小题基准考法-等差数列、等比数列

悉高考

数列作为一种特殊函数，除考查函数三要素的特征、单调性等基本性质外，还具有求通项、求和的特定思路与方法，高考中常以“1小1大”的形式考查，难度中档偏下，解答题中也可能与其他知识结合考查求和、求通项问题，如2023新课标Ⅰ卷出现了两道关于数列的大题，T21是结合概率考查数列的递推公式，加强了知识间的横向联系，释放出高考命题不拘泥于“套路”、不沿循“旧制”的主导思想.第二板块数列小题基准考法——等差数列、等比数列12目录3命题点一等差、等比数列的基本运算命题点二等差、等比数列的性质及应用命题点三数列的递推关系[真题导向]1．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝

(

)命题点一等差、等比数列的基本运算答案：C

A．0.75 B．0.8C．0.85 D．0.9答案：D

解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，3．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________.答案：2 解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.[素养评价]1．(2023·威海一模)已知等比数列{an}的前三项和为84，a2－a5＝21，则{an}的公比为

(

)答案：B

2．(2023·聊城模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝67，则a3a10是{an}中的

(

)A．第30项

B．第36项C．第48项

D．第60项答案：A

3．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意义是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完．出自《庄子·杂篇·天下》，反映了有限与无限的辩证关系．现有一根1米长的棍棒，按照上述截取方法，第n天截取部分的总长度是剩余部分长度的63倍，则n＝

(

)A．4 B．5C．6 D．7答案：C

4．设Sn为正项等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且S1－2，S2，S3成等差数列，则数列{an}的通项公式为

(

)A．an＝2n－1

B．an＝3n－1答案：A

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6<S7，S7＝S8，S8>S9，则符合题意的等差数列{an}的一个通项公式为an＝________.答案：8－n(答案不唯一)解析：因为S6<S7，S7＝S8，S8>S9，所以a7>0，a8＝0，a9<0，设数列{an}的公差为d，则d<0，取d＝－1，又a8＝0，可得a1＝7，故数列{an}的一个通项公式为an＝8－n.[一站补给]知识的“盲点”熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b为常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列方法的“疑点”由于等比数列的通项公式及前n项和公式中变量n在指数位置，故可采用两式相除进行相关计算思想的“高点”在求解等比数列的基本量时，注意整体思想及分类讨论思想的应用[真题导向]1．(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝

(

)A．120 B．85C．－85 D．－120答案：C

命题点二等差、等比数列的性质及应用2．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝

(

)A．25 B．22C．20 D．15答案：C

3.(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) (

)A．3699块

B．3474块C．3402块

D．3339块答案：C

解析：由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n.[素养评价]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＋a10＝a11＋3，则S11＝

(

)A．33 B．66C．22 D．44答案：A

2．(2023·漳州三模)已知数列{an}为递减的等比数列，n∈N*，且a2a7＝32，a3＋a6＝18，则{an}的公比为

(

)3．(2023·华中师大附中联考)[多选]数列{an}是等差数列，S8＝10，则下列说法正确的是

(

)A．a3＋a6为定值答案：AD

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S8＝________.[一站补给]知识的“盲点”(1)等差数列的常用性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．(2)等比数列的常用性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列方法的“疑点”数列具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数性质解题命题点三数列的递推关系[答案]

B[答案]

C[思维建模](1)给出Sn与an的递推关系求an的常用思路．一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差数列或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(适用于an＋1＝an·f(n)型)．答案：C

答案：A

答案：A

解析：因为n∈N*，an>0,8Sn＋1＝(2an＋1)2，当n≥2时，8Sn－1＋1＝(2an－1＋1)2，两式相减得8an＝(2an＋1)2－(2an－1＋1)2，即(2an－1)2－(2an－1＋1)2＝0，整理得(2an－2an－1－2)·(2an＋2an－1)＝0，所以an－an－1＝1，即数列{an}