2013年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析（解析版）

PAGE2013年全国高中数学联赛一试试题参考答案一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）设集合，集合.则集合中所有元素的和为.【答案】-5【解析】易知，当时，，有；而当时，，有.因此，根据的定义可知.所以，集合中所有元素的和为-5.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物线的焦点..【答案】2.在中，已知，,则的值为.【答案】11.【解析】由于，所以，故.已知正三棱锥底面边长为1，高为，则其内切球半径为.【答案】【解析】如图，设球心在面与面内的射影分别为和，中点为，内切球半径为，则共线，共线，，且,，,,于是有，解得.设为实数，函数满足：对任意，有.则的最大值为.【答案】.从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.【答案】【解析】设取自1,2，…，20，若互不相邻，则，由此知从1,2，…，20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2，…，16中取5个不同的数的选法相同，即种.所以，从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.若实数满足，则的取值范围是.【答案】.【解析】令，，此时，且条件中等式化为，从而满足方程 .如图所示，已知数列共有9项，其中，且对每个，均有则这样的数列的个数为.【答案】491【解析】令，则对每个符合条件的数列有，且. eq\o\ac(○,1)反之，由符合条件eq\o\ac(○,1)的8项数列可唯一确定一个符合题设条件的9项数列.记符合条件eq\o\ac(○,1)的数列的个数为.显然中有偶数个，即个；继而有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0,1,2，所以.因此，根据对应原理，符合条件的数列的个数为491.二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.（本题满分16分）给定正数数列满足，，这里.证明：存在常数,使得，.【证明】当时，等价于. eq\o\ac(○,1)对常数，用数学归纳法证明：，.eq\o\ac(○,2)时结论显然成立.又.对，假设，，则由eq\o\ac(○,1)式知，所以，由数学归纳法知，eq\o\ac(○,2)式成立.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不同于和的任意一点.若平面中两个点满足，,,，试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明.故，于是. 根据,，同理可得. 因此，由于，故（其中等号成立的充分必要条件是，即点为）.11.（本题满分20分）求所有的正实数对，使得函数满足：对任意实数，有.【解析】已知条件可转化为：对任意实数，有. eq\o\ac(○,1)先寻找所满足的必要条件.在eq\o\ac(○,1)式中令，得，即对任意实数，有.由于，故可取到任意大的正值，因此必有，即.在eq\o\ac(○,1)式中再令，得，即对任意实数，有. eq\o\ac(○,2)将eq\o\ac(○,2)的左边记为，显然（否则，由可知，此时，其中，故可取到负值，矛盾），于是对任意取非负值.事实上，在eq\o\ac(○,3)成立时，有，，，再结合，可得综上所述，所求的正实数对全体为.2013年全国高中数学联赛二试试题参考答案一、（本题满分40分）如图，是圆的一条弦，为弧内一点，E、F为线段上两点，满足.连接并延长，与圆分别相交于点.求证：【证明】连接AD，BC，CF，DE.由于AE=EF=FB，从而. eq\o\ac(○,1) 同样. eq\o\ac(○,2) eq\o\ac(○,4)故由eq\o\ac(○,3)，eq\o\ac(○,4)得,即. 二、（本题满分40分）给定正整数.数列定义如下：，对整数，记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.【证明】对正整数，有， 所以. 设，其中是非负整数，是奇数.取，其中为满足的任意正整数，此时，注意到是奇数，故，所以，是完全平方数.由于有无穷多个，故数列中有无穷多项是完全平方数.三、（本题满分50分）一次考试共有道试题，个学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为，求得最大可能值.【解析】对任意的，设第题没有答对者有人，则第题答对者有人，由得分规则知，这个人在第题均得到分.设个学生得得分之和为S，则有.因为每一个人在第道题上至多得分，故. 由于，故有.所以综上所述，的最大值为. 四、（本题满分50分）设为大于1的整数，.证明：存在个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被整除.【证明】先考虑为2的幂的情形.设，则.取3个及个1，显然这些数均不被整除.将这个数任意分成两组，则总有一组中含2个，它们的和为，被整除.现在设不是2的幂，取个数为，因为不是2的幂，故上述个数均不被整除.若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组.现归纳假设均在第一组，而均在第二组，这里，由于，被整除，故在第一组，从而在第二组.故由数学归纳法可知，在第一组，在第