考点09 二次函数的4大最值问题总结-原卷版

考点09二次函数的4大最值问题总结1对称轴确定和不确定求最值或取值范围的解决方法对称点当图象上两个点的纵坐标相等时，这两个点就称之为对称点，如点与点,其对称轴为,利用对称点可以求，主要体现在求一个点关于对称点的坐标，或者是已知抛物线上两个点关于对称轴对称时，求其对称轴。(2)增减性点对于二次函数y=ax²+bx+c=a(x+）²＋其图象分布有如下两种：如果a＞0,当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；如果a＜0,当号时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。(3)最值及界点如果a＞0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的x的大而增大；如果a<0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；设二次函数y=a(x-h)²+k(其中m≤x≤n）(1)当a>0时，①若h满足m≤h≤n,则x=h时，；②若h不在m≤x≤n范围内，则x在m，n两个数中，与h接近的数上取得最小值，而在远离h的数上取得最大值；(2)当a<0时，②若h不在m≤x≤n范围内，则x在m，n两个数中，与h接近的数上取得最大值，而在远离h的数上取得最小值。参数型二次函数解法：(1)求出对称轴；(2)求出界值关于对称轴的对称值；(3)按自变量的界值与对称轴的位置关系进行分类讨论；(4)借助函数图象来求最值（必要时画出函数图象）；2线段最值的解题思路一般将所求线段在抛物线上的点的坐标设出来，另一个端点的坐标也设出来，若横坐标相同，用两个点的纵坐标相减即可得出一个二次函数解析式的形式，求出这个函数的最值即可；若是纵坐标相同，采用同样的方法，也可求出。3线段和或周长最值解题方法4面积最值的解题方法利用割补法（铅锤线法）：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到相应的二次函数解析式，配方可得最大面积.考点1对称轴确定和不确定求最值或取值范围考点2线段最值考点3线段和或周长最值考点4面积最值考点1对称轴确定和不确定求最值或取值范围1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）已知点是二次函数图象上一点，当时，b的最大值为4，则实数m的值为．2．（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）已知二次函数的顶点坐标为，则当时，若y的最小值与最大值之和为12，则a的值为．3．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是．考点2线段最值5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交、两点，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．(1)求抛物线及直线AC的函数表达式；(2)若P点是线段AC上的一个动点，过P点作轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．考点3线段和或周长最值8．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．9．（2021·九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标．10．（2023·全国·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点和点．(1)求该二次函数的表达式；(2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点在该函数图象上（其中），求m的值；(4)在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点4面积最值11．（2022秋·安徽芜湖·九年级安徽省无为襄安中学校考期中）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

12．（2022秋·山东东营·九年级校考期中）如图，抛物线的图象与x轴分别交于点，，与轴交于点C，已知．

(1)求抛物线的解析式；(2)点在线段上，过点E作x轴的垂线交抛物线于点P，连接，若，垂足为点F，求的长．(3)在（2）的条件下是否存在直线AP的上方抛物线上一点Q，使面积最大，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．13．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．

(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值．14．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一