等腰梯形（练习）-2022-2023学年八年级数学下册同步沪教版详解

22.5等腰梯形（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2021春·上海徐汇·八年级统考期末）已知四边形中，，下列判断中的正确的是（

）A．如果，那么四边形是等腰梯形B．如果，那么四边形是菱形C．如果AC平分BD，那么四边形是矩形D．如果，那么四边形是正方形【答案】C【分析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A．如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误；B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误；C．如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确；D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误；故选：C．【点睛】此题考查等腰梯形的判定，关键是根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理解答．2．（2022春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知等腰梯形中，ADBC，下底与上底的差恰好等于腰长，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先过点A作，交于点，易得四边形是平行四边形，又由下底与上底的差恰好等于腰长，则可证得是等边三角形，继而求得答案．【详解】解：过点A作，交于点，等腰梯形中，，，四边形是平行四边形，，，，下底与上底的差恰好等于腰长，，，即是等边三角形，，．故选：A．【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，那么这个梯形的周长为（

）A．18 B．24 C．30 D．36【答案】C【分析】根据等腰梯形性质求出，求出，求出，推出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，即可求出答案．【详解】解：等腰梯形中，，，，，，平分，，，，，梯形的周长是，故选：C．【点睛】本题考查了等腰梯形性质，平行线性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是能求出和的长．4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，对角线，，BC=2cm，则梯形的周长为（

）A． B．6cm C． D．10cm【答案】D【分析】过点作，由已知可得，根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得，的长，再根据等腰梯形同一底的两角相等可推出，从而可求得的长，进而求出梯形的周长．【详解】解：过点作，，，，cm，cm，梯形是等腰梯形，，，，，，cm，梯形的周长为cm．故选：D．【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等，掌握等腰梯形的性质是解题的关键．5．（2022春·上海·八年级专题练习）如图：在等腰梯形中，ADBC，过作于，若，，，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据等腰梯形的性质，可得的值，继而在中利用勾股定理可求出．【详解】解：四边形是等腰梯形，在中，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质，根据等腰梯形的性质求出的长度是关键．二、填空题6．（2022春·上海·八年级期末）如图，已知中，，垂足为点H，点M、N分别是、的中点．联结．如果，那么的度数是________．【答案】120°【分析】依据梯形中位线定理进行计算，可得CH的长，进而得到BH的长，再根据∠B的度数，即可得出∠C的度数．【详解】解：∵CH∥AD，CH＜AD，∴四边形ADCH是梯形，∵点M、N分别是AH、CD的中点，∴MN是梯形ADCH的中位线，∴MN=（AD+CH），即6.5=（8+CH），解得CH=5，∴BH=BC-HC=8-5=3，又∵AH⊥BH，AB=6，∴Rt△ABH中，BH=AB，∴∠BAH=30°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠B=120°，故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了梯形中位线定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底之和的一半．7．（2022春·上海·八年级期末）如果等腰梯形的一个底角为120°，这个等腰梯形的上、下底长分别为6和10，那么这个等腰梯形的腰长为________．【答案】4【分析】过D作DE∥AB，交BC于E，得出四边形ABED是平行四边形，推出AB=DE=DC，AD=BE=6，求出CE，由等腰梯形的性质得到∠C=∠B=60°，进而得到△DEC是等边三角形，求出CE=DC即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∠A=∠ADC=120°，∴∠B=∠C，AD∥BC，AB=DC，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=∠C=180°-∠A=180°-120°=60°，如图，过D作DE∥AB，交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=DC，AD=BE=6，∴CE=BC-BE=10-6=4，∵∠C=∠B=60°，∴△DEC是等边三角形，∴DC=CE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰梯形性质，平行四边形性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，关键是能把梯形转化成平行四边形和等腰三角形．三、解答题8．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，，，，DC=2cm，求的长．【答案】【分析】根据为等腰梯形，得出，根据．得出，，所以平分，根据，从而得出，根据等角对等边得出，．在中即可求得．【详解】解：为等腰梯形，，．，平分，，在中，．【点睛】此题考查等腰梯形的性质和特殊直角三角形的性质，属基础题．9．（2022春·上海·八年级专题练习）如图所示，在等腰梯形中，是中点，、相交于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）根据菱形的对角线互相垂直的性质，即可证明．（1）证明：四边形是等腰梯形，，，是中点，，即，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形；（2）四边形是菱形，，，，四边形是平行四边形，，．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰梯形的性质和菱形的判定与性质．10．（2021春·上海青浦·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，且．（1）求点的坐标；（2）在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为，，【分析】（1）先求出点A，B坐标进而求出AB，进而求出AC，设点C（a，a+4）再用两点间的距离公式建立方程求解，即可得出结论；（2）①当等腰梯形是ACQO时，过点C作CE⊥OA于E，过点Q作QF⊥OA于F，先判断出Rt△AEC≌Rt△OFQ（HL），得出AE=OF，即可得出结论；②当等腰梯形ACOQ时，过点Q作QN⊥AC于N，过点O作OM⊥AC于M，则四边形OMNQ是矩形，得出QN=OM，同①的方法得，Rt△COM≌Rt△AQN（HL），得出CM=AN，再求出点M（-2，2），N（-5，-1），最后用平移的方法即可得出结论；③当等腰梯形是ACOQ时，得出连接CQ，则CQ=OA=4，先求出直线OC的解析式为y=-，进而求出直线AQ的解析式为y=--，设Q（q，-q-）（q＞-3），利用CQ=4，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，令x=0，则y=4，令y=0，则x+4=0，∴x=-4，，，．，．因为点在线段上，所以设的坐标为．，解得：或（不符题意，舍去），．（2）存在，由（1）知，A（-4，0），C（-3，1），∵以A、C、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形，∴①当等腰梯形是ACQO时，如图1，AC=OQ，CQ∥AO，过点C作CE⊥OA于E，过点Q作QF⊥OA于F，∴∠AEC=∠OFQ=90°，∴四边形CEFQ是矩形，∴CE=QF，∴Rt△AEC≌Rt△OFQ（HL），∴AE=OF，∵C（-3，1），∴CE=1，E（-3，0），∴QF=1，∵A（-4，0），∴AE=1，∴OF=1，∴Q（-1，1）；②当等腰梯形ACOQ时，如图2，AC∥OQ，AQ=CO，过点Q作QN⊥AC于N，过点O作OM⊥AC于M，则四边形OMNQ是矩形，∴QN=OM，同①的方法得，Rt△COM≌Rt△AQN（HL），∴CM=AN，在Rt△AOB中，A（-4，0），B（0，4），∴OA=OB=4，∵OM⊥AC，∴AM=BM=2，∴M（-2，2），∵AC=，∴CM=，∴AN=，∴点N与点C关于点A对称，∴N（-5，-1），点M向右移动2个单位，再向下平移2个单位到点O，∴点N向右移动2个单位，再向下平移2个单位到点Q，∴Q（-3，-3）；③当等腰梯形是ACOQ时，如图3，AC=OQ，CO∥AQ，连接CQ，则CQ=OA=4，∵点C（-3，1），∴直线OC的解析式为y=-，∵点A（-4，0），∴直线AQ的解析式为y=--，设Q（q，-q-）（q＞-3），∴CQ==4，∴q=-7（舍）或q=，Q（，-），即满足条件的点Q的坐标为（-1，1）或（-3，-3）或（，-）．【点睛】本题考查了两点间距离公式，等腰梯形的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．11．（2020春·上海·八年级上海市文来中学校考期中）已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm．【详解】由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm，由已知条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，∴AD+BC=2EF=12cm，∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，∴BC=AB+BC+CD+AD﹣20，即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．【能力提升】一、填空题1．（2018春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期末）梯形ABCD中，AD∥BC，E在线段AB上，且2AE=BE，EF∥BC交CD于F，AD=15，BC=21，则EF=__________．【答案】17【分析】过作构造平行四边形及相似三角形，利用平行四边形及相似三角形的性质可得答案．【详解】如图，过作交于，交于，因为AD∥BC，EF∥BC，所以四边形四边形，四边形都为平行四边形，则，因为，所以，因为EF∥BC，所以，所以，因为2AE=BE，，，所以，所以，所以．故答案为：．【点睛】本题考查等腰梯形中通过作腰的平行线构造平行四边形及相似三角形，考查平行四边形的性质及相似三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．2．（2022春·上海·九年级校考期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，BC=，∠B=45°．直角三角板含45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于______．【答案】或或2【分析】分AE=BE、AB=BE、AB=AE三种情况加以考虑，利用等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质与勾股定理等知识即可完成．【详解】如图，分别过点A、D作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H∴∠AGB=∠DHC=90°∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC∴AB=DC，∠B=∠C∴△ABG≌△DCH∴BG=CH由辅助线作法知：四边形ADHG是矩形∴∴∵∠B=45°∴∠BAG=∠B=45°∴∴由勾股定理得

①如图1，当AE=BE时∵∠B=45°∴∠BAE=∠B=45°∴△ABE是等腰直角三角形，且AE⊥BC∴∴∵∠AEF=45°∴∠FEC=45°∴∠FEC=∠C=45°∴△ECF是等腰直角三角形∴EF=CF由勾股定理得：②如图2，当AB=BE时∵∠B=45°∴∴∴∴∠CEF=∠CFE∴CF=EC∵BE=AB=3，∴③如图3，当AB=AE时，则∠AEB=∠B=45°∴AE=AB=3，且∠BAE=90°∴∵∠C=45°∴∠EFC=∠C=45°∴CE=EF在Rt△ABE中，由勾股定理得：∴由Rt△EFC中，由勾股定理得：

综上所述，CF的长为或或2故答案为：或或2【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用这些性质与定理是关键，难点在于根据腰长的不同进行分类讨论．3．（2022春·上海·八年级期末）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，点C在y轴的正半轴上，BC＝5，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么点D的坐标是__．【答案】（6，1）或（3，4）【分析】将代入，解得，可知一次函数的解析式是：，求出坐标，由四边形ABCD是等腰梯形，可分两种情况求解：①当时，如图，作DE⊥BC于点E，则，，进而可得的坐标；②当时，直线的解析式为y＝x+3，设D（m，m+3），根据，即，求出满足要求的的值，进而可得的坐标．【详解】解：将代入得，解得，∴一次函数的解析式是：，令，则，∴；∵，∴，由四边形ABCD是等腰梯形，可分两种情况求解：①当时，如图，作DE⊥BC于点E，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴，∴，∴；②当时，直线的解析式为y＝x+3，设D（m，m+3），∵，∴，解得，（不合题意，舍去），∴；综上所述，点坐标为（6，1）或（3，4）；故答案为：（6，1）或（3，4）．【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，等腰梯形的性质等知识．解题的关键在于数形结合根据等腰梯形的性质分类讨论．二、解答题4．（2018春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点．（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）当四边形MENF是正方形时，求证：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．【答案】见解析【分析】（1）利用等腰梯形的性质证明，利用全等三角形性质及中点概念，中位线的性质证明四边形的四边相等得结论．（2）连接，利用三线合一证明是等腰梯形的高，再利用正方形与直角三角形的性质可得结论．【详解】（1）四边形为等腰梯形，所以，为中点，．

，

．

为、中点，，，所以：，为的中点，为中点，

∴四边形是菱形．

（2）连结MN，∵BM=CM，BN=CN，∴MN⊥BC，∵AD∥BC，∴MN⊥AD，∴MN是梯形ABCD的高，又∵四边形MENF是正方形，∴△BMC为直角三角形，又∵N是BC的中点，，即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．

【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的全等的判定，菱形的判定，正方形的性质等，掌握以上知识点是解题关键．5．（2022春·上海·八年级专题练习）在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＞AD，AB＝8cm，BC＝18cm，CD＝10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．(1)求四边形ABPQ为矩形时t的值；(2)若题设中的“BC＝18cm”改变为“BC＝kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；(3)在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求出HC，根据矩形的性质得出，求出即可；（2）过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，求出PG，根据BP+PG+GH+HC＝BC得出方程，求出即可；（3）有两种情况：①由（2）可以得出3t+6+2t+6＝18，求出即可；②四边形PCDQ是平行四边形，根据BP+PC＝BC，代入求出即可．(1)解：过点D作DH⊥BC，垂足为点H，由题意可知：AB＝DH＝8，AD＝BH，DC＝10，∴，∴，∵BC＝18，∴AD＝BH＝12，若四边形ABPQ是矩形，则AQ＝BP，∵AQ＝12﹣2t，BP＝3t，∴12﹣2t＝3t，∴．答：四边形ABPQ为矩形时t的值是．(2)解：由（1）得CH＝6，如图1，再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，同理：PG＝6，易知：QD＝GH＝2t，又BP+PG+GH+HC＝BC，∴3t+6+2t+6＝k，∴．(3)解：假设存在时间t使PQ＝10，有两种情况：①如图2，由（2）可知3t+6+2t+6＝18，∴，②如图3，四边形PCDQ是平行四边形，∴QD＝PC＝2t，又BP＝3t，BP+PC＝BC，∴3t+2t＝18，∴．综上所述，当秒或秒时P、Q两点之间的距离为10cm．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质，梯形的性质，等腰梯形的性质，解一元一次方程