2022届新疆维吾尔自治区高三第一诊断性测试数学（理）试题（问卷）解析

2022届新疆维吾尔自治区高三第一诊断性测试数学（理）试题（问

卷）

一、单选题

1.已知集合用={-1,0,1,2},N={-1,1},则下列结论正确的是（）

A.McNB.McN=（-l）

C.MDN=MD.如N=（O,l,2）

答案：C

直接利用集合的关系、集合的交并补集的定义求解.

解：解：由题得NuM,所以选项A错误；

〃nN={-l,l},所以选项B错误；

MDN=M,所以选项C正确；

&N={0,2},所以选项D错误.

故选：C

2.已知复数z=2+i,则|z|=（）

2-1

A.MB.2&C.亚D.2

答案：A

先用复数运算公式化简z=?\+i=-l+3i,进而求解|z|.

解：.••2=六+1=m耦+1=-1+3".•.|z|=J㈠『+32=厢.

故选：A

3.下列结论镇送的是（）

A.若"P八4”为真命题，则p,q均为真命题.

B.〃”是“济>秘2”的充分不必要条件.

C.命题“若x=4,则/-2》-8=0”的否命题是“若户4,则/一2X-8H0”.

D.命题“VxeR,x?—x>0”的否命题是“3x（）eR,x（；—x0<0,,.

答案：B

根据且命题的真值表判断选项A；按充分不必要条件的要求判断选项B；按否命题定义判断选项C、

D即可解决.

解：选项A:若“P八4”为真命题，则p,q均为真命题，判断正确；

选项B:当c=0时。/=历2.此时由“”>〃，，不能推出，，以不能成为充分条件，判断错误；

选项C:命题“若x=4,则丁-2,8=0”的否命题是“若x#4,则f-2x-8r0”.判断正确；

选项D:命题“VxeR,*2-》>0''的否命题是‘‘出()€/?,片-/40”判断正确.

故选：B

4.若函数/(x)的导函数是奇函数，则/(x)的解析式可以是()

A./(x)=x+sinxB./(x)=x3+x2

C./(x)=l+cosxD./(x)=x2+lnx

答案：C

分别对四个选项中的函数求导，再利用函数奇偶性的定义判断即可得正确选项.

解：对于A：由/(x)=x+sinx,得广(x)=i+c03x定义域为R关于原点对称，

r(-x)=l+cosx=r(x),所以/'(x)=l+cosx是偶函数，故选项A不正确；

对于B：由〃力=1+/，得/'(引=3/+2》，定义域为R关于原点对称，f'(-x)=3x2-2x,

r(-i)*r(i),r(-i)x-r(i),所以/。)=3/+2*既不是奇函数也不是偶函数，故选项B不

正确；

对于C：由/(x)=l+cosx,得/'(x)=—sinx是奇函数，故选项C正确；

对于D：由/(力=/+1.，得/，(x)=2x+J,定义域为｛4。0｝不关于原点对称，/'(x)=2x+J

既不是奇函数也不是偶函数，故选项D不正确；

故选：C.

5.如图所示，在正方体A88-ABCQ中，0是底面正方形A8CO的中心，M,N分别是棱。R和

A用的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案：D

取的中点Q,连接。。，AQ，由异面直线NO与AM所成角即为AQ与AM所成角求解.

解：如图所示：

取AD的中点。1,连接。。_AG，易知A«〃NO,

所以异面直线NO与AM所成角就为与AM所成角，

因为。一"分别是正方形A。。A的边A。，R。的中点，

所以由正方形知识可知4。，4M,

所以异面直线NO与AM所成角的大小为90°.

故选：D

6.杭州的三潭印月是西湖十景之一，被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其

周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别疏立在水光激潮的湖面上，形

成一个每边长为62米的等边三角形，记为△44G,设"用6的边长为4,取△A4G每边的中点

构成设其边长为生，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列｛〃,,｝,则｛%｝的前6

项和为（）

1953「1953—3937八3937

A.------B.------C.------D.------

32163216

答案：B

由等比数列求和公式可得答案.

解：由题意可知这是一个首项为4=62,公比q的等比数列，

其前6项的和$6="‘"）=些.

\-q16

故选：B.

7.已知sina=；,且sin2av0,则tan（万一的值为（）

A.巫B.—晅C.715D.-V15

1515

答案：A

根据二倍角的正弦公式得到cosa<0,再根据同角三角函数的基本关系求出cosa,tane,再根据

诱导公式计算可得;

解：解：Vsin2a<0,

2sinacosav0,又sina=一,

4

sinaV15

cosa=-Jl-sin2a=-tana=

4cosaIT

tan(^-a)=-tana=^

'715

故选：A

8.已知圆C:（x-2『+y2=i,直线/:y=依，在［-1』上随机选取一个数k,则事件“直线/与圆C

相离”发生的概率为（）

A.gB.

22

C.2-GD.3-G

23

答案：D

先求出直线/与圆C相离时&的取值范围，再以几何概型方法求解即可.

解：（x—2了+>2=1的圆心（2,0）,半径为1,

圆心C到直线y=kx的距离为-^^生，

J1+公

当且仅当万幽不41,即-34k4走时，直线与圆不相离，

yjl+k*233

所以在&w[T,l],直线y=丘与圆（x-2）?+y2=i相离的概率为

313j3-6

1-(-1)一3

故选：D

9.己知平面向量。4，。月满足04=。8=2,方.而=-2,点。满足丽=2而，E为AAO8的

外心，则丽.丽的值为（）

A8R81616

3333

答案：A

冗

利用向量的数量积求得NA0B=W2，以。为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算

可得解.

tUUTtluuniuiruiinlUiTilUun.

解：QOA=O8=2,/.OAOB^0A•\0B\COSZAOB=4cosZAOB=-2,

cosZAOB=--,:.ZAOB=—,

23

以。为原点，04垂直于OA所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则0（0,0）,4（2,0）,B（-1,V3）,设O（x,0）

又方=2历，知（2-x,0）=2（x,0）,解得x=|,。停0）

171

又E为AAOB的外心，AZAOE=-ZAOB=~,OE=EA

AAOE=ZEAO=ZOEA=,，AAOE为等边三角形，£（1,73）,

ED=[-§'OB-ED=_g.

故选：A

10.设函数〃X)的定义域为R,若存在常数，〃>0,使|/(力归根凶对一切实数X均成立，则称“X)

为“F函数给出下列函数：①=②y(x)=sinx+Gcosx；③，⑺"上十］；

④/卜)=吐1.其中是“F函数”的个数为()

e+1

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案：c

①若/(幻=》2,则粤=|x|(XW0)没有最大值，故/(X)不是尸函数；

I人I

②当x=0时，/(0)=5此时l/(x)l,,M|x|不成立，故/(x)不是尸函数;

③|〃x)|wg|x|,所以是F函数；

④总成立，是F函数.

解：解：①若f(x)=Y,则半？没有最大值，则不存在M使智”M成立，故/(x)不

IxIIXI

是尸函数；

②若/(x)=2sin(x+§,则当x=0时，/(0)=石，此时lf(x)l,,M|x|不成立，故f(x)不是F函数;

X

③由"0)=0,且XH()时，""=/+4+]口号，显然|〃x)|wgW，.•.是F函数;

2,

1-11

g-X—IXI—O

④由题得〃T)=三王=*一=厚=一/(幻，所以“X)为奇函数，且/。)=1-喜

--F1

2ev221

•/(无)=<—=—

e+i「+_l+2~42,

所以史中所以

x-02x2

又x>0时，/(x)>0,当x<0时，/(x)<0,故10>0,

X

所以乎=|9<3即

当x=0时，|〃x)|=gW，总成立，是F函数.

故选：C

II.已知5“是数列｛4｝的前"项和,4=1,生=2,%=3,数列+J是公差为1的等

差数列，贝IJS*'=()

A.325B.326C.327D.328

答案：B

令〃，先求得2=〃+5,根据等差求和公式即可求解.

解：令/=4,+4“+4+2,贝岫=6,bn=n+5,

：.S«)=4+.+仇+…+&K=1+AX]3=]+Z^x13=326.

故选：B

12.已知A,8为球。的球面上两点，他=2,过弦A8作球的两个截面分别为圆G与圆C2,且

△oct?是边长为K的等边三角形，则该球的表面积为()

A.127B.16万C.20万D.36兀

答案：C

记A8的中点为M,可得OM为AOCC2的外接圆的直径，即可求出球半径，从而得表面积.

解：记A8的中点为M,则。GMQ构成平面四边形，且OG，GM,OC21C2M.

.•.OM为AOGG的外接圆的直径，.叫=[巨=2,:.RMJOM'+MB1=旧，

Sln?

S球=4TTR2=207r.

故选：C

二、填空题

13.二项式（d-34展开式中，/的系数是.（用数字作答）

X

答案：-4

先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的次为-1,求出，•的值，进而可求出小的系数

解：二项式（/-J）」展开式的通项公式为加=C；（x2f，'Mj=（—l）'C：产”，

令8-3r=-l,得r=3,

所以/的系数为（-1尸C：=-4,

故答案为：—4

14.甲、乙两人购买同一种物品，甲不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙不

考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则的购物方式比较经济（填“甲”

或“乙”）.

答案：乙

先分别计算出甲乙两种购物方式的平均价格，再进行比较即可解决.

解：设这个商品的第一次的价格为“，第二次的价格为b,

甲两次购买的数量为〃，乙两次所付的钱数为

那么甲这种购买方式的均价为吧±a,

n+n2

m+m_2

乙这种购买方式的均价为正"=了1，

ahah

岁2疝（当且仅当。=6时等号成立）

2_2ab<2ab_r—r

工J二有一砺（当且仅当a=b时等号成立）

ab

a+b、2

故亍一丁】(当且仅当a=b时等号成立)

--r-

ab

所以用乙这种方式购买更合算.

故答案为：乙

15.己知函数/(x)=6sin(2x+0)||同，将y=/(x)的图象上所有的点向左平行移动!个单

|<1O

位长度.所得图象关于y轴对称，则/

3

答案：-1.5

先通过平移变换得到函数y=6sin(2x+?+e),再根据为偶函数，求得。，进而得到了(X)求解.

解：由题意得平移后的函数为y=Gsin21+引+夕=gsin(2x+?+e,且为偶函数,

所以7+夕左,4wZ,

因为网＜/

所以8

4

所以/(x)=5/isin(2x+(1,

所以三)=6疝«2乂盘+5)=6sin(=|

3

故答案为：—

三、双空题

16.我国南北朝时期的数学家祖胞提出了计算体积的祖眼原理：“幕势既同，则积不容异意思是:

两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图，阴

2

影部分是由双曲线三-产=1与它的渐近线以及直线丫=±6所围成的图形，将此图形绕y轴旋转

一周，得到一个旋转体，如用与x轴相距为/7(九＜6)，且垂直于y轴的平面，截这个旋转体，则

截面图形的面积为；这个旋转体的体积为.

(1)由题知截面为一个圆环，其内径为26〃，外径为267三，即求：

(2)根据祖胞原理，该旋转体的体积与底面积为3万，高为的圆柱的体积相等，即求.

解：(I)该双曲线的渐近线为丫=土亲，

则直线丫=",与渐近线交于点4GCh,埼,B®h),

与双曲线交于点C(-5/3+3*㈤,DG屈获力),

则旋转体的截面应为一个圆环，

其内径AB=2同,外径CD=243+3力，故截面积为3冗■,

同理可得，作直线y=-/?,也可得截面积为3万；

(2)根据祖眶原理，该旋转体的体积与底面积为3万，

高为26的圆柱的体积相等，故其体积为66兀.

故答案为：3不；667r.

四、解答题

17.如图所示，在四棱锥P-A3C£)中，PC_L底面45c。，ABLAD,AB\\CD,AB=2AD=2CD=2,

E是尸8的中点.

⑴求证：CE〃平面皿＞；

（2）若PC=2,求二面角P—AC—E的余弦值.

答案：（1）证明见解析

⑵如

3

（I）在平面内，找到与CE平行的线，从而可证；（II）根据几何关系分析得出NPCE即为

二面角的平面角，余弦定理即可解决.

（1）

证明：取出中点连接EM,DM,如图，

则由中位线可知EMIIAB,又C〃〃A8,故EM||CO,而=

；•四边形EMDC是平行四边形，二CE||DM,又CEg平面尸AD,DMu平面尸CE〃平面

PAD.

(2)

：PC_L平面ABC。，故PCJ_AC.

在直角梯形ABC。中，AB=2,8=1,AD±AB,

；•AC=BC=y[2.,>AC2+BC2=AB2,ACLBC.

AC_L平面P8C,ECu平面P8C,则EC_LAC,

又PC_L底面4?C。，ACu平面PBC,则PC，AC,由二面角的定义可知，ZPCE即为二面角

4+6_6

P—AC—E'的平面角，又PC=2,CE^—^PE,由余弦定理，cosNPCE=~==

22x2x亚瓜3

2

V2sinC

18.在AABC中，内角4,B,C所对的边分别是小b,c,已知tanA=且2c=6a.

1-0cosc

⑴求2；

a

（2）若△A8C的面积为叵，求边长a.

4

答案：（1）正

2

(2)2

sinA5/2sinC

(1)由得0sin（A+C）=sinA,再由正弦定理可得答案;

cosAl-V2cosC

(2)由余弦定理得cosC,然后平方关系得到sinC,再利用面积公式可得答

22

案.

(1)

>/2sinCsinA>/2sinC

由tanA=得

1-\[2cosCcosAl-V2cosC

即sinA->/2sinAcosC=>/2sinCcosA，

V2sin(A+C)=sinA,A+C=1一B，

，&sinB=sinA，由正弦定理，可得舟=a，即』=也

a2

(2)

•b=----。，c=-a，

22

2a*23a2

“十万一—30

.♦.8SC=上从"2

2ab9凡2.8

2,------a

2

sinC=Vl-cos2C=,

8

•1人•^^3

••3c43c=_QhsinC=-----a2

A216

V23.V23oV23

又S^c=-----，・•-------CT=------，

4164

a2=4>a=2

即边长4=2.

19.2021年10月28日—29日，第十六届“中国芯”集成电路产业促进大会在珠海隆重举行.本届大

会以“链上中国芯成就中国造''为主题，共同探讨中国半导体产业风向，为国内集成电路企业实现关

键技术突破提供了驱动力.某科技公司拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科

技升级投入方（亿元）与科技升级直接纯收益）（亿元）的数据统计如下：

序号i234567

Xi357111316

y19304044505358

（1）若用线性回归模型拟合y与x关系，求y关于x的线性回归方程（精确至uo.oi）；

（2）利用（1）得到的回归方程预测该科技公司科技升级投入30亿元时的直接纯收益.

777

参考数据：ZK=294,\>,»=2784,^x,2=630.

Tr=li=\

£x*一〃xy

参考公式：B=£---------,g）左

E2~2

%—y

z=i

答案：（l）y=2.37x+23.01;

（2）94.11亿元.

（1）根据表格中的数据计算"5的值，再代入公式计算5和a的值，即可得V关于x的线性回归

方程；

（2）将x=3O代入回归直线方程求出>的值即可求解.

（1）

设y关于x的回归方程为¥=队+机

1+3+5+7+11+13+1619+30+40+44+50+53+58

由题意可知,

因为1>)=2784,ZX；=630,

g**-2784-7x8x42

630-7x82

-7x

所以a=］一菽=42-2.374x8笈23.01,

所以y关于X的回归方程为y=2,37x+23.01.

(2)

由(1)知：y=2.37x+23.01，

当x=3O亿元时，y=2.37x30+23.01=94.11亿元，

所以该科技公司科技升级投入30亿元时的直接纯收益约为94.11亿元.

20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:]+/=l(a>%>0)的离心率为白，过椭圆C的焦点产

作长轴的垂线，交椭圆于点P,且|尸尸|=1.

(1)求椭圆C的方程：

⑵假设直线/：丫=履+加与椭圆C交于A,B两点.若原点。到直线/的距离为1,并且丽•丽=r，

2

当时，求△AQB的面积S的取值范围.

答案：⑴二+二=1

42

⑵*夜

(1)利用离心率及|PF|=1列出方程组，求出椭圆方程；(2)设出直线方程，联立后用韦达定理表

达出弦长及面积，利用求出的k的取值范围，求出面积的取值范围.

(1)

£=2/2

由题意可知："，"，又"2=6+,2，

.a

可得。=2,b=6

.♦•椭圆c的方程为：—+^=1

42

（2）

|/n|

由/°=1,得〃P=公+]

y=kx+m

联立.x2y?得（2公+1）X2+4必a+2加2-4二0

—十—=1

[42

410n

X+马

2/+1

显然A>0,设A（%，x）,B（毛,%）,则，

2m2-4

xx=

}22k2+\

且乂%=（例+m）（依2+/%）=心区+版（耳+々）+病

.'.OAOB=+乂％=（1+公）工|工2+切2（X[+%2）+m2

=（2〃?2+4）（1+公）4k2m22_公+1

2k2+12k2+1+m-2一+1

k24-19

由一^3^4-4,解得小41,：.0<k2<\

2k2+13

••.I如=g.与粤=2"M［（：了）

2小=白冈A叫"卜京可

••.当公=0时，SACB=◎，当OcA^Wl时，

,,,§—S"AOB<'综上,SsAOBW

【点睛】直线与椭圆相结合，求三角形面积的范围问题，通常处理思路是设出直线方程，与椭圆方

程联立后运用韦达定理表达出弦长或者三角形面积等，利用基本不等式或二次函数等知识求范围.

21.已知函数〃x)=alnx+x-■-(aeR).

⑴当〃<()时，讨论函数〃x)的单调性；

⑵若正数利，〃满足e"""=K,求证'-1>2.

mmn

答案：(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

(1)求导得到f'(x)=V-+?+1，再对。分两种情况讨论得解；

厂

I77777/2

(2)由(1)得]>1时，-21nx+x一一>0恒成立，即得—21n—+----->0,化简即得证.

xmmn

(1)

解：易知/(X)的定义域为(。，+8)，

口，,，、1。1—+办+1

且/。)==+—+1=----5-

XXX

由A=/-4=0得。=2,或。=一2

1。当一2（。＜0时.，/+分+120恒成立,

・・./（x）在（0,+8）上是增函数;

2。当。<一2时，由/+奴+]=0得x=〃±'/4

2

'-j—a—\jcr_4—a+Jcr—4

记x=----------------，X.=-----------------，

1222

当0<x<X或X〉/时，/'(x)>0，当时，/r(x)<0,

・・・/（x）在（O，x）,（七,位）上是增函数，在（斗/）上是减函数

综上所示，当-2（。＜0时，“X）在（0,+。）上是增函数；

当”_2时，〃x）在卜，土当m],[土手工+oo]上是增函数,

在（土孚三，士系三]上是减函数.

（2）

解：取。=一2,由（1）知/（x）在（0,+8）上是增函数，且/⑴=0,

时，/（A-）＞0,即x＞l时，-21nx+x-」＞0恒成立，

X

由e=一,且777,〃＞0,矢口一＞1,,・—2In—I---------＞0,

mmmmn

即一2（〃?+〃）+”--”展＞0,又由加+”＞0,得-2+”生＞0即

mnmnmn

22.在直角坐标系xOy中，曲线a的参数方程为=4：2"：'（』为参数）.以坐标原点为极点,

[y-2sinp

X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G