＋AB＋BF＋FC＋CD＋DE＝长方形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2×5＝10.2.eq\f(5,2)cm【解析】由折叠的性质可知：AF＝AD＝BC＝5cm，在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF＝eq\r(AF2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3cm.易得△ABF∽△FCE，∴eq\f(BF,CE)＝eq\f(AF,FE)，设EF＝DE＝xcm，则CE＝4－xcm，∴eq\f(3,4－x)＝eq\f(5,x)，解得x＝eq\f(5,2).3.(eq\f(16,5)，－eq\f(12,5))【解析】如解图，过点D作DF⊥OE于点F，由折叠的性质得，∠CBO＝∠DBO，∵四边形ABCO是矩形，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠BOA，∴∠DBO＝∠BOA，∴BE＝OE，在△ODE和△BAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ODE＝∠BAE＝90°,∠OED＝∠BEA,OE＝BE))，∴△ODE≌△BAE(AAS)，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，即OE＝5，DE＝3，∵S△OED＝eq\f(1,2)OD·DE＝eq\f(1,2)OE·DF，∴DF＝eq\f(12,5)，在Rt△ODF中，OF＝eq\r(42－（\f(12,5)）2)＝eq\f(16,5)，则D(eq\f(16,5)，－eq\f(12,5))．第3题解图4.eq\f(75,16)【解析】设AE＝x，由折叠可知，EC＝AE＝x，BE＝4－x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即32＋(4－x)2＝x2，解得x＝eq\f(25,8)，由折叠可知∠AEF＝∠CEF，∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝eq\f(25,8)，∴S△AEF＝eq\f(1,2)AF·AB＝eq\f(1,2)×eq\f(25,8)×3＝eq\f(75,16).5.eq\f(6,5)eq\r(5)【解析】如解图，连接DF交AE于点G，由折叠可得，DE＝EF，又∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∠ECF＝∠EFC，又∵∠EDF＋∠EFD＋∠EFC＋∠ECF＝180°，∴∠EFD＋∠EFC＝90°，即∠DFC＝90°，由折叠可得AE⊥DF，∴∠AGD＝∠DFC＝90°，又∵ED＝3，AD＝6，∴在Rt△ADE中，AE＝3eq\r(5)，又∵S△ADE＝eq\f(1,2)×AD×DE＝eq\f(1,2)×AE×DG，∴DG＝eq\f(AD×DE,AE)＝eq\f(6,5)eq\r(5)，∵∠DAG＋∠ADG＝90°，∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠DAG＝∠CDF，又∵AD＝DC，∠AGD＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△DCF(AAS)，∴CF＝DG＝eq\f(6,5)eq\r(5).第5题解图6.eq\f(35,12)【解析】如解图，过点P作PG⊥CD于点G，交CB′于点H，则四边形ADGP和四边形PBCG是矩形，∴AD＝PG＝BC＝8，DG＝AP＝1，∴CG＝PB＝4，∵将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B′处，∴∠BCP＝∠PCH，∵PG∥BC，∴∠HPC＝∠PCB，∴∠HPC＝∠PCH，∴HP＝CH，设HG＝x，则CH＝PH＝8－x，在Rt△HCG中，HG2＋CG2＝CH2，∴x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3，∴CH＝PH＝5，∵HG∥DF，∴△CHG∽△CFD，∴eq\f(CH,CF)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(HG,FD)，∴eq\f(5,CF)＝eq\f(4,5)＝eq\f(3,FD)，∴CF＝eq\f(25,4)，DF＝eq\f(15,4)，∴B′F＝B′C－CF＝eq\f(7,4)，∵∠B′＝∠D＝90°