2024届上海市浦东新区（四署）中考一模数学试题含解析

2024届上海市浦东新区（四署）中考一模数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若，，则的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣42．下列分式是最简分式的是（）A． B． C． D．3．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2=50°，则∠1的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．140°4．的算术平方根是（）A．9 B．±9 C．±3 D．35．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：每批粒数n100300400600100020003000发芽的粒数m9628238257094819042850发芽的频率0.9600.9400.9550.9500.9480.9520.950下面有三个推断：①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955；②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．① B．①② C．①③ D．②③6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则cos∠ECB为（）A． B． C． D．7．去年二月份，某房地产商将房价提高40%，在中央“房子是用来住的，不是用来炒的”指示下达后，立即降价30%．设降价后房价为x，则去年二月份之前房价为（）A．（1+40%）×30%x B．（1+40%）（1﹣30%）xC． D．8．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A．8 B．4 C．12 D．169．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A'B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是()A．70° B．65° C．60° D．55°10．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2,4），B（4,2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则K的值不可能是（）A．-5 B．-2 C．3 D．511．如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50° B．20° C．60° D．70°12．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（）．A． B． C． D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若，则∠B＝________°．14．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．15．在△ABC中，AB=13cm，AC=10cm，BC边上的高为11cm，则△ABC的面积为______cm1．16．点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是________．17．不等式1﹣2x＜6的负整数解是___________．18．分解因式：=______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，AB=4cm，动点P从点C出发，在BC边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q也从点C出发，沿C→A→B以每秒4cm的速度匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ，以PQ为直径作⊙O．（1）当时，求△PCQ的面积；（2）设⊙O的面积为s，求s与t的函数关系式；（3）当点Q在AB上运动时，⊙O与Rt△ABC的一边相切，求t的值．20．（6分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆．如图所示，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD⊥IC于点D．（1）试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论．（2）设AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面积之比等于m，，试作出分别以,为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程．21．（6分）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．22．（8分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，求旗杆AB的髙．23．（8分）如图1，直线l：y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y=x2+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2），设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．24．（10分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．25．（10分）图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图．图2是该市2007年4月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；在这10天中，最低气温的众数是____，中位数是____，方差是_____．请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．26．（12分）（1）化简：（2）解不等式组．27．（12分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】因为,所以,因为,故选D.2、C【解题分析】解：A．，故本选项错误；B．，故本选项错误；C．，不能约分，故本选项正确；D．，故本选项错误．故选C．点睛：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解答此题的关键．3、A【解题分析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．解：∵DB⊥BC，∠2=50°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣50°=40°，∵AB∥CD，∴∠1=∠3=40°．故选A．4、D【解题分析】

根据算术平方根的定义求解.【题目详解】∵=9，

又∵（±1）2=9，

∴9的平方根是±1，

∴9的算术平方根是1．

即的算术平方根是1．

故选:D．【题目点拨】考核知识点：算术平方根.理解定义是关键.5、D【解题分析】

①利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，n=400，数值较小，不能近似的看为概率，①错误；②利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，可得②正确；③用4000乘以绿豆发芽的的概率即可求得绿豆发芽的粒数，③正确．【题目详解】①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，此推断正确；③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒，此结论正确．故选D．【题目点拨】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．6、D【解题分析】

连接EB，设圆O半径为r，根据勾股定理可求出半径r=4，从而可求出EB的长度，最后勾股定理即可求出CE的长度．利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【题目详解】解：连接EB，由圆周角定理可知：∠B=90°，设⊙O的半径为r，由垂径定理可知：AC=BC=4，∵CD=2，∴OC=r-2，∴由勾股定理可知：r2=（r-2）2+42，∴r=5，BCE中，由勾股定理可知：CE=2，∴cos∠ECB==，故选D．【题目点拨】本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．7、D【解题分析】

根据题意可以用相应的代数式表示出去年二月份之前房价，本题得以解决．【题目详解】由题意可得，去年二月份之前房价为：x÷(1﹣30%)÷(1+40%)=，故选：D．【题目点拨】本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．8、A【解题分析】

∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故选A．9、B【解题分析】

根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．【题目详解】∵将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A'B'C，∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，∴∠AA′C=45°，∵∠1=20°，∴∠B′A′C=45°-20°=25°，∴∠A′B′C=90°-25°=65°，∴∠B=65°．故选B．【题目点拨】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．10、B【解题分析】

当直线y=kx-2与线段AB的交点为A点时，把A（-2，4）代入y=kx-2，求出k=-3，根据一次函数的有关性质得到当k≤-3时直线y=kx-2与线段AB有交点；当直线y=kx-2与线段AB的交点为B点时，把B（4，2）代入y=kx-2，求出k=1，根据一次函数的有关性质得到当k≥1时直线y=kx-2与线段AB有交点，从而能得到正确选项．【题目详解】把A（-2，4）代入y=kx-2得，4=-2k-2，解得k=-3，∴当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为k≤-3；把B（4，2）代入y=kx-2得，4k-2=2，解得k=1，∴当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第一、三象限时，k满足的条件为k≥1．即k≤-3或k≥1．所以直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是-2．故选B．【题目点拨】本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0时，图象必过第一、三象限，k越大直线越靠近y轴；当k＜0时，图象必过第二、四象限，k越小直线越靠近y轴．11、D【解题分析】题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【题目点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12、D【解题分析】从正面看，共2列，左边是1个正方形，右边是2个正方形，且下齐．故选D.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、18°【解题分析】

由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，根据在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得，再由和半圆的弧度为180°可得的度数×5=180°，即可求得的度数为36°，再由同弧所对的圆周角的度数为其弧度的一半可得∠B=18°.【题目详解】解：由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，∴，∵，∴的度数+的度数+的度数=180°，即的度数×5=180°，∴的度数为36°，∴∠B=18°.故答案为:18.【题目点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．还考查了圆弧的度数与圆周角之间的关系.14、±1．【解题分析】

根据根的判别式求出△=0，求出a1+b1=1，根据完全平方公式求出即可．【题目详解】解：∵关于x的方程x1+1ax-b1+1=0有两个相等的实数根，∴△=（1a）1-4×1×（-b1+1）=0，即a1+b1=1，∵常数a与b互为倒数，∴ab=1，∴（a+b）1=a1+b1+1ab=1+3×1=4，∴a+b=±1，故答案为±1．【题目点拨】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a1+b1=1和ab=1是解此题的关键．15、2或2．【解题分析】试题分析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD=16，CD=5，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD=2，在钝角三角形中，BC=CD-BD=2．故答案为2或2．考点：勾股定理16、﹣1＜a＜1【解题分析】

解：∵k＞0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，①当点（a-1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，∵y1＜y2，∴a-1＞a+1，解得：无解；②当点（a-1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，∵y1＜y2，∴a-1＜0，a+1＞0，解得：-1＜a＜1．故答案为：-1＜a＜1．【题目点拨】本题考查反比例函数的性质．17、﹣2，﹣1【解题分析】试题分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的整数解即可．解：1﹣2x＜6，移项得：﹣2x＜6﹣1，合并同类项得：﹣2x＜5，不等式的两边都除以﹣2得：x＞﹣，∴不等式的负整数解是﹣2，﹣1，故答案为：﹣2，﹣1．点评：本题主要考查对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．18、x（x+2）（x﹣2）．【解题分析】试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）；（2）①；②；（3）t的值为或1或．【解题分析】

（1）先根据t的值计算CQ和CP的长，由图形可知△PCQ是直角三角形，根据三角形面积公式可得结论；（2）分两种情况：①当Q在边AC上运动时，②当Q在边AB上运动时；分别根据勾股定理计算PQ2，最后利用圆的面积公式可得S与t的关系式；（3）分别当⊙O与BC相切时、当⊙O与AB相切时，当⊙O与AC相切时三种情况分类讨论即可确定答案．【题目详解】（1）当t=时，CQ=4t=4×=2，即此时Q与A重合，CP=t=，∵∠ACB=90°，∴S△PCQ=CQ•PC=×2×=；（2）分两种情况：①当Q在边AC上运动时，0＜t≤2，如图1，由题意得：CQ=4t，CP=t，由勾股定理得：PQ2=CQ2+PC2=（4t）2+（t）2=19t2，∴S=π=；②当Q在边AB上运动时，2＜t＜4如图2，设⊙O与AB的另一个交点为D，连接PD，∵CP=t，AC+AQ=4t，∴PB=BC﹣PC=2﹣t，BQ=2+4﹣4t=6﹣4t，∵PQ为⊙O的直径，∴∠PDQ=90°，Rt△ACB中，AC=2cm，AB=4cm，∴∠B=30°，Rt△PDB中，PD=PB=，∴BD=，∴QD=BQ﹣BD=6﹣4t﹣=3﹣，∴PQ==，∴S=π==；（3）分三种情况：①当⊙O与AC相切时，如图3，设切点为E，连接OE，过Q作QF⊥AC于F，∴OE⊥AC，∵AQ=4t﹣2，Rt△AFQ中，∠AQF=30°，∴AF=2t﹣1，∴FQ=（2t﹣1），∵FQ∥OE∥PC，OQ=OP，∴EF=CE，∴FQ+PC=2OE=PQ，∴（2t﹣1）+t=，解得：t=或﹣（舍）；②当⊙O与BC相切时，如图4，此时PQ⊥BC，∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，∴cos30°=，∴，∴t=1；③当⊙O与BA相切时，如图5，此时PQ⊥BA，∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，∴cos30°=，∴，∴t=，综上所述，t的值为或1或．【题目点拨】本题是圆的综合题，涉及了三角函数、勾股定理、圆的面积、切线的性质等知识，综合性较强，有一定的难度，以点P和Q运动为主线，画出对应的图形是关键，注意数形结合的思想．20、(1)D、E、F三点是同在一条直线上．(2)6x2﹣13x+6=1．【解题分析】（1）利用切线长定理及梅氏定理即可求证；（2）利用相似和韦达定理即可求解.解：（1）结论：D、E、F三点是同在一条直线上．证明：分别延长AD、BC交于点K，由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD=DK，AC=CK，再由切线长定理得：AC+CE=AF，BE=BF，∴KE=AF．∴，由梅涅劳斯定理的逆定理可证，D、E、F三点共线，即D、E、F三点共线．（2）∵AB=AC=5，BC=6，∴A、E、I三点共线，CE=BE=3，AE=4，连接IF，则△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四点共圆．设⊙I的半径为r，则：，∴，即，，∴由△AEF∽△DEI得：，∴．∴，因此，由韦达定理可知：分别以、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6x2﹣13x+6=1．点睛：本是一道关于圆的综合题.正确分析图形并应用图形的性质是解题的关键.21、,当x＝1时，原式＝﹣1．【解题分析】

先化简分式，然后将x的值代入计算即可．【题目详解】解：原式＝＝.且，∴x的整数有，∴取，当时，原式．【题目点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．22、(8+8)m．【解题分析】

利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，由AB=AE+BE可得答案．【题目详解】在Rt△EBC中，有BE=EC×tan45°=8m，在Rt△AEC中，有AE=EC×tan30°=8m，∴AB=8+8（m）．【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．23、（1）n=2；y=x2﹣x﹣1；（2）p=；当t=2时，p有最大值；（3）6个，或；【解题分析】

（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；

（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，旋转角是180°判断出A1O1∥x轴时，B1A1∥AB，根据图3、图4两种情形即可解决．【题目详解】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值．（3）“落点”的个数有6个，如图1，图2中各有2个，图3，图4各有一个所示．如图3中，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m+，∴m2﹣m﹣1=（m+）2﹣（m+）﹣1，解得m=，如图4中，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m+，B1的纵坐标比例A1的纵坐标大1，∴m2﹣m﹣1+1=（m+）2﹣（m+）﹣1，解得m=，∴旋转180°时点A1的横坐标为或【题目点拨】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，旋转角是180°判断出A1O1∥x轴时，B1A1∥AB，解题时注意要分情况讨论．24、（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=41°；（3）D（，）．【解题分析】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.延长CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠CAO=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.试题解析：（1）由题意，得解得．∴这条抛物线的表达式为．（2）作BH⊥AC于点H，∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），∴AC=，AB=，OC=3，BC=．∵，即∠BAD=，∴．Rt△BCH中，，BC=，∠BHC=90º，∴．又∵∠ACB是锐角，∴．（3）延长CD交x轴于点G，∵Rt△AOC中，AO=1，AC=，∴．∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠CAO=∠DCE．∴AG=CG．∴．∴AG=1．∴G点坐标是（4，0）．∵点C坐标是（0，3），∴．∴解得，（舍）.∴点D坐标是25、(1)作图见解析；（2）7，7.5，2.8；（3）见解析.【解题分析】

（1）根据图1找出8、9、10℃的天数，然后补全统计图即可；（2）根据众数的定义，找出出现频率最高的温度；按照从低到高排列，求出第5、6两个温度的平均数即为中位数；先求出平均数，再根据方差的定义列式进行计