图灵不稳定性及斑图形成

Turing不稳定性及斑图形成MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h摘要:在这篇文中，我们借助于浮游植物-浮游动物的数学模型来研究Turing不稳定是如何产生的.首先介绍了Turing不稳定产生的内在机理，给出了详细的过程，并且最终得出了产生Turing不稳定的参数空间.然后在结合含有扩散项的浮游植物、浮游动物的捕食模型来研究该模型是否能够产生Turing不稳定现象.关键词：Turing不稳定，捕食模型1.Turing不稳定性1952年Turing在文中《Thechemicalbasisofmorphogenesis》一文中提出：如果参加相互反响的化学物质自身不存在扩散作用，经过一段时间反响后，它们会到达一定的平衡状态，即这些化学物质的浓度将会变得均匀.但如果这些化学物质具有扩散作用的话，那么在某种条件下，这种均匀的平衡态将会被打破，变成不均匀的平衡态，这边是Turing不稳定现象.换句话说在同一个正常数平衡解处的常微风模型是稳定的，但对于参加扩散作用的偏微分方程模型却是不稳定的.本文借助于数学模型来说明发生Turing不稳定性的条件.海洋中存在着多种浮游植物和浮游动物，它们的关系非常的复杂，这里我们仅分别考虑一种浮游植物、一种浮游动物，并且这种浮游动物主要以这种浮游植物为食.浮游植物会产生毒素，可以杀死一定量的浮游动物，进而来保护自己免受捕食.并且还考虑两种浮游生物在二维平面上的空间分布，从而引入其含有Laplacian算子的扩散项。Spatiotemporaldynamicstoxic-phytoplankton-zooplanktonmodel：〔1〕这里的参数均为正常数，其中分别是能够产生毒素的浮游植物、浮游动物在时刻处的密度，并且浮游植物产生的毒素可以杀死浮游动物且满足第二类功能性反响函数.浮游植物服从Logistic的增长方式，为其内禀增长率，为其环境容纳量.浮游动物捕食浮游植物满足第二类功能性反响函数，为捕食率，为半饱和常数.为浮游动物捕食浮游植物转化为自身增长的效率，为浮游动物的死亡率，为浮游植物产生毒素杀死浮游动物的概率，显然要满足.对于模型〔1〕的各个平衡点处的稳定性在文献[1]中已经研究，这里不再详细介绍，仅仅在下面简单分析其正平衡态存在、稳定的条件.下面我们在模型〔1〕的根底上，考虑其扩散项，从而得到如下的模型.Spatiotemporaldynamicsinareaction-diffusiontoxic-phytoplankton-zooplanktonmodel：〔2〕且满足非零的初始条件以及零边界条件其中分别是模型〔1〕在方向上的一段，向量是边界上的单位外法向量，零边界条件也就说明了这个系统没有外部的输入，此时可以认为模型是独立的.分别表示浮游植物和浮游动物的扩散系数.为二维空间上拉布拉斯算子.本文研究的是Turing不稳定性，所以只需关心正平衡态，从模型〔1〕可以计算出本系统存在唯一的一个正平衡态为其中：并且满足：.模型〔1〕在正平衡点处的线性化模型为：其中，矩阵为那么由二维系统的Routh-Hurwitz判据[1]可得正平衡点稳定的冲要条件为〔3〕〔4〕联合〔3〕、〔4〕式可解出参数范围为：〔5〕接下來研究Turing不稳定性，即是由于扩散系统引起的不稳定性.因此，我们总假设条件〔3〕、〔4〕成立，也即式〔5〕式是恒成立的.下面考虑含有扩散的模型〔2〕，做与上述相同的平移变换,并把新的变量仍记为，这里的表示模型〔2〕在平衡点附近的扰动.可得：〔6〕又因为模型〔6〕的任意解都可以展开成下述的Fourier级数：〔7〕这里向量，且.向量，且，称为波数.把〔7〕式带入〔6〕式可得：〔8〕其中，这里是因为模型〔8〕是一个常系数微分方程组，其解的形式为，其中为常数，是由初始条件所确定.是其系数矩阵的特征值〔9〕求得此系数矩阵的行列式、迹分别为：〔10〕〔11〕为了研究是由于扩散发生的不稳定，系数矩阵的特征值至少有一个是具有正实部，也就说条件至少有一个不成立.有假设条件〔3〕、〔4〕恒成立，可知恒成立，所以得到恒成立，所以要使Turing不稳定发生，存在一个参数空间使得成立.令〔12〕这是一个关于未知数的一元二次函数，由条件〔3〕知成立.显然，在成立的必要条件是〔13〕在条件〔13〕成立的前提下，要使成立，即要求有两个实根，那么必须满足系数判别式：〔14〕在满足条件〔13〕，〔14〕，函数〔12〕将会存在两个正的实根，当满足〔15〕时，有，即模型〔8〕的系数矩阵的特征值至少有一个是具有正实部，那么模型〔2〕的平衡点是不稳定的，此时平衡点的不稳定性是由于扩散项算子的特征值也成波数的所引起的，所以称〔15〕式为Turing不稳定空间.得到Turing不稳定的参数空间后，可以选取输入参数空间的各个参数，使得模型在这些参数下发生Turing不稳定，进而会形成各种斑图，对于具体形成斑图，这里不做介绍.综上，可得发生Turing不稳定性的充分必要条件是：式子〔3〕、〔4〕、〔13〕、〔14〕，也即：对于模型数学模型〔2〕，根据上面的Truing不稳定的充要条件来求其Truing不稳定的参数空间.前面已经得到求解其雅克比矩阵，其中，由〔4〕式可知，再由〔13〕式可得，而这里的，从而可得对于模型〔2〕来说，不满足上述的条件，所以并不会发生Turing不稳定现象.通过〔4〕、〔13〕式可知，必须是异号的，并且负值的绝对值要大于正值的绝对值，在模型〔2〕中，，所以其不会发生Turing不稳定现象.2.总结这是最近看到的一篇关于反响扩散微分方程的文章，原文中也是简单介绍个各个理论，我有利用生物数学课堂上学过的知识，进行整理。原始文献中简单介绍了模型〔1〕的各个平衡点的稳定性，然后有研究了模型〔2〕的正平衡点处的稳定性，提供了利用第二格林公式处理Laplacian算子的方法，使得模型〔2〕在Laplacian算子的特征值所对应的特征向量所生成不变子空间上转化为我们熟悉的一般微分方程，通过构造Liapunov函数的方法证明模型〔2〕的正平衡态的稳定性。但在模型〔2〕是不会发生Turing不稳定现象的，文献中的结论不严谨，也就是说这个模型是不会产生斑图的。参考文献[1].生物数学原理[M].肖燕妮,周义仓,唐三一.西安交通大学出版社[2].常微分方程定性与稳定性理论,马知恩,周义仓,李承治.科学出版社[2].FengRao,Spatiotemporaldynamicsinareaction-diffusiontoxic-phytoplankton-zooplanktonmodal,2023J.