2022届炎德英才大联考高考数学押题试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.双曲线0-2=1（。>0,6>0）的右焦点为F,过点尸且与x轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的

若丽=4丽+〃丽且尤4=三，则该双曲线的离心率为（）

其中一个交点为P,

,3夜5>/2„573576

A.----Rn

4121212

2.设复数2满足同=妥+1,Z在复平面内对应的点的坐标为（即村则（）

A.x2=2y+1B./=2x+i

C.x2=2y-lD.y2=2x—\

3.设集合A={x|x>0},5={x|log2(3x-l)<2},则().

A.An^=fo,|

B.=

C.Au8=（；,+oojD.AUB=（0,+oo）

4.函数/（x）=sin（x+。）在［0,句上为增函数，则。的值可以是（）

7134

A.0B.-C.%D.—

22

5.设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若S2=3,S4=10,则S6=（）

A.21B.22C.11D.12

6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A32后,

A------+6万B.86+6万

3

「32G16万

33

7.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）

分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：〃=2及〃=3时，如图：

n=3

记S〃为每个序列中最后一列数之和，则§6为()

A.147B.294C.882D.1764

8.已知0<。<匕<1,贝(I()

A.(1一〃>>(1一B.C.(1+Q)”>(1+“D.(l-6f)d>(1-/?)/?

9.平行四边形48C£＞中，已知AB=4,AZ）=3,点E、/分别满足AE=2EO，DF=FC＞且/,丽=—6,

则向量A方在加上的投影为（）

33

A.2B.—2C.—D.---

22

io.已知双曲线q：二+°一=1与双曲线c,：》2-21=1有相同的渐近线，则双曲线G的离心率为（）

mm-10~4

A.-B.5C.V5D.叱

42

11.若直线2》+4>+，〃=0经过抛物线)；=2/的焦点，则"?=()

11

A.-B.——C.2D.-2

22

12.设i是虚数单位，若复数z=l+i,则也+z2=()

z

A.1+zB.1-zC.-1-zD.-l+i

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知三棱锥P—ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是边长为2的正三角形，PALPC,

则球。的体积为.

14.已知复数z=(a+2i)(l+i),其中i为虚数单位，若复数二为纯虚数，则实数。的值是

15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全

体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅

读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、"每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习

过程中，将六大板块依次各完成一次，贝！J“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方

法有种.

16.过直线4x+3y-10=0上一点P作圆Y+y2=i的两条切线，切点分别为A,B,则丽.丽的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规

则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到

黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.

(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；

(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.

x=l+rcos6,

18.(12分)在平面直角坐标系中，曲线G：\r(。为参数，r>0),曲线G：<

y=，3+rsin0,y=A/3+L,

2

a为参数).若曲线G和C2相切.

(1)在以。为极点，X轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C的普通方程；

TT

(2)若点M,N为曲线G上两动点，且满足=求AMON面积的最大值.

31

19.（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=《,tan（A—6）=§,角C为钝角，b=5.

（1）求sin8的值；

（2）求边c的长.

20.（12分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打

车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天

的日平均气温（单位：℃）与网上预约出租车订单数（单位：份）；

日平均气温（℃）642-2-5

网上预约订单数100135150185210

Q）经数据分析，一天内平均气温xc与该出租车公司网约订单数y（份）成线性相关关系，试建立）'关于》的回归

方程，并预测日平均气温为-7℃时，该出租车公司的网约订单数；

（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于-5（，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则

从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.

附：回归直线9=3x+S的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

Z（%-X）（y;-y）Z_

b=------------=-----------,a=y-bx

t（毛一君2f看2_而2

/=1i=l

21.（12分）ZVU3C的内角A,B,C的对边分别是“，b,c,已知（a—0）2=c2—

（1）求角C;

（2）若《ccoslA+5l+bsinCuO,a=\,求AABC的面积.

22.（10分）［2018•石家庄一检旧知函数/（x）=x（lnx-ar）（aeR）.

<1）若a=l,求函数〃x）的图像在点（1"。））处的切线方程；

（2）若函数“X）有两个极值点片，%2,且王<超，求证：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用丽=2两+〃两，求出点P((2+〃)c，(2-

因为点P在双曲线上，及6=上，代入整理及得4e2"=l,又已知"=二，即可求出离心率.

a25

【详解】

由题意可知—)，N(C,----),代入OP=XOM+〃ON得：P[(2+〃)C，(2-〃)—],

代入双曲线方程£一¥=1整理得：4e24/=l,又因为九〃=色，即可得到6=地，

a2b22512

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于“，b,c的方程或不等式,

由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题.

2.B

【解析】

根据共轨复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.

【详解】

z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),则2=%+加，

z-x-yi,

Z4-Z

z+1

2

代入可得也2+9=x+i，

解得y2=2x+l.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共朝复数的概念，属于基础题.

3.D

【解析】

根据题意，求出集合A,进而求出集合AU8和AA8,分析选项即可得到答案.

【详解】

根据题意，B={x|log2(3x-1)<2}=

则ADB=(0,+OO),AC8=(；,|)

故选：D

【点睛】

此题考查集合的交并集运算，属于简单题目，

4.D

【解析】

依次将选项中的e代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.

【详解】

当6=0时，/(X)=sinx在［(),〃］上不单调，故A不正确；

当8时，〃X)=COSX在［0,句上单调递减，故B不正确；

当。=〃时，〃6=一曲》在［(),句上不单调，故C不正确；

2

当6=号7r时，/(x)=-cosx在［0,句上单调递增，故D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.

5.A

【解析】

由题意知52,54-52,56-54成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出S6的值.

【详解】

解：由{4}为等差数列，可知S2，S4-SzS-S,也成等差数列，

所以2(S「S2)=S2+S6-S,，即2x(10—3)=3+E—10,解得$6=21.

故选:A.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和

公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.

6.B

【解析】

还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.

【详解】

由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥

1,1,

半个圆柱体积为：匕=—万r2。=一万x2?x3=6万

22

四棱锥体积为：匕=LS〃='X4X3X2百=8百

33

原几何体体积为：^=耳+匕=86+6万

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.

7.A

【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得的值.

【详解】

依题意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

I63060

31530

2

!

21020

3

]_315

15

42T

26

612

55

1510

6

所以56=60+30+20+15+12+10=147.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

8.D

【解析】

根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正

确答案.

【详解】

因为0<。<1,所以0<1—。<1,所以y=是减函数，

1b

又因为()<8<1,所以一〉b,b>~,

b2

1,Lb

所以(1一<(1-a)'，(1-a)<(l-a)z»所以A,B两项均错；

又l<l+a<l+/?,所以(1+。)“<(1+。)“<(1+”'，所以C错；

对于D,(l—a)">(l—a)”>(1-与"，所以(l—a)”>(1—。)”，

故选D.

【点睛】

这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，

作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关

系.

9.C

【解析】

________ADAB

将用向量A/5和A分表示，代入入户.丽=-6可求出AO-A8=6，再利用投影公式1Ti可得答案.

\ABs\

【详解】

解：AFBE=(AP+DF)(BA+AE)

______2__1____1__2__

=ADAB+AD-AD——ABAB+-AB-AD

3223

=-AZ）AB+-X32--X42=6,

332

得AD-AB-6，

AD-AB63

则向量而在丽上的投影为币

故选：c.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将衣，而用向量而和通表示是关键，是基础题.

10.C

【解析】

由双曲线G与双曲线G有相同的渐近线，列出方程求出〃?的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案.

【详解】

222

由双曲线£:二+二—=1与双曲线。,：/一匕=1有相同的渐近线，

mm-104

可得^^=2,解得/〃=2,此时双曲线G：5-左=1，

则曲线G的离心率为e=£=埠8=6，故选C

aV2

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

11.B

【解析】

计算抛物线的交点为（0,1],代入计算得到答案.

【详解】

>=2/可化为％2=：^,焦点坐标为（0,：],故

2\oj2

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.

12.A

【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可

【详解】

,复数z=l+i,二|z|=,z2=(l+z)"—lit则^—■—l-z~=-----F2/=F2z=1—z+2z=1+z,

''z1+z(l+z)(l-0

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.瓜兀

【解析】

由题意可得三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，则它的外接球就是棱长为V2的正方体的外接球，求

出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.

【详解】

解：因为B4=P3=PC,AABC为正三角形，

所以ZAPB=ZAPC=NBPC,

因为PA1PC,所以三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，

所以它的外接球就是棱长为0的正方体的外接球，

因为正方体的对角线长为迷，所以其外接球的半径为如，

2

所以球的体积为g乃x［乎)=显

故答案为：屈兀

【点睛】

此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.

14.2

【解析】

由题，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由题，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,又复数二为纯虚数,

所以。一2=0,解得。=2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.

15.432

【解析】

先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数，最后求和得结果.

【详解】

若“阅读文章''与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有2父=240种;

若“阅读文章''与"视听学习''两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有=192种；

因此共有240+192=432种.

故答案为：432

【点睛】

本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

3

16.-

2

【解析】

由切线的性质，可知|而|=|而切由直角三角形弘0,PBO,即可设|西卜x,NAPO=a,进而表示cosa,由图

像观察可知P。2d。一进而求出x的范围，再用％。的式子表示丽.而，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.

【详解】

由题可知，|而|=|而设|西卜x,NAPO=c,由切线的性质可知PO=J77T，则

xJC2

cosa=.,cos-a=­：——

V77Tf+i

|4x0+3x0-10|

显然PONd°T=2，则Jd+i2或（舍去）

2

因为丽•丽=|百川而LosZAPO=x2cos2a=Y.(2cos2a-l)=x2x-\

x2+1

22(f+i)-22/2\

22

2=X------z------=X-Iz-----2=(X+1)+-3

=X22272

Ix+1)x+1x+\x+l\x+1

______2

令，+1/24,则丽•丽=f+：-3,由双勾函数单调性可知其在区间［4,中»)上单调递增，所以

(PAPB)=4+2-3=3

\/min42

【点睛】

本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函

数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)-；(2)20.

4

【解析】

(1)1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率;

(2)X的可能取值为：0,10,20,30,1.分别求出X取各个值时的概率，即可求出分布列和数学期望.

【详解】

(1)1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，

CC=1

所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率P

C；C；4

(2)X的可能取值为：0,10,20,30,1.

P(i)系＜蛆叫=||=/(金。)=器+境|4

(-)_c：c；c；6，0)c：c；c；c；-4

随机变量X的分布列为：

X01020301

22

P彳I

数学期望E（X）=0X；+10X（+20X\+30X\+40X；=20.

【点睛】

本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.

18.(1)(x-l)2+(y-V3)2=4；(2)3名

【解析】

(D消去参数。，将圆C的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最

后利用X=pcos0,y=psin0求得圆C的极坐标方程.

(2)利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得AMON的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形

面积的最大值.

【详解】

222

(1)由题意得G：(x-l)+(y-V3)=r,C2：x—百y-2=()

因为曲线G和G相切，所以2]=2,即G：(》一1)2+｝一6)2=4；

(2)设M4sin[e+^,3,7V^4cos6»,6>+1J

所以S/WON~~PMPNsin—=—xl6xsine+K]cos8=2出sin(2O+°)+出

234I6J

所以当26+夕=1时，AA/ON面积最大值为3后

【点睛】

本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积

的最值，属于中档题.

19.(1)sinB=(2)c=13

10

【解析】

(1)由sinB=sin[A-(A-B)],分别求得sinAcosA,sin(A-B),cos(A-B)得到答案;(2)利用正弦定理

£=粤得到。=3布，利用余弦定理解出c=13.

bsiaB

【详解】

3I---------------4

⑴因为角。为钝角，sinA=-,所以cosA=Jl-sirrA=《，

I冗

又tan(A—B)=§,所以OvA—Bv5,

_§.sin(A-5)=-^=,cos(A-B)=3

710

所以sinB=sin[A—(A—3)]=sinAcos(A—5)—cosAsin(A-B)

33411

=_x_______x____—____

5Vlo5VioVio

⑵因为/篝=等'且X'所以”3痴,

9

又cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

5y/10

则C，2169,

所以c=13.

3

20.(1)y=-9.5x+165.5,232；(2)-

【解析】

(1)根据公式代入求解；

(2)先列出基本事件空间Q,再列出要求的事件，最后求概率即可.

【详解】

解：(1)由表格可求出了=1,歹=156,工为%=20,5/歹=780,=85代入公式求出方-9.5>

i=l/=!

所以4=]_菽=165.5,所以3=_9.5X+165.5

当x=-7时，y=(-9.5)x(-7)+165.5=232.

所以可预测日平均气温为-7。(2时该出租车公司的网约订单数约为232份.

(2)记这5天中气温不高于-5。(2的三天分别为A,3,C,另外两天分别记为。,E,则在这5天中任意选取2天有

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有

AD,AE,BD,BE,CD,CE,共6个基本事件，

所以所求概率。5=|，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为|.

【点睛】

考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题.

TT

21.(1)-

3

(2)73

【解析】

(D利用余弦定理可求cosC,从而得到C的值.

(2)利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得匕=4。，得到人值后利用面积公式可求

【详解】

(1)由(4一人［=。2-"，得a?-c?=ab.

〃24序_21

所以由余弦定理，