5.2三角函数的概念8题型分类

一、三角函数的概念(1)任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)定义正弦函数把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα余弦函数把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα正切函数把点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数三角函数我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数注：三角函数的定义(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．(2)三角函数的定义域三角函数定义域y＝sinxx∈Ry＝cosxx∈Ry＝tanxx≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)二、三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三、诱导公式(一)名称符号语言文字语言诱导公式(一)sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)终边相同的角的同一三角函数的值相等注：公式一的理解(1)公式一的实质：终边相同的角的同一三角函数的值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α.四、同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系关系式语言叙述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切(1)同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论①平方关系变形及常用结论sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.②商的变形sinα＝tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).(2)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.(3)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(4)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义的情况下的恒等式．(5)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝eq\f(sin90°,cos90°)不成立．(6)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的．（一）三角函数的定义及应用1、任意角的三角函数的定义如图，在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，那么：（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即．对于确定的值，比值，，分别是唯一一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数．2、利用三角函数的定义求值的策略已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．(2)注意角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).提醒：角α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．题型1：三角函数的定义及应用11．（23·24上·眉山·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果.【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：.故选：B.12．（23·24·全国·专题练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义，得到的值，进而求得的值，得到答案.【详解】因为角的终边过点，且，由三角函数的定义，可得，，所以.故选：D13．【多选】（23·24上·眉山·期中）已知角的终边经过点，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据三角函数的概念求解，即可得的值.【详解】已知角的终边经过点所以，则当时，，此时；当时，，此时；所以的值可能为或.故选：CD.14．（23·24上·九龙坡·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上一点，且，则．【答案】【分析】由三角函数的定义求解即可.【详解】根据正弦值为负数，判断角在第三､四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角．.故答案为：15．（23·24上·张家口·期中）若，且角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义，列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，根据三角函数的定义可得，所以，，且，所以，.故选：D．16．【多选】（23·24上·辽宁·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以，所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD17．（23·24上·大理·开学考试）已知角的终边落在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.【详解】设直线上任意一点P的坐标为（），则（O为坐标原点），根据正弦函数的定义得：，时，；时，，所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选：D.（二）判断三角函数值的符号1、各三角函数的值在各象限的符号如图所示．【说明】（1）对各象限角对应的正弦值、余弦值和正切值来说，第一象限各三角函数值全都是正号，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．（2）各象限三角函数值正号规律：一全二正弦，三切四余弦．2、确定三角函数值在各象限内符号的方法(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内的点的坐标的符号得出的．(2)正弦、余弦、正切函数的符号表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．题型2：判断三角函数值的符号21．（23·24上·宝鸡·期末）已知为第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数在各象限的符号求解即可.【详解】因为为第二象限角，所以，故ABD错误，C正确.故选：C22．（23·24上·海淀·期中）若且，则的终边所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论.【详解】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上，因为，则的终边在第一、三象限，因此，的终边所在象限为第三象限.故选：C.23．（23·24上·齐齐哈尔·期末）“且”是“为第三象限角”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据三角函数符号判断即可.【详解】充分性：由可知，由可知或，综上，，即为第三象限角.必要性：若为第三象限角，则且.所以“且”是“为第三象限角”的充要条件.故选：A24．（23·24上·邢台·期末）“”是“角是第一象限角”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据角所在的象限的正负结合充分不必要条件的定义即可判断结论.【详解】由同角三角函数的关系，角是第一象限角或第二象限角，故“”是“角是第一象限角”的必要不充分条件.故选：C25．（23·24上·辽宁·阶段练习）若，，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限.【详解】由，，得，，所以是第四象限角.故选:D.26．（23·24上·西城·期中）设是第一象限的角，且，则所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由的范围进而得出的范围，结合即可得出结果.【详解】因为是第一象限的角，所以，所以，即为第一或第三象限角，又因为，即，所以所在的象限是第一象限，故选：A.（三）公式一的应用公式一可以统一写成f(k·360°＋α)＝f(α)或f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式2、利用它可以把任意角的三角函数值转化为0到2π角的三角函数值，即可把负角的三角函数化为0到2π角的三角函数，亦可以把大于2π角的三角函数化为0到2π角的三角函数，即对角实现负化正、大化小的转化．题型3：公式一的应用31．（23·24上·南昌·阶段练习）的值为（

）A．－ B．C．－ D．【答案】D【分析】，利用诱导公式一化简即可得解.【详解】故选：D.32．（23·24·湖南·课时练习）求值：．【答案】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数计算可得；【详解】解：33．（23·24上·全国·课前预习）计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算可得；【详解】（1）解：；（2）解：34．（23·24·全国·课前预习）求下列各式的值：(1)cos＋tan；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【答案】(1)(2)【分析】三角函数诱导公式的一个很大作用是把一个角的三角函数值转化为某个相关锐角的三角函数值，以便于化简或求值.【详解】（1）cos＋tan（2）sin＋tan＋cos故答案为：(1)；(2)（四）三角函数求值1、求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．题型4：三角函数求值41．（23·24·全国·课堂例题）已知是第二象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的平方关系求解.【详解】解：因为是第二象限角，所以，又，所以．故选：A42．（23·24上·济南·阶段练习）若，且为第三象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角三角函数间的基本关系即可求解．【详解】∵，且为第三象限角，∴，∴．故选:D．43．（23·24·全国·课堂例题）已知是第二象限角，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一由三角函数的基本关系式求解；方法二利用三角函数的定义求解.【详解】解：方法一

∵为第二象限角，∴，∴．方法二∵，∴角终边上一点的坐标为，则．故选：D44．（23·24上·曲靖·阶段练习）若是第四象限的角，且，则.【答案】【分析】根据求出，再求.【详解】因为是第四象限的角，且，所以，所以.故答案为：45．（23·24上·全国·课时练习）若，则.【答案】2【分析】由已知条件结合求出，再由可求得答案.【详解】由，得，因为，所以，化简得，得，解得，所以，所以，故答案为：2（五）sinα±cosα，sinαcosα的应用1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．2、sinθ±cosθ的符号的判定方法sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如图①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符号如图②所示．题型5：sinα±cosα，sinαcosα的应用51．（23·24·全国·课堂例题）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系即可求解；（2）利用（1）的结论及完全平方公式，结合同角三角函数的平方关系即可求解；（3）利用（2）的结论及平方差公式即可求解.【详解】（1）∵，∴,即，∴，∴．（2）由（1）知，，，又，∴，，∴，∴．（3）∵，，∴．52．【多选】（23·24上·德州·阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对A，由平方法求得的符号，结合角的范围即可判断；对BCD，结合平方关系及角的范围即可求解判断.【详解】对A，，∵，则，∴，∴，A对；对BCD，∵，，联立可解得，，BD对，C错.故选：ABD.53．（23·24·全国·专题练习）已知.(1)求sinθcosθ的值；(2)求sin3θ＋cos3θ的值．【答案】(1)－.(2)【分析】（1）将等式两边平方，结合即可求解；（2）利用立方和公式，将已知代入即可.【详解】（1）由已知，两边平方得.因为，所以.（2）由立方和公式.54．【多选】（23·24上·上饶·阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先利用题给条件求得的值，进而得到的范围，的值和的值.【详解】由可得，，则，即解之得或,又，则，故，则选项B判断正确；由，可得为第四象限角，又，则，则选项A判断错误；，则选项C判断错误；，则选项D判断正确.故选：BD55．（23·24上·南通·期中）已知与是方程的两个根，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数基本关系式求解．【详解】与是方程的两个根，，两边平方得：，，得．即．故选：D．56．（23·24上·山东·阶段练习）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是.①的值为；②的值为.

【答案】/【分析】根据直角三角形的内角及斜边长表示出两直角边长，作差即可得出小正方形边长，再由同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为大正方形的面积是1，所以大正方形边长为1，则直角三角形中较短直角边长为，较长的直角边为，所以小正方形的边长为，又小正方形的面积是，所以小正方形边长为，故；因为，所以，又，，所以，所以.故答案为：；（六）齐次式求值1、已知，可以求或的值，将分子分母同除以或，化成关于的式子，从而达到求值的目的.2、对于的求值，可看成分母是1，利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子，从而可以求值.3、不是已知的情况，可以先利用同角三角函数的基本关系式求得的值，然后利用齐次式的方法求解.4、齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养.题型6：利用齐次式化简或求值61．（23·24上·自贡·期中）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得，将要求的表达式转化只含的形式，由此求得表达式的值.（2）利用“”的代换的方法求得表达式的值.【详解】（1）由于，所以，所以.（2）.62．（23·24·全国·课堂例题）已知，则（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】（1）分子分母同时除以，将所求式子转化为只含的形式，由此求得正确答案.（2）分子分母同时除以，将所求式子转化为只含的形式，由此求得正确答案.（3）先除以“1”，也即除以，再分子分母同时除以，将所求式子转化为只含的形式，由此求得正确答案.【详解】（1）分子分母同时除以得：（2）分子分母同时除以得：．（3）.故答案为：；；63．（23·24上·吉林·阶段练习）已知，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求.的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据可得，解方程并结合角的范围求得；（2）利用弦化切，将化为，可得答案；（3）利用，将化为，继而化为，求得答案.【详解】（1）由得，解得或，因为，故，则；（2）；（3）.64．（23·24上·达州·期中）已知(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将条件等式变形，用正切表示，求得的值；（2）首先利用，将原式写成齐次分式的形式，再利用正切表示，即可化简求值.【详解】（1）由，得，即．（2）因为，所以.65．（23·24上·商洛·阶段练习）已知，求下列各式值．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化弦为切得到，进而得到；（2）变形后，结合（1）中所求的得到答案.【详解】（1）的分子和分母同除以得，解得，故；（2）.66．（23·24·全国·课时练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求.（2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值.【详解】（1）解法一：∵，，∴，分子分母同时除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．（七）利用同角三角函数关系式化简与证明1、三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2、证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异．(4)变更命题法，如要证明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等．(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq\f(左边,右边)＝1”．题型7：三角函数式的化简71．（23·24·全国·课堂例题）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】（1）原式．（2）因为，所以．原式．72．（23·24·全国·课时练习）若，化简：．【答案】【分析】由可得出，且，再利用同角三角函数的平方关系可化简所求代数式.【详解】解：因为，则，且，原式．73．（23·24·全国·课时练习）化简下列各式：(1)；(2)（其中是第二象限角）.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得结果；（2）利用同角三角函数的基本关系化简可得结果.【详解】（1）解：.（2）解：为第二象限角，则，，则.74．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）（1）化简；（2）化简，其中是第三象限角．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据角所在象限确定三角函数的符号，化简表达式，求出最简结果．（2）利用平方关系，以及三角函数在象限的符号，去掉根号和绝对值符号，化简即可．【详解】（1）原式，∵，∴原式;（2）由题可得，，，∴原式．题型8：证明三角恒等式81．（23·24·全国·专题练习）求证：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【答案】证明见解析【分析】利用同角三角函数平方关系进行证明，利用等式左边完全平方公式变形，计算得到结果与右边相等【详解】证明：左边＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αcos2α＝右边，则sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．82．（23·24·全国·课时练习）求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可.【详解】（1）.所以原式成立.（2）.所以原式成立.83．（23·24·全国·专题练习）求证：(1)＝；(2)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）将左边化为，进而结合同角三角函数的平方关系进行证明；（2）用立方和公式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简.【详解】（1）左边==右边.（2）左边==右边.94．（23·24·全国·课时练习）求证：(1)(2)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．【详解】（1）左边右边.即证.（2）左边右边.即证：.一、单选题1．（23·24上·全国·课时练习）已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，结合正切函数的定义进行求解即可.【详解】因为角终边上一点的坐标为，所以有，因为，所以角是第四象限角，所以角的最小正值为，故选：D2．（23·24上·全国·课时练习）当x为第二象限角时，（

）A．1 B．0C．2 D．－2【答案】C【分析】根据正弦、余弦函数的正负性进行求解即可.【详解】因为是第二象限角，所以，故选：C3．（23·24上·南阳·阶段练习）若，，则的终边在（

）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上D．第二、四象限或在x轴上【答案】D【分析】根据题意得到是第四象限或x轴正半轴，结合角的表示方法，进求得所在的象限，得到答案.【详解】因为，可得，则是第一、四象限或x轴正半轴，又因为，可得，则是二、四象限或x轴，所以是第四象限或x轴正半轴，所以，可得，令，可得，则在二象限或x轴负半轴；令，可得，则在四象限或x轴正半轴，综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上.故选：D.4．（23·24上·遵义·期中）若，，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【分析】根据题意切化弦得到，，进而判断角所在象限.【详解】由，，得，，所以是第一象限角.故选：A.5．（23·24上·广东·期末）已知为第二或第三象限角，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据角所在的象限，可判断出三角函数值的符号，从而可判断出选项.【详解】若角为第二象限角，则，此时；若角为第三象限角，则，此时；所以当为第二或第三象限角时，.故选：A.6．（23·24上·长寿·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】.故选：A.7．（23·24上·菏泽·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式，即可求解.【详解】.故选：A．8．（23·24上·宜宾·期中）已知，其中，的值为（

）A．－ B．－ C． D．【答案】A【分析】利用平方关系计算的值，并根据角的象限判断符号即可.【详解】因为为第四象限角，所以.故选：A.9．（23·24上·全国·课时练习）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】由得：，，解得：或，又，，即，，.故选：C.10．（23·24上·菏泽·期末）“为第一象限角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若为第一象限角则必有；反之，若，则为第一或第三象限角.故选：A.11．（23·24·全国·课堂例题）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系式先求得，进而求得.【详解】依题意，，，整理得，解得（舍去）或．∵，．故选：A12．（23·24上·上饶·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．【详解】因为，平方得，又故，则．故选：B.13．（23·24上·静安·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的定义判断的符号，结合同角三角函数关系式，化简即可得出答案.【详解】因为，则，，所以.故选：A.14．（23·24上·铜梁·期末）计算的值为（

）A．1 B．1C． D．【答案】B【分析】利用平方关系化简即可.【详解】解：因为，.故选：B.15．（23·24上·绵阳·模拟预测）化简得（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用求出，第一个根号分子分母同时乘以，第二个根号分子分母同时乘以，结合平方关系即可得到．【详解】，，故选：A16．（23·24上·九江·期末）化简：（是第二、三象限角）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此得出正确选项．【详解】．当是第二、第三象限角时，原式．故选：C．17．（23·24上·辽宁·期中）若是互不相等的锐角，则四个数值中，大于的个数最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式得，从而可判断四个数值不可能均大于，再结合特例可得四个数值中大于的个数的最大值．【详解】因为是锐角，所以均为正数，由基本不等式有，，，，将上面各式相加得，因为是互不相等的锐角，故，故不可能均大于．取，，则，，故四个数值中大于的个数的最大值为3，故选：C．18．（23·24上·渭南·阶段练习）设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由任意角的三角函数定义即可求解【详解】因为为其终边上的一点，且，所以，解得，因为是第二象限角，所以，故选：C19．（23·24·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.【详解】解：因为，是角终边上一点，所以，由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）.故选：B20．（23·24上·沧州·阶段练习）已知为第二象限的角，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据所在的象限，可以定的符号【详解】因为为第二象限角，所以所以故选：A21．（北京市房山区20222023学年高一下学期期中学业水平调研数学试题）若且，则角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据三角函数的正负，确定角所在的象限.【详解】，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，所以满足且，角在第四象限.故选：D22．（23·24上·宜春·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.【详解】解：因为，所以.故选：D23．（23·24上·贵阳·阶段练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把已知的等式平方得到，再化简代入即得解.【详解】由，所以，∴，所以.故选：A．24．（23·24上·长沙·阶段练习）已知，且，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得的值，结合的范围确定与的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得的值.【详解】因为，两边平方得，故，所以与导号，又因为，所以，，所以.故选：C.25．（23·24上·株洲·阶段练习）已知,则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以,将弦化切,代入求解即可.【详解】,.故选:A.26．（23·24上·渭南·期末）已知是角终边上一点，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，可判断点位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.【详解】解：因为是角终边上一点，，故点位于第二象限，所以，，整理得：，因为，所以.故选：D.27．（23·24上·湖北·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值.【详解】因为，则.故选：D.28．（23·24上·西安·阶段练习）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据角的终边经过点，求得，根据同角的三角函数关系化简，代入求值，可得答案.【详解】由角的终边经过点，则，故，故选:C.二、多选题29．（23·24上·江西·开学考试）若角的终边经过点，则下列结论正确的是（

）A．是第二象限角 B．是钝角C． D．点在第二象限【答案】AC【分析】根据点的坐标、象限角，三角函数的定义等知识确定正确答案.【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误；，C正确；由，，则点在第四象限，D错误.故选：AC30．（23·24上·襄阳·期末）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】对两边平方得，结合的范围得到，AD正确；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误.【详解】，两边平方得：，解得：，D正确；故异号，因为，所以，A正确；因为，结合，得到，解得：，故，BC错误.故选：AD31．（23·24上·沈阳·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】应用关系求得，进而确定角的范围，并求出、，即可判断各项正误.【详解】，故①，由，则，故，A对；将①联立，可得或（舍），所以，故，，B、D对，C错.故选：ABD32．（23·24·全国·课时练习）已知，则下列式子成立的是（

）A． B．C． D．E．【答案】DE【解析】方程化简得到，对比选项得到答案.【详解】∵，∴整理得，∴，即，即∴DE正确．故选：【点睛】本题考查了同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力.三、填空题33．（23·24上·齐齐哈尔·期末）已知，则的值为.【答案】/【分析】去分母，然后两边平方化简可得.【详解】由得，两边平方得，整理得.故答案为：34．（23·24上·赣州·期末）已知角终边经过点，则．【答案】3【分析】根据三角函数定义求解即可；【详解】已知角终边经过点，根据三角函数的定义可知：，所以故答案为：3.35．（23·24上·北京·阶段练习）已知是第三象限角，则的值为.【答案】【分析】由条件解出的值即可.【详解】由可知，由在第三象限，可知，则，代入解得，则.故答案为：36．（23·24上·日照·阶段练习）已知、是关于的方程的两根，则的值是________.【答案】【分析】根据韦达定理求得，，平方后利用结合判别式求得的值，由代入的值即可求得结果.【详解】∵、是方程的两根，∴，.∴，整理得，即.∴或.又、为实根，∴.即，∴不合题意，舍去.故.∴.故答案为：.37．（23·24上·丹东·期末）已知，且是第三象限的角，则．【答案】【分析】根据题意结合同角三角关系分析运算，注意三角函数值符号判断.【详解】因为，则，解得，又因为，且是第三象限的角，则，所以.故答案为：.38．（23·24上·宁波·开学考试）已知，与是关于x的一元二次方程的两根，则的值为.【答案】【分析】由已知结合根与系数的关系求得，进一步求得，联立求得，的值，得