第四板块 大题增分练（一） 统计与成对数据的统计分析

第四板块大题增分练（一）统计与成对数据的统计分析1．民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上(含40周岁)的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示.项目“编织巧手”非“编织巧手”合计年龄≥40岁19年龄＜40岁10合计40(1)请完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析“编织巧手”与“年龄”是否有关；(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层随机抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．参考公式及数据：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879解：(1)年龄在40周岁以上(含40周岁)的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：项目“编织巧手”非“编织巧手”合计年龄≥40岁19524年龄<40岁61016合计251540零假设为H0：“编织巧手”与“年龄”无关联．根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝eq\f(40×19×10－6×52,24×16×25×15)≈7.111>6.635＝x0.010，根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010.(2)由题意可得这6人中年龄在40周岁以上(含40周岁)的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4.从这6人中随机抽取2人的情况有Ceq\o\al(2,6)＝15种，其中符合条件的情况有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝8种，故所求概率P＝eq\f(8,15).2．(2023·安陆模拟)为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，400名学生物理成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知成绩在[60,70)，[70,80)，[80,90)之间的人数依次构成等差数列．(1)求图中a，b的值；(2)根据频率分布直方图，估计这400名学生物理成绩的中位数(结果保留整数)；(3)若这400名学生物理成绩各分数段的人数(xi)与化学成绩相应分数段的人数(yi)之间的关系如下表所示，求化学成绩低于50分的人数.分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]xi，yi之间的关系y1＝x1－5y2＝x2－5y3＝eq\f(2,3)x3－5y4＝eq\f(5,4)x4y5＝x5解：(1)因为成绩在[60,70)，[70,80)，[80,90)之间的人数依次构成等差数列，则a，b,0.02也依次构成等差数列，因此2b＝a＋0.02，又(0.005＋a＋b＋0.02＋0.005)×10＝1，即a＋b＝0.07，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋0.02，,a＋b＝0.07，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.04，,b＝0.03，))所以a＝0.04，b＝0.03.(2)由频率分布直方图知，物理成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率依次为0.05,0.4,0.3,0.2,0.05，则这400名学生物理成绩的中位数x0∈[70,80]，由0.05＋0.4＋0.03×(x0－70)＝0.5，解得x0≈72.所以这400名学生物理成绩的中位数为72.(3)由(2)知，这400名学生物理成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数依次为400×0.05＝20,400×0.4＝160,400×0.3＝120,400×0.2＝80,400×0.05＝20，则这400名学生化学成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数依次为15,155,75,100,20，所以化学成绩低于50分的人数为400－15－155－75－100－20＝35.3．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能．某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，下表为该企业今年1～4月份接到的订单数量.月份t1234订单数量y/万件5.25.35.75.8附：样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，eq\r(1.3)≈1.14.(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱(0.75≤|r|≤1，则认为y与t的线性相关性较强，|r|<0.75，则认为y与t的线性相关性较弱)．(结果保留两位小数)(2)建立y关于t的回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量．解：(1)eq\x\to(t)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)(5.2＋5.3＋5.7＋5.8)＝5.5，eq\i\su(i＝1,4,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝(－1.5)×(－0.3)＋(－0.5)×(－0.2)＋0.5×0.2＋1.5×0.3＝1.1，eq\i\su(i＝1,4,)(ti－eq\x\to(t))2＝(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＝5，eq\i\su(i＝1,4,)(yi－eq\x\to(y))2＝(－0.3)2＋(－0.2)2＋0.22＋0.32＝0.26，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,4,)ti－\x\to(t)2)\r(\i\su(i＝1,4,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(1.1,\r(1.3))≈eq\f(1.1,1.14)≈0.96>0.75，∴订单数量y与月份t的线性相关性较强．(2)∵eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,4,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(1.1,5)＝0.22，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝5.5－0.22×2.5＝4.95，∴回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22t＋4.95，令t＝5，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22×5＋4.95＝6.05(万件)，即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件．4．某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(mol/L)与灭死率y的数据，得下表：浓度x(mol/L)10－1210－1010－810－610－4灭死率y0.10.240.460.760.94(1)以x为解释变量，y为响应变量，在eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))和eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2lgx中选一个作为灭死率y关于浓度x(mol/L)的回归方程，不用说明理由；(2)①根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选回归方程；②依据①中所求经验回归方程，要使灭死率不低于0.8，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少mol/L?参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)根据表格数据可知解释变量x呈现指数增长，而响应变量y增长幅度不大，且相应的增加量大约相等，故选eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2lgx.(2)①令ui＝lgxi，则eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2u，所以可得如下数据u－12－10－8－6－4y0.10.240.460.760.94则eq\x\to(u)＝eq\f(1,5)(－12－10－8－6－4)＝－8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(0.1＋0.24＋0.46＋0.76＋0.94)＝0.5，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do7(i＝1))ueq\o\al(2,i)＝(－12)2＋(－10)2＋(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＝360，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do7(i＝1))uiyi＝(－12)×0.1＋(－10)×0.24＋(－8)×0.46＋(－6)×0.76＋(－4)×0.94＝－15.6，所以eq\o(c,\s\up6(^))2＝eq\f(－15.6－5×－8×0.5,360－5×－82)＝0.11，eq