小题基准考法(一)-空间几何体的表面积及体积

悉高考(1)从近三年新高考试题来看，立体几何一般以“2小1大”或“3小1大”的情况出现，难度中等，小题有时会出现在压轴题的位置.(2)小题常考点：①空间几何体的表面积、体积的计算，有时和数学文化、新情境交汇命题，特别要注意的是球的组合体问题，常作为小题的压轴题出现，难度较大.②空间点、线、面之间的位置关系的判定，或空间角的计算.(3)在高考中，解答题常以棱柱或棱锥为载体，一般设置两问，一问是定性分析，一问是定量分析.其中定性分析以线面平行、垂直的证明为主，定量分析主要是应用空间向量求线面角、二面角.第三板块空间几何体

小题基准考法(一)——空间几何体的表面积及体积12目录3命题点一

空间几何体的结构特征命题点二空间几何体的表面积与侧面积命题点三空间几何体的体积4命题点四球的切接问题命题点一

空间几何体的结构特征答案：B

2.(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

(

)答案：C

解析：设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.3．(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有

(

)A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体答案：ABD[素养评价]1．设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体．以上命题中真命题的个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3答案：B

解析：由平行六面体的定义可得底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，命题甲正确；底面是矩形的平行六面体的侧棱不一定垂直于底面，故该几何体不一定为长方体，命题乙错误；直四棱柱的底面不一定为平行四边形，故直四棱柱不一定是平行六面体，命题丙错误．正确的命题只有1个．答案：AD

解析：如图，借助于正方体模型，图1中三棱锥D－ABC的四个面都是直角三角形，其直度为1，A正确；四棱锥共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误；答案：3.6答案：13π解析：根据题意，设蜗牛从圆柱底部M点绕圆柱体的侧面爬行4圈到达顶部的N点，则沿MN将侧面展开后，最短路程，如图所示，其中矩形的宽等于圆柱的高5π(cm)，[一站补给]知识的“盲点”圆锥、圆柱的侧面展开图分别为扇形和矩形，底面周长分别为扇形的弧长、矩形的一边长，据此建立圆锥、圆柱基本量的联系解决问题方法的“疑点”解决多面体或旋转体的表面上与长度有关的最值问题时，一般采用转化法，即将表面展开化为平面图形，通过“化折为直”或“化曲为直”来解决，注意展开前后哪些几何量发生变化，哪些不变[一练而过]1.如图，将一个圆柱2n(n∈N*)等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为

(

)A．10π B．20πC．10nπ D．18π答案：A

命题点二空间几何体的表面积与侧面积解析：显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh＝10，所以圆柱的侧面积为2πrh＝10π.答案：C

3.已知点M，N在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且△SMN的面积为4，∠MSN＝30°，若SM与底面所成的角为60°,则圆锥SO的表面积为(

)A．8π B．12πC．10π D．16π答案：B

答案：C

[一站补给]知识的“盲点”圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时，需将曲面展开成平面图形来计算方法的“疑点”(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)组合体的表面积注意衔接部分的处理思想的“高点”表面积与侧面积的计算常常转化为平面图形面积的计算，体现转化与化归的思想[真题导向]1．(2022·新课标Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水命题点三空间几何体的体积A．1.0×109m3

B．1.2×109m3C．1.4×109m3

D．1.6×109m3答案：C

2．(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则

(

)A．该圆锥的体积为π答案：AC

3．(2022·新课标Ⅱ卷)[多选]如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB.记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则

(

)A．V3＝2V2

B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2

D．2V3＝3V1答案：CD

[素养评价]1.(2023·青岛一模)龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm.现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为

(

)A．1824cm3

B．2739cm3C．3618cm3

D．4512cm3答案：B

解析：如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面的平面图形，并延长EC与FD交于点G.根据题意，AB＝20cm，CD＝10cm，AC＝15cm，EC＝6cm，设CG＝xcm，EF＝ycm，2．正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体(即正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体．若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积为36，则生成它的正方体的棱长为

(

)A．8 B．6C．4 D．3答案：B

3.(2023·天津三模)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为2的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积为

(

)

答案：A

答案：D

[一站补给]方法的“疑点”(1)对于底面或高不易求的空间几何体，等体积转化是常用的方法；(2)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义，那么在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略思维的“难点”对于不规则的几何体的体积，常常分割成规则的几何体或者补成规则的几何体[典例导析]完备知能(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合．命题点四球的切接问题[例1]

(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________.[答案]

2[例2]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．[解析]易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC＝2，AB＝AC＝3，且点M为BC边上的中点．[思维建模]1．多面体的外接球的求解策略涉及球与棱柱、棱锥的问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，确定球心的位置，弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．2．处理球的“切”问题的求解策略与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切于多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．[针对训练]1．(2023·聊城统考二模)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的面积分别为2cm2，8cm2，若该模型的体积为14cm3，则该模型的外接球的表面积为

(

)A．20πcm2

B．10πcm2答案：A

故该模型的外接球的球心在MN上，设为点O，连接ME，NA，OE，OA，故EM＝1cm，NA＝2cm，设ON＝ycm，则MO＝(3－y)cm，由勾股定理得EO2＝OM2＋EM2＝