2021-2022学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三（上）期中数学试卷（解析版）

2021-2022学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三（上）

期中数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设全集为R,集合A={x|0<xW2},B={x[x>l},则AC（CRB）=（）

A.{x[0<xWl}B.{x|O<x<l}C.{x|l<xW2}D.{x,W2}

2.己知复数z满足z（1+z）=2,（i为虚数单位），则（）

A.|z|=2

B.复数z的共辗复数为三=1-i

C.复数z的虚部为-i

D.复数z是方程x2-2x+2=0的一个虚根

3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥各棱棱长的最大值为（）

2\2k

C.2&D.V5

4.如图，在平面直角坐标系x。），中，点M（x,y）为阴影区域内的动点（不包括边界），

则下列不等式恒成立的是（)

A.sin(x+y)>0B.tan(x+y)>0C.sin(x+y)<0D.tan(x+y)<0

已知则片是成立的（

5.a>0,b>0,“1>319+'"a>b”)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

6.在正方体ABCD-ASGOi中，P,。分别是BG和C。的中点，则下列判断错误的是

()

A.PQLCC\B.PQ_L平面AiACG

C.PQ//BDD.PQ〃平面48。

jr

7.已知x€（0,j-）,则下列各式中正确的是（）

A.Inx>x-IB.x<sinxC.xz<2xD.x+cosx>----

2

8.给定曲线r：x2-盯+y2=3,P（x,y）为曲线「上任一点，给出下列结论：

①-2y4+《2人

②尸不可能在圆好+炉=2的内部；

③曲线「关于原点对称，也关于直线y=±x对称；

④曲线「至少经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.

其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知函数f（x）=4+卜-。|-4|在［-1,1］上的最大值为3,则实数。的所有取值组成集

合为（）

A.[1-h^-,7^1]J[-5,-3]B.[1,7]

yy

c.{1」坐，7-^-,-5,-3)D.{-5，-3,1,7)

gy

10.已知数列{小}满足0=1,an+1=^(an+l)(an-^-l)(n€N*),则()

A.5Vo2021Vl2B.12V。2021Vl9

C.19<〃202i<26D.26Vo2021V33

二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每小题4分，单空题每小题4分.

I1.设X>1,若10g2(10gM)+10g4(10gl6X)+10g|6(10g2X)=0,则10g2(lOgl6X)+logl6(10gU)

+1Og4(10g2X)=.

12.若多项式/+/=加+。|(x+1)+-+ai(JC+1)7+a«(x+1)8,贝!]ao+ai+2a2+。3+。4+。5+。6+。7+〃8

'g(x),x<0,

13.已知f(x)=<若y=/(x)为奇函数，则f(g(-1))=_____；若y

2x-4,x>0

=fQx)为偶函数，则/⑴20的解为.

14.将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用：表示两名科学家之间的航

天员人数，则E(2)=，D(J)=.

15.已知△ABO和△CBO是同一平面内共斜边的两个直角三角形，4B=1,8C=&,NABC

=135°,则8。的长为,cosZDBC=.

22

16.已知Ft,尸2是双曲线r：》-%=l(”>°，b>0)的左、右焦点，4,B分别在双

曲线的左、右两支上，且满足瓦=入不(入为常数)，点C在X轴上，而=3彳，

BK-BKBK-BC

&「■=••&•,则双曲线「的离心率为_______________.

|BFt||BC|

17.点尸是外接圆半径为1的正〃边形内或边界上的点，记|拓+巨豆+…+可|

的最大值为M,当〃=6时，M=；当〃=5时，M=.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知函数f(x)=2sin(x—JT)，将y=/(x)的图象横坐标变为原来的1《，纵坐标不变，

62

再向左平移2个单位后得到g(%)的图象.

6

TT

(1)求g(X)在［0,彳］上的值域；

(2)在锐角△ABC中，若g(?)W§,求tanA+tanB的取值范围.

19.如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC=2®,。为BC中点，E,尸分别为AC,AO中

点，现将△A8O绕边AO翻折至△PAO,使面P面AOC.

(1)证明：E/U平面PAD-,

(2)若。是线段尸F上的动点，求当PC与EQ所成角取得最小值时，线段FQ的长度.

20.已知数列｛%｝满足。|=1,%+1=3m+2,neN*.数列｛仇｝满足加=1,S)+i-n=Sn+bt,+n+\,

其中S,为数列｛仇｝是前〃项和.

(1)求数列g“｝的通项公式；

2(b+n)15

(2)令c尸/J、,求数列｛/｝的前〃项和A,并证明：2WT”〈殍.

n(an+l)4

21.如图，己知抛物线C：f=4y,过直线/：y=x-4上任意点P作抛物线的两条切线，切

点分别为A,B.

(1)直线AB是否过定点。？若是，求出定点。的坐标；若不是，请说明理由；

(2)设例为AB的中点，连接PM交抛物线于点M连接8N并延长交AP于点Q,求

△ANQ面积的最小值.

22.已知函数/(x)=-^-x2-a.

(1)若函数y=/(x)在x=2处的切线斜率为1,求。的值;

(2)若/(X)有两个极值点为XI,XI,且X1<X2,

①求实数”的取值范围；

②若不等式/(Xl)-/<X2)>b(婷-也2)恒成立，求实数5的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设全集为凡集合A={x|0<xW2},8="仇>1},贝IJAC(CRB)=()

A.{x[0<xWl}B.{x|0<x<1}C."|1<XW2}D.{小W2}

【分析】求出B的补集，求出AC(CRB)即可.

解：♦.•全集为R,8={小>1},

•.,A={x|0<xW2},贝IJ4n(CRB)={X[0<X<1},

故选：A.

2.已知复数z满足z(1+D=2,(i为虚数单位)，则()

A.|z|=2

B.复数z的共轨复数为三=1-i

C.复数z的虚部为-i

D.复数z是方程x2-2x+2=0的一个虚根

【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，求出z=l-i,即可依次求解.

解:,:z(1+0=2,

.2.2(l-i)一

对于A,|Z|=J[2+(_])2=&,故A错误，

对于8,复数z的共轨复数为W=l+i，故B错误，

对于C,复数z的虚部为-1,故C错误，

对于D,V(1-02-2(l-i)+2=0,

复数z是方程/-2x+2=0的一个虚根，故。正确.

故选：D.

3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥各棱棱长的最大值为()

D.V5

【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出四棱锥的各棱长，进一步确

定结果.

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥

根据几何体的三视图中的线段的长，AABE为等边三角形,

所以AE=AB=BE=OE=2,CB=\,

--二正+22=2I2+22=V5>AC=V22+12=V5）

故选：C.

4.如图，在平面直角坐标系x。），中，点M（x,y）为阴影区域内的动点（不包括边界），

则下列不等式恒成立的是（）

A.sin(x+y)>0B.tan(x+y)>0C.sin(x+y)<0D.tan(x+y)<0

【分析】根据题意，分析可得0Vx+)，<m结合三角函数的性质分析可得答案.

解：根据题意，阴影区域的两条边界直线为x+y=0和x+y=m

若点y)为阴影区域内的动点，则有0<x+y<7i,

必有sin(x+y)>0,

故选：A.

5.已知a>0,Q0,则“1解是“心〃，成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

解:由ln--=ln(2a)-Inb>3b-32a-得/〃(2a)^-32a>lnh+3b,令/(x)=lnx+y,f

(x)在(0,+8)上单调递增.

又fC2a)>f(Z?),贝!J即当。>0,b>0时，-9'=>2。>匕从而不能

得到。>4所以充分性不满.

显然，a>b=^2a>b=>f(2a)>f(b)=1第〉3》.

所以应该是必要不充分条件.

故选：B.

6.在正方体ABCC-ABiG。中，P,Q分别是BG和CQ的中点，则下列判断错误的是

()

A.PQVCC\

C.PQ//BDD.PQ〃平面48。

【分析】根据题意，连接C。、BD,分析可得。也是CQ的中点，由中位线定理可得

PQ//BD,由线线平行的性质可得AB都正确，。错误，即可得答案.

解：根据题意，如图：连接G。、BD,

正方形COQiG中，。是C。的中点，则。也是的中点，

又由P是CA的中点，则PQ是△BOG的中位线，则有PQ〃8。，选项C正确；

又由CG,底面A8C3,则CC」BD,则有尸QLCG,选项A正确；

又由平面4ACG,则有PQJ_平面AACG,选项B正确；

8。与平面ABA相交于点3,故PQ也与平面A89相交，选项。错误；

故选：D.

7.已知x€(0,—则下列各式中正确的是()

_7T

A.lnx>x-1B.x<sinxC.x^<2xD.x+cosx>---

2

【分析】对于A选项：可以构造函数，利用导数判断其最小值，即可判断A错误；

对于B选项：方法一：构造函数，利用导数判断其单调性，即可判断B选项；

方法二：利用三角函数线，x€(0,夕)时，situ<x<tanx,即可判断B选项错误；

对于C选项：利用基函数和指数函数的图像与性质即可判断C正确；

对于。选项：由0<=--x<白，结合B选项即可得到。选项错误.

22

1Y-1

解：对于A选项：f(x)-1-bvc,f，(x)=l---,

XX

当元>1时，/(x)>0,/(工)单调递增，当OVxVl时，，(x)<0,单调递

减，

所以当元=1时，取极小值，即为最小值，/(I)=0,

所以/(%)=x-1-所以故A错误;

jr

对于B选项：方法一：设/(x)-sinx,x€(0,f(幻—1_cosx>0,

TT

所以f(x)在区间(0,下-)单调递增，

由jf(O)=0,所以f(x)>0,BPx>sinx,

TT

方法二：根据三角函数线可知，当x€(0,夕)时，sinx<x<tanx,

故8错误；

对于C选项：由基函数和指数函数的性质可知，当X6(0,2)时，/<2，，

TT

所以当x€(O,—故C正确；

1I"JI"JI

对于。选项：由x€(0,*,则0<1--x〈”-，由B选项可知，

/兀\兀

sin(—--x，

JT

所以x+cosx〈k，故。选项错误；

故选：C.

8.给定曲线「：/-盯+V=3,P(x,y)为曲线「上任一点，给出下列结论：

①-273《*+/<2的；

②尸不可能在圆炉+)，=2的内部；

③曲线「关于原点对称，也关于直线y=±x对称；

④曲线「至少经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点).

其中正确命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用基本不等式求解判断①；利用基本不等式求解范围判断②；利用对称性判

断③；判断整数点的坐标是否满足方程，判断④.

解：/-盯+)2=3,可得(x+y)2=3+3xyW3+3(x+y)2,所以(x+y)2<12,

"4

可得-2F<x+y<2F；所以①正确；由①可知2・/+产=3+冷<6,所以②正确；

用-x换x,-y换y,方程不变，所以曲线r关于原点对称；也关于直线y=±x对称；％

y互换，方程不变，所以曲线关于y=x对称，用-x换y,-y换x,方程不变，所以曲

线关于y=-x对称，所以③正确；

当x=l时，方程化为：>'2-y-2=0,解得y=-l,y=2,即曲线过两个整点，(1,-

1),(1,2),同理x=-l时，，方程化为：y+y-2=0,解得y=l,-2,曲线过两个

整点，（-1,1）,（-1,2）,由③可知曲线经过（（-1,-2）,（-2,-1）.所

以④正确.

故选：D.

9.己知函数/（x）=H+|x-a卜4|在［-1,1］上的最大值为3,则实数a的所有取值组成集

合为（）

A.［1-k^-,7-^-］U［-5,-3］B,［1,7J

99

c.（1-^p-,7-^-,-5,-3}D.{-5,-3，1,7}

99

【分析】根据最值的性质，结合任意性和存在性的性质进行求解即可.

解：由函数/（X）=H+印-川-4|在［-1,1］上的最大值为3,

则kMx-a|-4|W3对xe［-1,1］恒成立，且至少存在一个xo€［-1,1］,使等号成立，

即1-%3忘以-。怔7-%3对比［-1,1］恒成立，且至少存在一个xo€［-1,1］,使等号成立，

若以-a|W7-V恒成立，可化为dnx-7Wa<--+x+7对-1,1］恒成立，且至少存

在一个xol-1,1］,使等号成立，

所以a=-7）maJ（S.a—（-J?+X+7）

显然函数y=V+x-7在［-1,1］上是增函数，因此当x=-l时，有最大值为-5,所以a

=-5,

y=-；r3+x+7可得y=-3/+1,当炬（-1,-返）时，y'vo,此时函数递减，

3

当（-返，返）时，y>o,此时函数递增，当底（返，1）时，y<o,此时函数递

333

减，

当x=l时，y=7,当》=-零时，y=7-Z常，此时最小值为7-2乎，

若1-RWW-a|恒成立，可化为〃WV+x-l,或-3+x+l对-1,1］恒成立，且至

少存在一个为日-1,1］,使等号成立，

所以4=（R+X-1）3且。=（-dhr+l）min,

显然函数y=^+x-1在［-1,1］上是增函数，因此当工=-1时，有最小值为-3,所以。

=-3,

由y=-r+x+1得y=-3/+1,当xe（-1,-返）时，y<0,此时函数递减，当（-

3

返，返）时，y>o,此时函数递增，

33

当（专，1）时，y<0,此时函数递减，当x=l时，y=l,当时，y=l+等

此时最大值为i+-2叵，

9__

所以满足条件的。的值的集合为｛7-当巨，1+Z返，-5,-3）.

99

故选：C.

10.己知数列｛。〃｝满足0=1,an+1=J（@n+l）（@八十工-1）（n€N*）,则（）

Van

A.5V〃2021<12B.12Va2021Vl9

C.19Va2021V26D.26<。2021<33

【分析】由题意可知，an+i>a„,因此可得a〉a；〉n-l,即2门〉右，因此

d

aa<1o1

n+l_n3/-^'利用累加法，化简整理可得.<1„3,即可求得他021

2Vn2an^aiH-1^2

取值范围.

解：因为a：+「a：=，->0,所以如+|>0”所以a：+i-a，>an（a：+i-a：）=l，

an

所以a：-a；>n-l,所以a门>右，

11

又因为a

"n+1n~a(+a/小吃2<2a：21

n%1tH2annr?'

所以an+i-=(an+\-an)+(an-an-i)+•••+(t/2-tzi)

11爰+…+

~T^七］

n3(n-l)33n33(n-1)T3X23

J_J,

、1_k__-(k-l)=k3-(k-l)3,

因为51~

3k3k3+k3(k-l)3+(k-l)3

所以"I■［专4---^^,■・+±］</£(n3_l)=-n3-1,

n3(n-l)3l3

1

所以an<~<p

所以r7<公<33",所以

n、a42n

12<12.6432-病五<a2021<1^2021^国9647<19,

故选:B.

二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每小题4分，单空题每小题4分.

11.设X>1,若log2(logu)+log4(log|6X)+10gl6(log2X)=0,则10g2(log|6X)+10g［6(log4X)

+10g4(10g2X)=-一_・

4-

【分析】利用对数的运算性质求解.

解：V10g2(10g4X)+log4(10gl6X)+10gl6(10gU)=0,

lo§2(■^■log2X)+~~log2(■^■log2X)+~1°g2(logu)=0,

_1_1

wX24

••log2［ylog2x(Y1°S2^•(lo］一°,

11—1_

••.ylog2x-±(log2X)2-(log2x)4-l.

_1_1

24

**lo§2X*(log2x)•(log2x)%

丁log2(10gl6X)+logl6(logu)+log4(lOgiX)=

JL11j_x

49

log2弓log2*'glog2X)4•(1。g2>)之］—log?(/)-log22~~i

故答案为：--y.

4

12.若多项式炉=4()+。］(x+l)+…+。7(x+l)(x+l)8,则&0+。1+2a2+43+〃4+。5+%+。7+"8

=29.

【分析】通过赋值可直接求得结果.

解：令工=0,

□J得〃0+。|+2。2+。3+44+。5+。6+。7+48=0,

令X+l=f,

所以X=L1,

原式化为(L1)2+(/T)8=〃()+〃］什42产+...产，

政为产的系数,

所以I2-(-1)-29,

所以。0+。1+2。2+。3+。4+。5+。6+〃7+。8=29

故答案为：29.

'g(x),x<0,

13.已知f(x)=4若y=f(x)为奇函数，则f(g(-1))=0；若y

2x-4,x>0

=/(x)为偶函数，则f(x)20的解为(-8,-偶味[2,+8).

【分析】由奇函数的定义和已知函数的解析式，求得x<0时，g(x)的解析式，可得g

(-1),进而得到了(g(-1))；由偶函数的定义求得x<0时，f(x)的解析式，对

x讨论，分x>0,x<0,可得不等式组，解不等式可得所求解.

解：设xVO,则-x>0,由x>0时，/(x)=2,-4,

可得-x)=2)-4,

又y=/(x)为奇函数，可得/(-x)=-/(x),

则-f(x)=2-x-4,即f(x)=-2'x+4,

即有g(x)=-2-v+4,

则g(-1)=-2+4=2,f(g(-1))—f(2)—4-4=0；

若y=f(x)为偶函数，则/(-x)=f(x),

当x<0时，f(x)=2)-4,

fx>0(x<0

则/(x)2o等价为4或<_,

2x-4>0I2-x-4>0

解得x22或xW-2,

所以解集为(-8,-2]U[2,+8).

故答案为：0,(-8,-2]U[2,+8).

14.将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用《表示两名科学家之间的航

天员人数，则E(孑)—1,D(0—1.

【分析】先求出随机变量S的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望和方差的

计算公式求解即可.

解：由题意可知，E的可能取值为0,1,2,3,

所以P丹=0）

p（日）

PF=2)

A2A3

P(；=3)1

10

所以E(E)=0X—+1X———F2X—+3X1,

510510

E(E2)=OX^H-1X—+4X^+9X—=2,

510510

D(p=E(产)-E2(《)=1.

故答案为：1;1.

15.已知△AB。和△CB。是同一平面内共斜边的两个直角三角形，A8=l,BC=M，ZABC

=135°,则8。的长为_百5_,cosZPBC-$

一5一

【分析】在aABC中由余弦定理计算得AC,由△43。和△C8。是同一平面内共斜边的

两个直角三角形可推出A,B,C,。四点共圆且8。为圆的直径，在△AC£>中，由正弦

定理求得外接圆直径，即8。的长度，最后在直角三角形BCD中计算cos/OBC.

解：因为48=1,8C=圾，NA8C=135°,

在AA8c中，由余弦定理有AC^^AB^BC2-2AB-BCcosZABC,

即4（?=1+2-2*1><^乂8$135°=5,

所以AC=j\f^,

因为△AB。和△C8O是同一平面内共斜边的两个直角三角形，

所以NBAO=/BCZ）=90°,

所以A,B,C,力四点共圆且BO为圆的直径,

设外接圆半径为R

因为NABC=135°,

所以NAZ）C=45°,

Vs

AC

在△ACO中，由正弦定理得=，I5=2R,

sinZADC

~2~

所以BD=2R—yf]X),

在直角三角形BCD中，cos/DBC=更恒

_BDV105

故答案为：♦io；Y5.

5

16.已知Fi,巳是双曲线「：-^--^-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，4,B分别在双

azbz

曲线的左、右两支上，且满足瓦=入不(入为常数)，点C在X轴上，CB=3F7A>

BFn-BF,BF9-BC-

J,.1,=.,,则双曲线「的离心率为_或_.

|BFj|BC|—一

【分析】由题意可得EB=2c,由而=3取，得FaA〃CB,进而可得△RAF2s△QBC,

BF'BF<BF„-BC

推出BC=4c,设AB=f,则BC=3f,由一2--=—工一可知，BF2平分NRBC,

|BFi||BC|

BLFiF91

由角分线定理可知，一?r再结合双曲线的定义，即可得出答案.

BCF2c4c2

解：由题意可得FIF2=2C,

因为而=3F2A,

所以FM〃CB,

所以△RAF2s△RBC,

所以BC=4c,

设AF2=f,则BC=3/,

BK-BF\BF9-BC

由一--■=—区一可知，8尸2平分/KBC,

|BFj||BC|

FIF

由角分线定理可知，一BF.=一2=个2c=±1，

BCF2c4c2

Q+1+0

所以BFt=以，AFi^—BF^—,AB^—BF\=t,

2323

由双曲线的定义知，AF2-AFi=2a,

所以r-5=2a,即r=4.①，

BF\-BFi—la,

所以8尸2=孚-2a=t,

2

所以BF2=AB=AFi=t,

即△ABB是等边三角形，

所以/F28C=/A8F2=60°,

在△BBC中，由余弦定理知，

222

BF?+BC-FnC

cosZFiBC--------------,

2BF2-BC

即_l=t2+9t276c2

22t-3t

化简得7尸=16。2,

2

由①②可得，写=7，

a

所以离心率e=£=J],

a

故答案为：,^7-

17.点尸是外接圆半径为1的正〃边形4A24内或边界上的点，记|为+可+…+凤|

的最大值为M，当〃=6时，M=6；当”=5时，M=5.

【分析】利用正〃边形的性质得到西+福+.“+西=五，再利用向量的线性运算得到

引+福+...+祝=“玩即可得解.

解：设正"边形AAA的中心为0，则西+福+...+西=节，

•*-OF+PA^+OP+PA^+-+OP+PA^=0>

++,

PA1+PA2-PAn=«po

+

.".|PA1+PA2-+PAnl=l«p3<«,

当尸点在圆上时等号成立，

.,.当”=6时，M=6,当〃=5时，M=5.

故答案为：6,5.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知函数f(x)=2sin(x―兀)，将尸/⑴的图象横坐标变为原来的14,纵坐标不变，

62

TT

再向左平移专个单位后得到g(X)的图象.

(1)求g(X)在［0,上的值域；

(2)在锐角△的(:中，若求tanA+tanB的取值范围.

【分析】(1)由题意利用函数丫=击也(3X+(p)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，

再根据正弦函数的定义域和值域，求得g(X)在［0,亍TT］上的值域.

(2)由题意求得C,可得A+8的值，再利用两角和的正切公式、基本不等式，求得tanA+tanB

的取值范围.

兀1

解：(1)函数f(x)=2sin(x-)，将尸/⑴的图象横坐标变为原来的《纵坐标

62

jr

不变，可得y=2sin(2x--)的图象；

6

TTJT

再向左平移k个单位后得到g(x)=2sin(2x+—)的图象.

66

TTTTTTOTTJT1

在[0,—―]_t,2XH"——E[—~f———],sin(2XH•——)€[---,1],g(x)E[1,2],

466362

即函数g(x)的值域为[1,2].

⑵在锐角AC中,若；.c+*拳或c++号

求得C=W~,或C=W■(舍去)，.•.A+6=5兀，tan(A+8)=tanA+tanB=一返,

6261-tanAtanB3

2

求tanA+tanB=-四(1-tanAtanB)=返(tanAtanB-1)tanA+tanB

)71，

332

(tanA+tanB)?_]L

即tanA+tanB

4

即(tanA+tanB)2-(tanA+tanB)-4>0,

求得tanA+tanBW2-4,或tanA+tanBn2J^+4.

由于tart4>0,tanB>0,tanA+tanB,

即tanA+tanB的取值范围为[2&+4,+~).

19.如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC=2&,。为BC中点，E,尸分别为4C,AD中

点，现将△然力绕边A。翻折至△以，使面面AOC.

(1)证明：平面PAD；

【分析】(1)由A£»_LCC,EF//CD,可得而面厚£>_£面AOC,由面面垂直

的性质定理容易得证；

(2)作图，判断/GEH就是直线EG与平面PEF所成角，此时的〃就是满足条件的点

。，然后再转化到△PAD中，解三角形即可得解.

解：(1)证明：•••在等腰直角△ABC中，D为BC中点,

J.AD1CD,

■:E,尸分别为AC,AD中点,

.♦.E尸为△ACO的中位线，贝IJE尸〃CD,

：.AD±EF,

又面面AOC,面如。C面AZ)C=A。，EFu平面AC。，

，EF_L平面尸4£)；

(2)如图，取P4中点G,连接EG,则PC与EQ所成角即为NGEQ,

当。在线段尸尸上运动时，EQ为平面PEF内的动直线，而EG是平面的斜线，则当EG

与EQ所成角取得最小值时，ZGEQ为直线EG与平面PEF所成的线面角,

又£7」平面PAD,在内过G作GHVPF,则GHu平面PAD,故EF±GH,

又GHLPF,EFQPF=F,EFu平面PEF,PFu平面PEF,

平面PEF,

ZGEH就是直线EG与平面PEF所成角，此时的H就是满足条件的点Q,

如图，等腰直角三角形PAD中，AD=PD=2,则

PF=V^,PG=AG=亚，sinZPFD-^-,cos/PFD亶

55

.z//兀、z兀/71yflO

♦・sinNAPF=sin(NPFDq-)二sin/PFDcoS-T-COSNPFDsirr^-

3收如

•"PH=PG"cosZAPF=>/2X

105

275

••FH=PF-PH=

20.已知数列｛%｝满足西=1,期+1=3斯+2,nGN*.数列｛/?"｝满足"=1,S„+i-n=S„+b„+n+\,

其中S.为数列｛6｝是前〃项和.

(1)求数列｛如｝,｛d｝的通项公式;

⑵令「叼2(b+。n)求数歹叫的前〃项和7"'并证明：2.＜华15

【分析】(1)。"+1=3为+2可得。”+1+1=3m+3=33+1),又0+1=2,从而可构造出

等比数列｛斯+1｝,进一步即可得到｛a”｝的通项公式；根据S”+i-〃=*+〃"+〃+1,得Si+i-

Sn—b,,+(2H+1),ERb,i+i-htl—2n+\,从而利用累加法即可求出｛d｝的通项公式;

2

2(bn+n)2(n+n)n+1

(2)由(1)可知C,从而利用错位相减求和

nn-1n-1

n(a「l)n(2-3-l+l)3

法即可得到T，，进一步结合｛〃｝的单调性即可证明2W。〈学

解：(1)由丽1=3。田2,得斯+i+l=3a“+3=3(a„+l),又卬+1=2,

｛如+1｝是以2为首项，以3为公比的等比数列,

nl

.,.a„+l=2»3,即an=2'y~'-1；

SSn+i-n=Sn+bn+n+\,得S,+i-S：=6"+(2〃+1),即6"+i-"=2〃+1,

bn-bn-\=2(n-1)+1=2〃-1,

b=(b"bn-\)+(-b〃-2)+…+(岳-6)+加=1+3+=，+(2w-1)=—(1+2〃

nn2

-1)=层;

2(b”)2(n2+n)_n+1

(2)证明:由(1)可知Cn=

(n-1-n-1：

n(an+l)n2-3-l+l)3

234n+11234n+1

，。=求+”+至+…+百则小7"=~T+~9+~T+…+

oOOO33132333n

二(1—)

讨,口22111n+13'n+1__5

两式相减得57"=9+£+至+…+'与~=2+----'——

3n~2

1万

2n+5

2-3n

.T_152n+5

・""-『4.3x1("6N*)；

152n+7152n+5_6n+152n+74n+8

.\Tn+l-T„=(4------)(---------1)—-----=----->0

44-3n44-3n-14-3n4・3n4・3n

二｛北｝是递增数列,又〃=l时，7=2,

2n+5

VnGN\P>O,

4-3n-

15_2n+5

T4-3n-1V'

综上，2忘7；＜三.

4

21.如图，已知抛物线C：f=4y,过直线/：y=x-4上任意点尸作抛物线的两条切线，切

点分别为A，B.

(1)直线AB是否过定点0?若是，求出定点。的坐标；