2021福建福州高三数学模拟测试卷含答案解析

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2021福建福州高三数学模拟测试卷含答案解析

准考证号姓名.

（在此卷上答题无效）

2021年3月福州市高中毕业班质量检测

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第II卷用0.5毫米黑色签字笔在

答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={1,2,3,4,5},8=卜卜=2&+1»€力，则=

A.{B3}B.{2,4}C.{3,5}D.{1,3,5}

2.设复数z=a+历（aeZ,beZ）,则满足1|W1的复数之有

A.7个B.5个C.4个D.3个

3."/nW5"是"一5W0”的

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若抛物线y=77LT2上一点（人2）到其焦点的距离等于3,则

A.=—B./«=—C.m=2D./n=4

42

数学试题（第1页共6页）

5.已知函数〃x）=ln.r,则函数y=〃」一）的图象大致为

1-X

6.在AABC中，E为AB边的中点，。为AC边上的点，BD,CE交于点F.若通

沙3+•法1―,.则A会C的值为

77AD

A.2B.3C.4D.5

7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线

玲，月，…，4，已知不是边长为1的等边三角形，4.1是对Pk进行如下操作而得到：

将4的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部

分的线段去掉（4=。，1，21・）.记匕的周长为4、所围成的面积为5.对于\/〃€1<

下列结论正确的是

B.忸为等比数列

C.3A/>0,使4.VMD.>0,使S“V何

o，MIg）的图象过点（o,i）,在区间信胃上为

8.己知函数/(x)=2sin(Ox+0)(co>

单调函数，把/（X）的图象向右平移兀个单位长度后与原来的图象重合.设

n5n

且与工七，若/（3）=/（/），则/（芭十电）的值为

2'T

A.-百B.-1C.1D.G

数学试题（第2页共6页）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪

费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，

某市发起了“光盘行动某机构为调研民众对“光盘行动''的

认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客网运

人,制成如右所示的列联表，通过计算得到正的观测值为40岁以上二7二

(含40岁)4U

9.已知P(K?26.635)=0.010,P(/C210.828)=0.001,

则下列判断正确的是

A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”

B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”

C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关

D.在犯错误的概率不超过0001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关

10.如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，

则在这四个正方体中，直线AB〃平面MNP的是

11.已知尸是双曲线在第一象限上一点，耳鸟分别是E的左、右焦点,

△P”巴的面积为号.则以下结论正确的是

A.点P的横坐标为?

2

B.三〈/耳尸尸2V5

C.月入的内切圆半径为1

D.平分线所在的直线方程为3/-2y-4=0

数学试题(第3页共6页)

12.在数学中，双曲函数是•类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函

数sinhx二J^一和双曲余弦函数coshx=3二J等.双曲函数在物理及生活中有着

22

某些重要的应用，譬如达•芬奇苦苦思索的悬链线(例如固定项链的两端，使其在重力

的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线)问题，可以用双曲余弦型函

数来刻画.则下列结论正确的是

A.cosh2x+sinh2x=1

B.y=coshx为偶函数，且存在最小值

C.VJC0>0,sinh(sinhx0)>sinhx0

D",电eR,且/“smhx^sinhx2>1

MF

第n卷

注意事项：

用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.

三、填空题：本大题共4小题，每小题S分，共20分.把答案填在题中的横线上.

x+y-4<0,

13.设满足约束条件<2x+y-620,则x-2y的取值范围为.

y20,

14.(x+9)的展开式中，:的系数为.

15.在三棱锥尸-ABC中，侧面尸AC与底面ABC垂直，NBAC=90。，NPC4=30。，

AB=3.PA=2.则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

16.已知圆C的方程为(x-2『+(y-=4,过点M(2,0)的直线与圆C交于P.Q两点(点

。在第四象限).若NQMO=2NQ尸。，则点P的纵坐标为.

数学试题(第4页共6页)

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在①S“=2%+1：②q=-Llog2（a/z）=2wT：③C.i=，邑=-3、%=-4这

三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.

问题：已知单调数列｛4｝的前〃项和为邑，且满足.

（1）求｛为｝的通项公式；

<2）求数列｛—〃q｝的前〃项和7；.

18.（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A,8,C所对的边分别为,a+b=ccosB-hcosC.

（1）求角C的大小：

（2）设CD是△ABC的角平分线，求证：—+—=—.

CACBCD

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱台ABC-A,qG中，AAt=AxCi=CCl=\,AC=2.\CLAB.

（1）求证：平面ACGAJ■平面ABB,A：

（2）若NBAC=9Qo,AB=l,求二面角A-BB,-C的正弦值.

20.1本小题满分12分）

已知椭圆E：W+%=l（a>/>>0）的左、右顶点分别为4卜短，0），4（&,0）,上、

下顶点分别为4,四边形AB’,4的周长为46.

（1）求E的方程；

<2）设P为E上异于A，4的动点，直线A户与y轴交于点C，过A作4。〃户4,

交F轴于点D.试探究在x轴上是否存在一定点。，使得。己。方=3,若存在，求出点。

坐标；若不存在，说明理由.

21.〈本小题满分12分）

数学试题（第5页共6页）

从2021年1月I日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存

款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%,有效期一年，服务期间客户帐户

余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取：七天通知存款年利率为1.8%,存期须超

过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单,

年利率为384%,起点金额1000万元.(注：月利率为年利率的十二分之一)

已知某公司现有2020年底结余资金1050万元.

(1)若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股

东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同•种产品的概率；

(2)公司决定将550万元作协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户，规定

从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的x万元作

七天通知存款，准备投资高新项目，剩余(500-力万元作结构性存款.

①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；

②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金工万元用于投资高

新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得-京，+002/+

JUUlMJ

O」35x万元的收益，有20%的概率亏损O.27x万元，有20%的概率保本,问：x为何值

时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值.

22.(本小题满分12分)

已知/(V)=x2ex-1.

(1)判断/(x)的零点个数，并说明理由；

(2)若〃x)2a(21nx+x),求实数〃的取值范围.

数学试题(第6页共6页)

2021年3月福州市高中毕业班质量检测

数学参考答案及评分细则

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2.对计算题.当考生的解答在某一步出现错误时.如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的

一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C2.B3.B4.A

5.D6.C7.D8.C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.AC10.ABD11.BCD12.BCD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.[-2,4]14.515.25K16.i

2

四、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查等比数列、为与丛的关系、数列求和等基础知识：考查

推理论证能力、运算求解能力：考查化归与转化思想、函数与方程思想：考查逻辑推理、数

学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分10分.

【解答】(1)选①，即S.=2q+l.(i)贝IJ

当〃=1时，5,=2a,+l,故q=-l:.................................1分

当〃22时，=+3)

(i)(ii)两式相减得％=2°一，...........................................3分

所以｛q｝为等比数列，其中公比为2,首项为-1.......................4分

所以a.=-2i...................................................5分

选②，即q=-1,叫2(0刈1T)=.

所以当〃22时，log,(a„a„+1)-log,)=2..........................1分

数学参考答案与评分细则(第1页共8页)

即J=4........................................................................................................................2分

%

所以｛，4｝为等比数列，其中首项为q=7,公比为4,

所以a”T=-lx4i=-2(”F“・..................................................................................3分

♦得

a,=-l,log2(«,«,)=1q=-2,

同理可得，-2x4*77I(丘Z).............................4分

综上，^=-2"-'..........................................................................................................5分

选③，即，

=44+25,=-3,a3=-4.

所以｛。“｝为等比....................................................1分

则卜（：+«）=-3,解得卜=-1，或卜=-；'............................§分

I。闯、-4,匕=2,9=---

又因为｛4｝为单调数列，所以q>0,故［2，........................4分

所以q=-2~・.............................................................................................................5分

(2)由(1)知，-〃《二小？…，

所以(=1+2x2+3x22+...+(〃_1).2"-2+〃・2-T..........................................................6分

27；=2+2x22+...+(〃-2)・2Z+(n-.......................................7分

两式相减得-7；=1+2+22+…+2"-2+2"—-2...........................................................8分

=(2"-l)-n-2"..................................................................................9分

所以2"+1.................................................................................................10分

18.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识:考查推理论证能力、运算求解能力：

考查函数与方程思想、数膨结合思想：考查宜观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体

现基础性、综合性.满分12分.

【解答】解法一：（1）因为a+b=ccosB-bcosC,

由正弦定理得sinA+sin8=sinCeos8-sinBcosC,..............................................2分

®j^sin(B+C)=sin(n-A)=sin4.

J?rtAsin(B+C)+sinB=sinCcosB-sinBcosC，........................................................3分

所以2sin8cosC+sinB=0,.........................................................................................4分

因为8w(0、x),所以sinSwO,所以cosC=-；,...................................................5分

数学参考答案与部分细则（第2页共8页）

又Cw(o.7t),所以C=(................................................................................................6分

(2)因为8是ISSC的角平分线，且C=4,

3

所以4。=/88=三.............................7分

在/XABC中，S△树=Sge+SgcD、则由面积公式得

-CACBsin—^-CACDsin-+-CDCBsin-,....................................................10分

232323

即CACB=CACD+COCB11分

两边同时除以CAC5CD得'-+'-=」一•............................12分

CACBCD

解法二：(1)因为a+-=c8sS-bcosC,

由余弦定理得a+b=c♦也£上尤-6•金土Q二C.....................................................2分

2ac2ab

整理得方(〃+力)=2d_»2,BPa2+fe2-c2+^=O..................................................3分

所以叫l+2cosC)=0.........................................................................................................4分

所以cosC=--5分

2

sin一

3

CACBADDB

即nn---=---=----+----.9分

sinBsin4•虱■虱

sin-sin—

33

同理在△CA。和△C8D中，得

CDADCDDB

sinA.兀sinB.兀

sin-sui-

33

CACDCD„CA-CDCD

所以----=----+----,即a-------=----10分

sinBsinAsinBsin6sin4

数学参考答案与部分细则（第3页共8页）

wCA-CDCD,CDCD

故-------=——，即HII1=——十——，II分

CACBCBCA

故犯——1+—1=—112分

CACBCD

19.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等

基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力：考查数形结合思想：考查直

观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.

【解答】（1）依题意，四边形ACGA为等腰梯形，过A，G分4

别引AC的垂线，垂足分别为D，E,则

AD=；(AC-AG)=；x(2-l)=：=；Az^,故ZAyAC=60°.

:2222

在△ACA中，41C=41i4+4C-2A^ACcoszL414C=l+2-2xlx2x-=3,

所以«+令2"（；2,故乙3C=90。，&|]A.CLAA1...............2分

因为A。工人8,A8riAA=A，且u平面ABB^,

所以AC1平面AB娱A，.............................4分

因为ACu平面ACGA，

所以平面ACGA平面468人....................................5分

（2）因为A8J.4。，4。，/'8，从。（14。=。，且4。，入。<=平面人。。[4,

所以AB_L平面ACGA，结合（1）可知A6,AC,三条直线两两垂直.•6分

以A为原点，分别以丽，/，函的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系

4-AJZ，如图所示，则各点坐标为

A(O,O,O),B0,O,O),C(O,2,O),A,,；,4)

A

7分

由（1）知，/I,0.>/3,-1）为平面ABB.\的法向量:.

8分

BC=(-l,2,0),C,C=^0,1,-^j

设%=（x,ytZ）为平面8CG用的法向量，则

数学参考答案与评分细则（第4页共8页）

”,故n,BC=-.r+2v=0,

”普力条。眄件而小10分

n2_LC,C.

3-1

所以COS(〃1,%)11分

同同2x44

设二面角的大小为6,则sin6=H用岑............12分

20.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考杳直线与椭园的位置关系等基础知识：考查推理论证能力、

运算求解能力：考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想：考查直观想象、逻

辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分12分.

【解答】解法一：（1）依题意，。=也.................................1分

由椭圆的对称性可知，四边形为菱形，其周长为442+分=4石.….3分

所以b=l,.............................................................4分

所以E的方程为[+丁=]..........................................5分

⑵设P（小，%）,则2需=2一4.........................................6分

直线A尸的方程为y=................7分

由AO〃尸A,知AO的方程为v=—其产（工+应），故0（0,二亘Jj,.......8分

，I%-戊）

假设存在Q。，。），使得。&。方=3,则

人装

■片-2

=--1

=3............................................................10分

解得，=±2.............................................................11分

所以当Q的坐标为（±2,0）时，QCQD=3...............................12分

解法二（1）同解法一...............................................5分

数学参考答案与评分细则（第5页共8页）

（2）当点P与点片重合时，C点即用（0,1）,而点。即层（0,-1）,假设存在0（九0）,

使得M亚=3,则（TJ）（T，T=3,即，2-1=3,解得/=±2..............6分

以下证明当。为（±2,0）时，QCQD=3

设户（飞，尤），则2y：=2-q.................................................

直线AP的方程为¥=三方1+0），故..................8分

由4。〃户从2知A。的方程为'=」^[+啦），故40,逮韭），......9分

=4-1

=3.......................................................12分

说明：Q只求出（2,0）或（-2,0）,不扣分.

21.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识：考

杳数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识：考杳函数与方程思想、化归与

转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想：考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心

素养，体现综合性、应用性与创新性.满分12分.

【解答】（1）设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为4由题意知，5

个股东共有4$种选择，而恰好有3个股东同时选择同•款理财产品的可能情况为

C；.（A：+R）种，

所以P（A）=^J^^）=更.........................................4分

''45128

（2）①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为：

[（550+500+450+…+100+50）+50]x2^5

x11+50]x0.0014=4.69（万元）..............................6分

②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表

数学参考答案与评分细则（第6页共8页）

r3

投资收益，——--+0.02./+0.135人0-0.27x

30000

P0.60.20.2

.........................................................................7分

所以，高新项目投资所得收益的期望为：

£(/)=[--—+0.02x2+0.135A]x0.6+0x0.2-0.2x0.27x=-0.000021+0.01lx2+0.027.r

'，I30000)

所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：

£(x)=-0.00002V+0.012x2+0.027x+0.036x(500-x)+0.38哈x+4.69

=-0.00002/+0.012x2+22.69(0-W500)............................9分

r(x)=-0.00006(x2-400A)

令L'(x)=0,得x=400,或x=0.

由得0VxV400：由U(x)V0,得400VxV500............]]分

由条件可知，当x=40()时，L(x)取得最大值为：£(400)=662.69(万元).

所以当x=400时,该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得

最大值66269万元......................................................12分

22.(本小题满分12分)

【解答】解法一：(I)依题意，f(x)=x(x+2)e,则....................I分

当xw(-8.-2)1](。，+8)时，/'(x)>0：当xe(-2,0)时，/'(x)V0：........2分

所以/(力在区间(7,-2),(0,+00)上单调递增，在区间(-2,0)上单调递减.…・•3分

4

因为=/(l)=e-l>0.

所以