【行程问题奥数】暑假五升六奥数思维拓展-环形路线问题-人教版（含解析）

【行程问题奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-环形路线问题-

人教版

一、填空题

1.小刚的爸爸自制了一套电动玩具。当闹钟分别正点指向上午7点和中午1点时，电子狗

便吹号。一旦表盘上分针与时针走成反向一条直线，电子狗便“汪……汪’’叫唤。小刚爸爸欲

用此物提醒小刚吃早餐和睡午觉。问小刚在睡午觉过程中，花去（）分钟。

2.有甲、乙、丙三只船，甲船每小时航行6千米，乙船每小时航行5千米，丙船每小时航

行3千米。三船同时、同地、同方向出发，环绕周围是15千米的海岛航行，（）小时

后，三船再次相会在一起。

3.（2003年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙

的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少

20%,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道

的周长是米.

4.如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步.跑道右半部分（粗

线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8

米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米.两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相

遇的地方距A点还有米.

A

O

5.有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，

乙每分钟跑400米，经过分钟二人第一次相遇.

6.在一个边长为1米的正方形木框48CZ）的两个顶点A、3分别有两只蚂蚁甲、乙,沿着木

框逆时针爬行，如图.10秒钟后甲、乙距离B点的距离相同.30秒钟后甲、乙距8点的距

离又一次相同.则乙蚂蚁沿木框爬行一圈需秒.

7.甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，甲每秒钟跑8米，乙每秒

钟跑6米。

(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇?

(2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

8.如图，两只小爬甲和乙虫从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在距C

点32厘米的E点它们第一次相遇，在距D点16厘米的F点第二次相遇，在距A点16厘

米的G点第三次相遇，求长方形的边AB的长。

9.己知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。

而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同;猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、

兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了

多少路程？

10.丁丁和丽丽从圆形街心花园的同一地点出发，同向而行，20分钟后两人再一次相遇。

丽丽每分钟走70米，丁丁每分钟走85.7米。这个圆形街心花园的占地面积是多少？

11.乌龟和兔子从同地点出发，背向而行，在环形跑道上赛跑，经过25分钟相遇。这条跑

道长多少米？相遇时兔子比乌龟多跑了多少米？

12.运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘带了记时

表，立刻骑上自行车送表给小明，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练

骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练送表给小明至少需要多少小时？

13.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、

丙相背而行.甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米.在途中，甲和乙相

遇后3分钟和丙相遇.问：这个花圃的周长是多少米？

14.小胖和小巧每天坚持到学校进行晨跑，在环形跑道上，两人从同一地点出发，沿着相反

方向跑步，小胖每秒跑2米，小巧每秒跑3米，经过1分钟20秒两人相遇，学校跑道多少

米？

15.如图，在长为400公尺的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长100公尺。甲从A点、

乙从B点同时出发相背而跑。两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时乙恰好

跑到B。继续跑若甲追上乙时，甲从出发开始算起共跑了多少公尺？

16.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.

(1)小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是

多少米/分？

(2)小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

17.如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时

从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了

25%,乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的

速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？

18.小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。小张速度是每小时5.4千米,

小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张

与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周的行程是多少千米？

19.如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米.甲的速度为

每秒6米，乙的速度为每秒4米.甲、乙二人同时由A点起跑，方向如图所示，甲沿大圆

环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙

只沿小圆环跑.问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？（路程按甲跑的计算）

20.一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行。黄莺每分钟走66米,

麻雀每分钟走59米。经过几分钟才能相遇？

21.下图中有两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米，小圆直径30厘米.两只甲虫同

时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行.问：当小圆上甲虫爬了

几圈时，两只甲虫首次相距最远？

参考答案:

1.38—

11

【解析】

时针和分针都是顺时针方向转动，1点时，分针落后时针30度，当分针与时针走成反向一

条直线时，时针与分针夹角180度，这段时间里分针比时针多走了210度，分针每分钟走6

度，时针每分钟走0.5度，按照行程问题求解。

【详解】

（30+180）-（6-0.5）

=210+5.5

2

=38—（分钟）

2

所以小刚在睡午觉过程中，花去38百分钟。

【点睛】

本题考查的是钟表里面的行程问题，路程差、速度差、追及时间的关系同样适用。

2.15

【解析】

【分析】

三船再次相会在一起，即甲追上乙，同时乙追上丙，甲每追上乙一次，需要15小时，乙每

追上丙一次，需要7.5小时，15正好是7.5的2倍，所以15小时三船再次相会在一起。

【详解】

154-（6-5）

=15+1

=15（小时）

15+（5-3）

=15+2

=7.5(小时)

15+7.5=2

所以15小时后，三船再次相会在一起。

【点睛】

本题考查的是多个人的追及问题，并与公倍数的问题相结合。

3.150或300

【解析】

【分析】

【详解】

如图，设跑道周长为1,出发时甲速为2,则乙速为5.假设甲、乙从A点同时出发，按逆

时针方向跑.由于出发时两者的速度比为2:5,乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此时甲跑了

1+(5-2)x2=：,乙跑了;；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2x(1+25%)=2.5,乙

的速度变为5x(1-20%)=4,此时两者的速度比为2.5:4=5:8；乙要再追上甲一次，又要比

甲多跑1圈，则此次甲跑了1+(8-5)X5=|,这个g就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇

点的路程.从环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是

三5-1=2；个周长，又可能是2-5：=1：个周长.

3333

21

那么，这条环形跑道的周长可能为100+彳=150米或100弓=300米.

33

4.150

【解析】

【分析】

【详解】

本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各

自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用

的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相

遇，然后再从A点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期.

在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是

两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点

第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数

次相遇点都是A点.本题要求的是第99次迎面相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是

第一次相遇点与A点的距离.

对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出

发到跑完正常道路时，乙才跑了200+8x4=100米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞

道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇.所以第一次相遇时乙跑了

100+50=150米，这就是第一次相遇点与A点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与A点

的距离.

5.6

【解析】

【详解】

6004-（400-300）

=600+100

=6（分钟）

故答案为6.

【点睛】

考查环形路线上的追及问题.两人第一次相遇时乙比甲多跑一圈.根据追及时间=路程差十

速度差得解.

6.120

【解析】

【详解】

由题意分析可知，两只蚂蚁的速度和是速度差是，；

乙蚂蚁速度：（、-《）+2='（米）

乙爬一圈需要：卜4+呆120（秒）

故答案为120.

【点睛】

此题是较复杂的环形跑道上的行程问题，快的追上慢的，关键是抓住图示明白10秒钟后甲、

乙距离B点的距离相同，实际上是甲乙共行了一个AB边长,就能求出速度和,30秒钟后甲、

乙距8点的距离又一次相同，说明甲、乙在B点的同一侧.甲追上乙两人相遇，就能求出

速度差.根据和差公式求出乙的速度，再进一步求解乙爬一圈需要的时间.

7.(1)28秒；

(2)196秒

【解析】

【分析】

(1)相遇时间=(跑道一圈的长度-8米)一(甲的速度+乙的速度)；

(2)求两人首次相遇就是求甲追上乙的时间，从开始到相遇甲比乙多跑了(400-8)米，

追及时间=路程差一(甲的速度一乙的速度)；据此解答。

【详解】

(1)(400-8)+(6+8)

=392+14

=28(秒)

答：经过28秒两人首次相遇。

(2)(400-8)+(8-6)

=392+2

=196(秒)

答：经过196秒两人首次相遇。

【点睛】

掌握环形中相遇和追及问题的解题方法是解答题目的关键。

8.64厘米

【解析】

【分析】

由题意和图示知甲三次走的路程相等：AB+BE=EC+CF=FD+DA+AG,也就是AB+

AD-32=AB+16=16+AD+16,由此求出答案即可.

【详解】

甲和乙既然是相遇问题，说明时间相同。以甲分析为例，甲三次相遇所走的路程应该是相同

的，即：AB+BE=EC+CF=FD+DA+AG,也就是AB+AD-32=AB+16=16+AD+

16o

得到AB=64厘米。

【点睛】

此题属于多次相遇问题，“甲三次相遇所走的路程应该是相同的”是解题关键。

9.猫跑8437.5米，狗跑23437.5米，兔跑16537.5米

【解析】

【分析】

由题意，根据路程、时间之间的关系，可以求得猫与狗的速度之比为9：25,猫与兔的速度

之比为25：49。设单位时间内猫跑1米，则狗跑半米，兔跑垓米；据此可求狗追上猫一

圈需要的时间以及兔追上猫一圈需要的时间；进而求出猫、狗、兔再次相遇的时间，则各自

跑的路程可求。

【详解】

由题意可知，猫与狗的速度之比为9：25,猫与兔的速度之比为25:49。

2549

设单位时间内猫跑1米，则狗跑］米，兔跑石米;

狗追上猫一圈需300+（--1）=半

（单位时间）

94

49625

兔追上猫一圈需300+（g-1）=券（单位时间）

猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是空的整数倍，又是竺的整数倍。

42

号与等的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即

675625[675,625]

VV1-（4,2）—8437.5

上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第1次相遇。此时，猫跑了8437.5米，狗

25

跑了:8437.5xy=23437.5（米），

49

兔跑了8437.5X—=16537.5（米）。

25

答：当它们出发后第一次相遇时，猫跑了8437.5米，狗跑了23437.5米，兔跑了16537.5米。

【点睛】

首先根据它们的速度比求出狗追上猫一圈、兔追上猫一圈所需的时间单位是完成本题的关键。

10.7850平方米

【解析】

【分析】

同向而行，20分钟后两人再一次相遇可知：第一次相遇丁丁比丽丽多走了一圈，这一圈刚

好是一个圆形，利用路程=速度差x时间求出周长，再通过半径=圆的周长七片2求出半径,

最后通过圆的面积="半径x半径来求出圆形街心花园的占地面积。

【详解】

（85.7-70）x20

=15.7x20

=314（米）

圆的半径：314+3.14+2

=1004-2

=50（米）

圆形街心花园的占地面积：3.14x50x50

=3.14x2500

=7850（平方米）

答：这个圆形街心花园的占地面积是7850平方米。

【点睛】

此题考查的追赶问题，熟练掌握速度差x时间=路程以及圆的周长和面积公式是解题的关键。

11.1250米；1000米

【解析】

【分析】

根据题意可知，二人相遇时正好行的路程是环形跑道的长，利用公式：路程=速度x时间，

分别计算出它们跑的路程，再相加即可；要求相遇时兔子比乌龟多跑了多少米用兔子跑的路

程减去乌龟跑的路程，即可解答。

【详解】

45x25+5x25

=（45+5）x25

=50x25

=1250（米）

45x25-5x25

=（45-5）x25

=40x25

=1000（米）

答：这条跑道长1250米，相遇时兔子比乌龟多跑了1000米。

【点睛】

此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度x时间=路程，路程一时间=速

度，路程+速度=时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出兔子和乌龟的路程是多少。

12.0.5小时

【解析】

【详解】

同向而行时,需要：15x1+（25-15）

=15x1X0

=1.5（小时）

相向而行时，需要：（35-15x1）+（15+25）

=（35-15）4-40

=204-40

=0.5（小时）

0.5<1.5

答：教练送表给小明至少需要0.5小时.

【点睛】

解题关键是环形跑道上，教练追上小明有两种走法：-是同向而行；二是相向而行；分别算

出所用时间对比即可得解.

13.8892米

【解析】

【详解】

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）x3=228（米）第一个追及：

这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追及

过程，可求出甲、乙相遇的时间为228+（38-36）=114（分钟）

第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周长为（40+38）x114=8892（米）

【点睛】

这个三人行程的问题由两个相遇、一个追及，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一

个“3分钟”的时间.把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更

加清晰.

14.400米

【解析】

【详解】

1分20秒=80秒

80x(2+3)=400(米)

答：学校跑道400米。

15.1000公尺

【解析】

【分析】

根据在相同的时间内，乙从B跑到C,甲可以从A跑到C(相向而行)，乙如果按原路返回

(从C跑到B),甲又可以同向从C经过B跑到A,可知甲前后跑的两段路程是相等的，则

AC=400+2=200米。又因A、B两点间的距离是100米，所以乙每次跑的路程是200—100

=100米，即甲的速度是乙的速度的2倍。现在乙在前300米，甲在后追及，甲跑300x2=

600米可以追上乙，原来乙跑了400米，所以甲从出发开始共跑的路程是400+(400—100)

x2=1000米。

【详解】

400+[400-(4004-2-100)]x2

=400+(400-(200-100)]

=400+(400-100]x2

=400+600

=1000(公尺)

答：当甲追上乙时，甲共跑了1000公尺。

【点睛】

此题属于环形跑道问题，有一定难度，所以应认真分析，根据题意求出AC的距离是完成本

题的关键。

16.(1)220米/分(2)5.5圈

【解析】

【详解】

（1）75秒-1.25分

两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.

小张的速度是500+1.25-180=220（米/分）

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长）.

因此需要的时间是500+（220-180）=12.5（分）

220x12.5^500=5.5（圈）

答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.

17.2690米

【解析】

【分析】

相遇后乙的速度提高20%,跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5：6,所

以所花时间的比为6：5。设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位

时间。设甲原来单位时间行程V甲，由题意得：从A点到相遇点路程为40x6=240,所以V

乙=（490-50-240）+6=与（米）。然后再求出两人速度变化后各自的速度；从相遇点开

始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，进而求出甲一共跑的路程，解决问题。

【详解】

以速度变化前后的比为1：（1+20%）

=5:6

所以所花时间比为6：5

设甲原来每单位时间的速度V,，由题意的：

6V甲+5xVq,x（1+25%）=490

6V甲+5xV甲xl.25=490

6V甲+6.25V甲=490

12.25V中=490

V,=490X2.25

V甲=40（米）

从A点到相遇点路程为：40x6=240（米）

所以V乙为：（490—50—240）-6

=（440-240）:6

=200+6

两人速度变化后，甲的速度为：40x(1+25%)

=40x1.25

=50(米)

乙的速度为：—X(1+20%)

=40(米)

从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行了一圈，所以甲一共跑了：

490+(50-40)X50+240

=490^10x50+240

=49x50+240

=2450+240

=2690(米)

答：甲一共跑了2690米。

【点睛】

本题属于环形跑道问题，有一定难度，应认真分析，求出甲乙二人速度变化前后的速度就解

答本题的关键。

18.4.2千米

【解析】

【分析】

由题意知：要先把时间单位统一，小张的速度是每分钟0.09千米；小王的速度是每分钟0.07

千米，由题意“半小时后小李和小张相遇”知小张行走的路程是他的速度x30；由“再经过5分

钟，小李与小王相遇”，知小王行走的路程是他的速度x(30+5),小张和小王的路程差即是

小李5分钟走的路程，可求出小李的速度，由“半小时后小李和小张相遇“得出小张走的路程

+小李走的路程=全程。

【详解】

1小时=60分

小张的速度每分钟是：5.4-60=0.09(千米)

小张半小时走的路程是：0.09x30=2.7（千米）

小王的速度每分钟是：4.2+60=0.07（千米）

小王35分钟走的路程是；0.07x35=2.45（千米）

小李的速度每分钟是：

（2.7-2.45）+5

=0.25+5

=0.05（千米）

绕湖一周的行程是：

（0.05+0.09）x30

=0.14x30

=4.2（千米）

答：绕湖一周的行程是4.2千米。

【点睛】

解决此题的关键是小张与小王的路程差是小李5分钟所走的路程，算出小李的速度。

19.320240160800

【解析】

【详解】

根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环.甲绕大圆环跑一周需要100

秒，乙绕小圆环跑一周也需要100秒.所以两人的第一次相遇肯定是在A点；而以后在小圆

周上肯定还有相遇点.由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可

以看出，每次乙回到A点，如果甲也在A点，则两人在A点相遇；如果甲不在A点，则此

时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇.

设乙第机次回到A点的时间为r秒，则r=100，〃，此时甲跑了6x100；〃=600〃?米