2021版高中数学必做黄金100题50 数列中探索性问题（解析版）

第50题数列中探索性问题

题源探究•黄金母题

已知g,是等比数列｛£)的前〃项和，邑，父，S,成等差数列，且个+^-18.

(I)求数列｛6｝的通项公式；

(II)是否存在正整数"，使得S“w2013?若存在，求出符合条件的所有〃的集合；若不存在，说明理由.

【解析】(D设数列｛七｝的公比为q，则4寸0,4二0.由题【试题来源】人教A版必修5P6$B组T］

改编.

§2-$4=S3-52,

/+/+包=-18即,［年/(1+4+/)=-18,U=-2.［母题评析］本题主要考查等比数列的通

故数列｛4,｝的通项公式为q=3(-2)”T项公式、数列中的存在型问题，考查考生

的分析问题解决问题的能力以及基本计算

（II）由⑴有5“=311-（1=]_（_2）".

于能力.

若存在n,使得S„>2013,贝IJ1-(-2)">2013,即(-2)"<-2012.【思路方法3应用方程思想列方程组求基

本量，进而的数列的通项公式；由题意列

出方程组(或不等式组)解决存在型问题.

当〃为偶数时，(-2)">0,上式不成立；当〃为奇数时，

(-2)"=-2"<-2012,BP2">2012,贝!

综上存在符合条件的正整数〃，且所有这样的〃的集合为

｛"［"=2/+1,%eN,425｝.

考场精彩•真题回放

【2020年高考北京】已知｛%｝是无穷数列.给出两个性质：

①对于｛%｝中任意两项4,在｛4｝中都存在一项％,,使幺=%;

②对于｛叫中任意项见(九.3),在｛4｝中都存在两项%,可(%>/).使得4,=".

al

(1)若为=〃(〃=1,2,),判断数列｛4｝是否满足性质①，说明理由;

(II)若q,=2"T(〃=l,2,),判断数列｛4｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由;

(III)若｛q｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛%｝为等比数列.

【命题意图】这类题以数列为载体考查探

【解析】

索性综合问题，这类问题不仅考查学生的

29分析问题解决问题的能力，以及探索能力，

(I)Q%=2,%=3,，aZ.,.{6,}不具有性质①;

而且给学生提供了创新思维的空间.

(II)【考试方向】这类试题在考查题型上，通

常以解答题的形式出现，难度较大.

22

QVi,jeM,jd=2(21)T,21€N*.•.生=%；.•.｛4｝

a>勺【学科素养】数学运算

具有性质①；

【难点中心】解决数列与函数、不等式的

2炉«,__,c，I综合问耨的关键是从题设中提炼出数列的

n(2011

QV〃eN,n>3,Bk=n-l,l=n-2,—=2>'=2=an,:.\an]

a,基本条件，综合函数与不等式的知识求解;

具有性质②；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等

式证明问题及以函数为背景的数列的综合

(HI)【解法一】

问题体现了在知识交汇点上命题的特点.

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

与数列有关的探索问题：第一步：假设符

显然《产0(〃eN*),假设数列中存在负项，设合条件的结论存在；第二步：从假设出发,

利用题中关系求解；第三步，确定符合要

N。=max｛"|an<0｝,求的结论存在或不存在；第四步：给出明

确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.

第一种情况：若乂=1,即4<0<q<%<%<

由①可知：存在犯，满足时=&<0,存在旭2，满足

出<0,

由No=1可知生=色，从而4=4，与数列的单调性矛

q4

盾，假设不成立.

第二种情况：若N。22,由①知存在实数加，满足

%,="<(),由N。的定义可知：mWN。,

另一方面，%由数列单调性可知:

m>N。,

这与No的定义矛盾，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

其次，证明见

>/),

由数列的单调性可知%>q>0,

而4=4,—>4,故上<3,

此时必有％=2,/=1,即％=&，

最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列｛为｝的前k（k>3）项成等比数列，不妨设

as-qqJ（1WsWk），

其中q>O,q>l,（q<0,0<q<l情况类似）

2

由①可得：存在整数加，满足4=乌」=%qk>&「且

ak-\

k

am=a,q>aM（*）

2

由②得：存在S>f,满足：%+]=%=4•生>4，由

4a,

数列的单调性可知：t<s<k+l,

由as（1WsW攵）可得：

2

ak+i=—=>%=（**）

区

由（**）和（*）式可得：*Nad"]>%qi,

结合数列的单调性有：kN2s-t-l>k-l,

注意到s1,左均为整数，故k=2s-t—\,

代入（**）式，从而/+]=44*.

总上可得，数列｛凡｝的通项公式为：4=%寸；

即数列{为}为等比数列

【解法二】假设数列中的项数均为正数：

首先利用性质②：取〃=3,此时/=今(女>/)，

由数列的单调性可知%>q>0,

而生=%,故攵<3,

%

2

此时必有k=2,1=1,即%=8，

即q,4M3成等比数列，不妨设

%-axq,%-4/(<7>1),

然后利用性质①：取，=3,7=2,则

即数列中必然存在一项的值为q/,下面我们来证明

«4=4,，

否则，由数列的单调性可知能<4/，

2

在性质②中，取〃=4,则/="=%%>%,，从而

a{a{

k<4,

与前面类似的可知则存在{4,/}£{1,2,3}(%>/),满足

若k=3,l=2,则：闻）与假设矛盾；

at

2

若左=3,/=1,贝！|：%="=。闻4＞。闻3,与假设矛盾；

at

2

若k=2,l=l,贝！|：%=幺=%。2=4,与数列的单调

性矛盾；

即不存在满足题意的正整数4，/,可见④不成立，

从而a4=%q3,

同理可得：%=4/，4=4八，从而数列｛叫为等比

数列，

同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数

列.

由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时

出现正数和负数.

从而题中的结论得证，数列｛凡｝为等比数列.

三.理论基础•解题原理

近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而

且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论

探索性问题.

四.题型攻略•深度挖掘

【考试方向】这类试题在考查题型上，主要以解答题的形式出现，难度较大.

考向1规律(存在)探索性问题

设等差数列｛%｝的前n项和为S,,%+%=24,品=143数列也｝的前n【温馨提醒】裂项相消

在使用过程中有一个很

项和为7；满足23=一(4一1)(〃eN*)

重要得特征，就是能把

一个数列的每一项裂为

(I)求数列m｝的通项公式及数列」一)的前n项和；

两项的差，其本质就是

两大类型，类型一：

(II)是否存在非零实数％,使得数列｛"｝为等比数列？并说明理由

_k

a"/(n)/(n+c)

【分析】(I)设数列｛4｝的.公差为d,由品=143,;.%=13,又

型，通过拼凑法裂解成

%+“6=24,解得%=11,d=2,

kk(11)

"a„an+ccd[ana“一

由此即可求出数列｛4｝的通项公式，即a“=2〃+l(〃GN*),所以

；类型二：通过有理化、

11(11A

-----=-----------------，然后再利用裂项相消法即可求出结果;(II)由(I)对数的运算法则、阶乘

。,4+]2<2〃+12n+3J

和组合数公式直接裂项

可知看=?4"+1,当〃=1时，b\=J；当〃22时，2=7；一%=言41,

型；该类型的特点是需

AAAA

所以%=42(〃之2),若也｝是等比数列，则有伪=44而伪=?也=¥，要熟悉无理型的特征，

/I/I

对数的运算法则和阶乘

所以%=2与包=4a矛盾，故数列｛bn｝不是等比数列.

和组合数公式.无理型

的特征是，分母为等差

【解析】(I)设数列｛4｝的公差为d,由=11%=143;4=13,又as+a数列的连续两项的开方

因此｛4｝的通项公式是4=%+(〃—5)x2=2〃+l(〃eM)和’形如

/_左

所以-^=二7二一不二］，从而前〃项的和为

ana^x212”+12n+3J

型，常见的有①

111ifl111111

3x55x7(2〃+1)(2〃+3)2135572〃+12〃+3)｝=^71-6

J.+1+6

(II)因为4=3,2""T=27；-(q_l)("eN*),;.4"=/l7；-2=7；=L4"+2:②对数运算

AA

n

当〃=1时，4=［；当〃22时，btt=Ttt-Tn_x=^-\瓦丁-log""+「k>g

本身可以裂解.

所以%=4d(〃之2),若也｝是等比数列，.则有伪=4伪而

仄=。，瓦=g所以％=2与4=44矛盾，故数列｛〃｝不是等比数列•

XXb,

考向2条件探索性问题

已知数列｛%｝为等差数列，4=2,｛q｝的前〃和为S"，数列｛"“｝为等比【温馨提醒】对于

条件开放的探索性问

+2

数列，且+02bz+幽+…+a也=(n-l)-2"+4对任意的〃eN*恒成立.

题，往往采用分析法，

(I)求数列｛a“｝、也,｝的通项公式；从结论和部分已知的条

件入手，执果索因，导

(II)是否存在非零整数4,使不等式出所需的条件.另外，

2(1-—)(1-—)……(1-—)cos1〃eN*都成立？若存在，需要注意的是，这一类

«i«2425“+1

问题所要求的往往是问

求出4的值；若不存在，说明理由.题的充分条件，而不一

定是充要条件，因此，

(山)各项均为正整数的无穷等差数列｛%｝,满足。39=4()07,且存在正整

直觉联想、较好的洞察

数k,使q,C39，q.成等比数列，若数列｛%｝的公差为d,求d的所有可能取值之

力都将有助于这一类问

和.题的解答.

【解析】(I)法1：设数列｛4｝的公差为d,数列｛2｝的公比为q.

n+2

因为+a2b2+a3b3H---1-anbn=(n-l)-2+4(〃wN*)

令〃=1,2,3分别得4乙=4,ciyby+a2b2=20,a{b}+a2b2=68,又

q=2

a=2,b、=24=1或

}(2+d)(2q)=16,g

所以,生打=16即；=3/_4d—4=0，得1

(2+2d)(2/)=48

她二481=6

d'=2

%=2,

经检验d=2,q=2符合题意，d=-|,q=6不合题意，舍去，所以

=2〃也=2".

(II)由4=2",得85^^«=85(〃+1)乃=(—1)-1

2

设a=____________!____________,则不等式等价于(-D*/<bn.

(1-—X1_--)也+1

6a24

,.1^>o,且卧,X),>1，，膜i>4,数列｛4｝单调递增・

假设存在这样的实数幺，使得不等式(-1)心匕<么对一切八€'♦都成立，则

①当"为奇数时，得九<S")min=4=¥；

②当"为偶数时，得一4<3.)min=4=^g，即丸>一等.

(&R)艮、

综上，2e-土，士，由义是非零整数，可知存在2=±1满足条件.

、153,

(III)易知d=0,成立.

当d>0时，C39=G+38d=2014=>G=2014—38d,

q—C39+(%—39)d—2014+(k—39)d,

c*=qc*=(2014-38d)[2014+(Z-39)d]=20142n38(53-d)[2014+(039)d]=2014x2014

=(53-d)[2014+仕-39问=53x2014

=>一(左一39)I?+53(左-77)d=0=>(k-39)4=53(左一77)

=肥一39d=53Z-53x107=(4-53)k=394—53x77,

394-53x7739(^-53)+53x39-53x77-53x38-53x38

4-53-J-53-4-53-53-d

-G=2014—381=38(53—d)〉0n53—d>0八,

又Qi1,,-.0<53-J<53,

d>0

r.53-d=1,2,19,."=52,51,34,所以公差d的所有可能取值之和为

137...........16分

考向3结论探索性问题.

【温馨提醒】探索

【2019•河南高考模拟】已知p：Vxe,2x<m(x2+l),4：函数

结论型问题是指那些题

/(耳=4'+2*+1+机—1存在零点.若：“。且4”为真命题，则实数机的取值范目结论不明确、或者答

案不唯一，给同学们留

围是_____.

有较大探索余地的试

【答案】(1,1)题.一般是由给定的已

知条件求相应的结

论.它要求同学们充分

【解析】由题意得，因为p：Vxe,2x<m(x2+1],即

_42J''利用已知条件进行猜

2x2想、透彻分析，发现规

m>—----=--------

律、获取结论，这一类

问题立意于对发散思维

当了=:时，x+1取得最小值!，此时3」取得最大值，最大值为士，所能力的培养和身

2x2x*+l5

4有开放性，解法活、形

以〃？>一；

5式新，无法套用统•的

设1=2,€（0,+8）,则/。）=，+2/+机一1,要是的/（f）在（0,+8）存在零点，解题模式’不仅有利于

考查和区分同学们的数

则/（0）<0=加一1<0,解得"?<1,学素质和创新能力，而

且还可以有效地检测和

4

所以实数机的取值范围是y区分考生的学习潜能，

因而受到各方面的重

视，近年来已成为高考

试题的一个新亮点.

五.限时训练*提升素养

1.（2020・江苏）若数列｛%｝满足：存在实数使得=2c,”+,i+f（m—对任意相、〃eN*

都成立，则称数列｛%｝为“，倍等阶差数列”.已知数列｛4｝为“/倍等阶差数列”.

（1）若4=0,a2=--,4=1,求实数f的值；

（2）在⑴的条件下，设％=。2"+1一4"-1（〃€M）

①求数列也｝的通项公式；

,、

②设数列4二一］的前n项和为5„,是否存在正整数P、4,且1<p<q,使得&、5。、Sq成等比数列?

b,b»+i.

若存在，求出P、9的值，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴1=2；⑵①4=8〃一7；②存在p=2,q=36.

【详解】

(I)由数列｛4｝为“f倍等阶差数列”，

令机=2,n=1,得/+4=2%+[2-1)2,所以l+0=2x(—g)+r,解得t=2；

(2)①以n+2代替加，得%”+3+%,-1=2%“+|+8.

则[%(“叫+i一4(,用)“卜(%用一)=8,即bn+l-b„=S.

所以数列｛々｝是以8为公差的等差数列.

又伪=/一q=l,所以4,=1+8(〃-1)=8〃一7.

1118n+l｝，

bnbn+l(8n-7)(8n+l)8(8〃-7

1YI/1)〃

所以S”一1+++_____1——1_.

819八917J(8雇一78^+1J8(8n+lJ8〃+1

pJq

假设y、Sp\Sg成等比数列，则

、8p+1,98q+1

因为3=皿2=8+2〉8.

同T以8p~—16p-1<0»

p-qq

曲”,4-3近4+372

解得-------<p<-------.

44

又因为P为大于1的整数，所以p==2,q=36,

所以存在〃=2,4=36,使得5、Sp、Sg成等比数列.

2.(2020.辽源市)已知等比数列｛4｝的公比g>l,且。3+%+%=28,4+2是%，%的等差中项.数

列也卜满足仿=1,数列｛(%-2)4｝的前八项和为2/+〃.

(1)求4的值；

(2)求数列｛d｝的通项公式.

(3)若存在实数4,〃使不等式〃〈勿<4恒成立，求几-2〃的取值范围.

(\V-2

【答案】(1)2；(2)2;於-(4〃+3)[?；(3)[13,+co).

【详解】

(1)由题意得，。3+。4+。5=」+。4+44=28①，

q

由4+2是由1%的等差中项，可得q+。5=2%+4,化简得」•+。4。-2。4=4②,

q

%(1+4—)28

q

由①和②可得，<,由公比q>l,求得%=8,q=2

4(,+4-2)=4

Iq

(2)由(1)得，a“=2"-,设列｛(2+1-2”“｝的前〃项和为北，

Tn-2/+n,①

7；T=2(〃—1J+〃-1=2”2_3〃+1,(〃22)②

①-②得,(如-d)4=4〃一1,(。向一切)2"1=4〃-1,

472-1<]

b”+「b,=・（4〃一1），利用累加法,

、〃-2

(2-々)=3+[；.7+段1++1

(。一—4-2)++・（4〃一5），

2

加+011+（g）.（4〃一5），

b,,f=3++

设'=3+出-7+f-V-ll+n-2

+•（4”一5），故有

2,

卜=1£lii++[£].(4〃一5)

利用错位相减求和法，可求得n-2

S“=14-（4〃+3）{g}I,(n>2),所以,

n-2

^^15-(4n+3)^-I,（〃N2）,又4=1,满足力，所以,

n-2

b=15-(4n+3)--,(HGN*)

n12

（3）存在实数4,〃使不等式〃<2恒成立，因为包=15—（4〃+3）［g），

3

/12(1y-=W-(4n-5)>0

取M22,b-b,.=-(4«-3)--+(4〃—7〉一

Hn—i、/0

所以，。，为递增数列，所以，

n-2

又由15—2=(4〃+3>1|>0-•,.15>b.

2>15,即可满足存在实数4,〃使不等式〃4恒成立

A-2//>13

3.(2020.上海市)设各项｛4｝均为正数的数列的前“项和为S”，且满足S“=〃2(〃eN*),

(1)求数列｛a,J的通项公式;

(2)设d=&±+'(〃GN")，试求比例4+4+…+2-2〃)的值;

a„%+i…

(3)是否存在大于2的正整数m、k,使得a,“+a,京+a,,+2+…+。,”+/=300?若存在，求出所有符合条

件的加、k,若不存在，请说明理由.

【答案】(1)an=2n-\,”eN*;(2)2；(3)存在，机=23,%=5或加=11,k=9.

【详解】

(1)由S.=/得S“T=(〃-1)2(〃22),

所以%=5,-5,1=2n-l(«>2),

乂q=E=l也满足上式，所以a“=2〃-1,〃eN*；

«„i,4_2n+l2H-1=2+2扁

(2)由(1)得2=---+---1----------------1--------

anan+x2n-l2〃+12〃+1,

所以々+〃2+.・・+2-2〃=2〃+2

),所以!吧打

2(1———(4++・・・+"-2几)=2.

v2〃+1

（3）存在大于2的正整数机、匕使得a,“+a“用+4“+2+•••+%,+*=300.理由如下：

a

假设存在大于2的正整数怎使得q〃+。〃用+m+2+•,,+%»=300,

由（1）得4〃+q〃+]+。切+2+・・・+a,〃+k=（2m+々一1）（2+1）=300.

由于正整数〃2次均大于2,故2相+左一1>左+124,目.2m+左一1和后+1的奇偶性相同.由

仅+1=2x3f%+l=2x5

300=22X3X52WJ,“।）小或入斗「一'

pn+k—l=2x5[2m+k-l=2x3x5

k=5k=9

解得〈或,

m=23m=ll

因此存在大于2的正整数m、h使得4〃+4向+4+2+・・・+。〃»=300.

4.（2020•安徽月考）己知数列｛4｝满足q=3,a

n+]n

（1）求数列｛4,｝的通项公式；

（2）求数列｛4｝的前般项和5.；

（3）请判断是否存在正整数x,y,z（x<y<z）,使得火,ay,az,成等差数列？若存在，求出X,

z的值；若不存在，请说明理由.

n+

【答案】（1）a“=〃x3"；（2）5„=^-[（2n-l）x3'+3];（3）不存在，答案见解析.

【详解】（1）由题意有，4比=3%,可得数列[2]为公比为3的等比数列

M+1n1〃J

又由幺=3,所以2=3x3"T=3",可得a"=〃x3"

1n

故数列｛4｝的通项公式为a“=〃x3”

(2)S“=1X3+2X3?4---H(〃—1)X3"T+nx3"

3s“=1x32+2x33+…+(〃-1)x3"+〃x3"+i

fl+1

作差得-2Sn=3+32+…+3"T+3"—〃x3

得2S“=〃X3"T—\M)，得S“=；[(2〃-1)X3"”+3]

(3)由正整数无，y,z满足x<y<z,得0<y+iwz,3川<3:

nlyv

可得q=zx3'>(y+l)x3-(3y+3)x3>2yx3=2«v,必有4+6>2ay

故不存在正整数无，九z(x<y<z),使得ay,az成等差数列.

5.(2020•江苏省)在①q,a2,%成等比数列，且聋=2-2；②S,nS；,且7；=2-(g)"T这两个条件

中任选一个填入下面的横线上并解答.

己知数列｛an｝是公差不为0的等差数列，4=1,其前"项和为S"，数列也｝的前n项和为T„,若.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

(2)求数列”的前〃项和Q.

(3)设等比数列｛%｝的首项为2,公比为q(q>0),其前〃项和为匕，若存在正整数加，使得S3=S,”•鸟,

求4的值.

【答案】(1)。“=2"一1；瓦=工；(2)2=(2〃-3)x2"+3；(3)二人姮或02^.

224

【详解】

解：若选①条件

（1）设等差数列｛%｝的公差为d,则根据题意得：

即（l+d）2=l+4d,解得：J=0（舍）或d=2,

所以a“=2〃-1,

又北=2—〃,，当〃=1时解得伪=1,

/、/、t>„1

当〃22时,b“=T“一Te=（2-b"）一（2—b,i）,整理得：/=

Dn-\乙

所以数列｛2｝是以1为首项，公比为;的等比数列，则a=诉.

（2）充=（2〃-1）2"、

则0=色+皈+%++―+%

瓦b2b.岫b„

=1X2°+3X2'+5X22++（2〃—3）X2"2+（2〃—1）X2"T

所以2Q=1x2+3x2?+5x23++（2〃—3）x2"i+（2〃—1）x2",

=l+2（2'+22+23++2,,-1）-（2/?-l）2n

2x2（l-2n-1）

=1+——^-（2n-l）2n=-（2n-3）-2n-3-

所以Q=（2〃—3）2"+3.

(3)设等比数列｛c,｝的首项为2,公比为q9>0),其前〃项和为匕，若存在正整数加，使得&=黑・6,

求。的值

2

由（1）可知S3=9,Sm=------—~'―=zn,

2n,q=1

—则心=2（1—力

——"q彳1

[1一4

当q=l时，由S3=5”•6得9=6m2不符合题意，舍掉;

华0=2病（1+。+“9

则疗

"Iq工1时，则9=〃/2（l+q+/）

29

EN+

因为机GN+，所以加2（l+q+/）

又q>0,所以2（l+q+g2）>2,

所以2(l+q+q2)=9,解得q二卫普或q二士普(舍)

或2（l+q+g2）=\,解得g=-2；■或g=-21后（舍）

w।.lx—1+,15—2+>/6

综上所述：q=-------或9=.....-

24

若选②条件

4x3

（1）因为$4=5；,所以4+于4=（2+4）9一，解得"=2或d=0（舍）,

由（=2—（；）"T得4=2—§）°=1,

当〃川’且=2-出二+、「二隙，

所以£=，■•

（2）（3）的解法与选①时解法相同.

6.设数列A：4,4，必（〃23）的各项均为正整数，且444.若对任意人日3,4,,”},存在正

整数i,j（l<i<j<k）使得ak=«,.+%,则称数列A具有性质T.

（1）判断数列A：L2,4,7与数列A2:1,2,3,6是否具有性质T；（只需写出结论）

（2）若数列A具有性质T,且4=1,4=2,。“=200,求般的最小值；

（3）若集合S={1,2,3,,2019,2020）=5,S?S.SAS,$6，且S5=0（任意i,/e{l,2,,6）,

i*j）.求证：存在S,,使得从S,中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质7的数列.

【答案】（1）数列4不具仃性质T；数列4具有性质T（2）〃的最小值为10（3）证明见解析

【详解】

（1）数列A不具有性质T；数列4具有性质T.

（2）由题可知〃2=2,0342a2=4,a4<2^<8f,<2oj<128,

所以〃29.

若〃=9,因为%=200且4K24,所以1282/2100.

同理，642%>50,32>«6225,162%-12.5,82%26.25,42/23.125.

因为数列各项均为正整数，所以%=4.所以数列前三项为1,2,4.

因为数列A具有性质7,%只可能为45,6,8之一，而又因为82426.25,

所以包=8.

同理，有%=16,4=32,%=64,4=128.

此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.

但数列中不存在1wi4）<9使得200=4+%,所以该数列不具有性质T.

所以刀210.

当〃=10时，取4:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200.（构造数列不唯一）

经验证，此数列具有性质T.

所以，〃的最小值为10.

（3）反证法：假设结论不成立，即对任意S,（i=l,2,,6）都有：若正整数贝ij匕-“代号.

否则，存在满足：存在使得。-aeE，此时，从，中取出〃力,/?一。：

当人-a时，〃是一个具有性质T的数列；

当4>b-a时，b-a,a,b是一个具有性质T的数列；

当a=时，a,〃力是一个具有性质T的数列.

（储由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，

不妨设此集合为从5中取出337个数，记为q，4，，%37,且<«337.

令集合乂={%37-。W=1，2,,336}cS.

由假设，对任意，=L2,,336,代号,所以MuS?S3S4S5S6.

（n）在S2，S3，S4，Ss，S6中至少有一个集合包含M中的至少68个元素，不妨设这个集合为昆，

从52M中取出68个数，记为々也，，％,且仇<<%.

令集合'2=色8-即，=1，2,,67}cS.

由假设加甘”2.对任意左=1，2,,68,存在s&w{l,2,,336}使得“二七？一%.

所以对任意i=l，2,,67,48=（/37—4"）一（437—%）=%—《漓，

由假设4一4，任^,所以九一ee51,所以久一①任552,所以他@53S4S5S6.

Ciii）在S3，S4，Ss，S6中至少有一个集合包含中的至少17个元素，不妨设这个集合为S3,

从S3中取出17个数，记为qq,,CI7,且G<c2V<C,7-

令集合％=匕7fli=1,2,,16}G5.

由假设d-£史S3.对任意々=1,2,,17,存在&e{l,2,,67}使得q=%一4.

所以对任意i=l,2,,16,。一。=（加一源）一（%-々）=%-1，

同样，由假设可得々一匕，任$S2（所以力-弓史号S2S3,所以N3US4S5S6.

（zv）类似地，在邑,Ss，Se中至少有一个集合包含N,中的至少6个元素，不妨设这个集合为S4,

从S4M中取出6个数，记为4,4，，4,且4<4<<4，

则乂={4-4“=1，2,,5}CS5S6.

（V）同样，在55,$6中至少有一个集合包含N4中的至少3个元素，不妨设这个集合为S5,

从$5%