流体力学-5.2紊流

第三章紊流的根本方程与紊流模型问题：流体运动根本方程N-S方程紊流的根本方程紊流分析求解的需要－紊流模型开发研究的理论创新技术的实际应用

第三章紊流的根本方程与紊流模型前面讲的流体运动根本方程是针对瞬时运动的，既可用于层流又可用于紊流。但用于紊流时将碰到一个目前还没解决的问题：计算机的容量和速度还不够大。工程实际问题常需求数值解,对Xi及t：紊流Xi小涡尺寸；t1/，为紊流脉动频率；此外紊流一定是三维的，必须按三维计算关心时均值，用时均值代替瞬时值〔雷诺时均化法〕为此必须将瞬时流动根本方程改写为描述时均运动的紊流根本方程第三章紊流的根本方程与紊流模型1．瞬时流动：2．时均流动：3．脉动局部：第三章紊流的根本方程与紊流模型§3.2紊流的运动方程——Re方程Re方程是将不可压缩流体的运动方程时均化后得到，目的是求解紊流的时均流动N-S方程：第三章紊流的根本方程与紊流模型代入并时均化其中：u’，p’等取平均都为零

第三章紊流的根本方程与紊流模型得到时均方程第三章紊流的根本方程与紊流模型利用：得到：第三章紊流的根本方程与紊流模型瞬时量变为时均量时增加了脉动流速的相关项方程可表示为〔Re方程〕其中雷诺应力是紊动对时均流动的影响第三章紊流的根本方程与紊流模型§3.3紊流的能量方程运动方程反映加速度〔左端〕与F的关系〔右端依次为单位质量流体受的压力、粘性力、雷诺应力和质量力〕。将运动方程对距离积分，就可得能量方程。紊流能量方程有三种型式：第三章紊流的根本方程与紊流模型1．紊流瞬时流动的能量方程：推求方法：ui‧N-S方程得单位质量流体单位时间的能量平衡关系

第三章紊流的根本方程与紊流模型各项意义：I：动能的当地变化率〔时间变化率〕II：机械能〔动能+压能〕的迁移变化。总动水压力对位移〔ui〕做功使机械能传递III：粘性应力对位移〔ui〕做功，引起的能量传递IV：粘性应力对变形做功，使机械能转化为热能损失第三章紊流的根本方程与紊流模型紊流时均化的能量方程将式〔3.20〕时均化式〔3.21〕包括时均能、脉动能〔脉动值与脉动值相关〕、关联能〔时均值与脉动值相关〕第三章紊流的根本方程与紊流模型2．紊流时均流动的能量方程推求方法：方程〔先时均再相乘〕式〔3.22〕〔习题3-1，自己推导〕〔紊流时均化的能量方程为先相乘再时均〕第三章紊流的根本方程与紊流模型第三章紊流的根本方程与紊流模型各项意义：I：时均动能的当地变化率II：时均机械能的迁移变化〔时均动压及惯性力对位移做功〕——能量传递III：雷诺应力对时均变形做功〔※〕IV：雷诺应力对位移作功，引起能量传递亦称扩散项V：时均粘性应力对位移作功，引起能量传递VI：时均粘性应力对时均变形作功〔※〕第三章紊流的根本方程与紊流模型※III：雷诺应力对时均变形做功该项〔含全部符号〕为负表示支出，即时均能转化为紊动能；该项为正表示收入，即紊动能变为时均能〔正应力有可能〕但此项总为负〔正应力与切应力作功综合结果〕，故亦称紊动能产生项。第三章紊流的根本方程与紊流模型※VI：时均粘性应力对时均变形作功能量损失项〔转变为热能〕总为负第三章紊流的根本方程与紊流模型讨论：雷诺应力和粘性力对位移和变形都要作功，那么两种力作功何者为大？

结论：雷诺应力做的位移功及变形功>粘性应力的位移功与变形功，相差倍数与Re成正比。第三章紊流的根本方程与紊流模型3．紊流脉动的能量方程第三章紊流的根本方程与紊流模型各项意义：I：紊动能的变化〔当地+迁移〕II：紊动机械能的传递，亦称扩散III：雷诺应力对时均变形做功，使时均能转化为紊动能〔此项为正〕IV：紊动粘性应力对紊动位移做功，引起能量传递〔扩散〕。此项小，是次要的。V：紊动粘性应力对紊动变形做功，紊动能转化为热能，亦称粘性耗损。〔此项总为负〕。是最后消耗紊动能量的途径，是不能忽略的重要项。第三章紊流的根本方程与紊流模型§3.4紊流的涡量方程

前面讲紊流必是三维的，即三个方向瞬时流速都有梯度，因此紊流必然是有涡流动，其涡量

第三章紊流的根本方程与紊流模型瞬时值可分解为时均和脉动值一、紊流连续方程的涡量形式1．瞬时流：对涡量取散度可得瞬时流涡量的连续方程第三章紊流的根本方程与紊流模型2．时均流：将〔3.29〕时均化，得3．脉动值：式〔3.29〕—式〔3.20〕得第三章紊流的根本方程与紊流模型二、紊流运动方程的涡量形式1．瞬时流：将N-S方程取散度可得瞬时流涡量方程

它是以涡量形式表示的N-S方程。此方程和N-S方程相比,无压强梯度项。用涡量来描述紊流也是一个途径。

第三章紊流的根本方程与紊流模型2．时均紊流的涡量方程〔瞬时方程相比，在将瞬时值改写为时均值的同时，增加了脉动相关项〔两项〕。第三章紊流的根本方程与紊流模型各项意义：I：时均涡量的全部变化〔当地+迁移〕II：脉动流速对涡量的传递III：脉动变形与脉动涡量的相互作用产生的时均涡量的变化IV：时均变形与时均涡量的相互作用产生的时均涡量的变化V：粘性对涡量的扩散第三章紊流的根本方程与紊流模型§3.5紊流模型〔turbulencemodel〕C-Eq.+Re-Eqs(4个方程，10个未知数〕为使紊流时均流动方程组封闭，根据紊动特性而建立附加条件，即紊流模型。模型的建立是研究紊流的一个重要方面第三章紊流的根本方程与紊流模型如何将雷诺应力项表达为时均值的函数?由于紊流结构的复杂性，目前未找出统一规律，不同研究者提出了不同的方法，成为不同的紊流模型。〔思考：瞬时流动方程组是否封闭？是否需要紊流模型？为何不用该方程组求解〕。第三章紊流的根本方程与紊流模型紊流模型的分类：可以从不同角度去分根据目前应用情况，主要从解方程组时，是否增加了带脉动量的偏微分方程来划分，分为零方程、一方程、二方程和其它类型的紊流模型。第三章紊流的根本方程与紊流模型二、零方程模型附加条件不含带脉动量的偏微分方程。又可分为以下3种

1．涡粘性模型2．混合长度模型

3．涡量传递模型第三章紊流的根本方程与紊流模型1．涡粘性模型来由：1877年Boussinesq提出，将粘性应力计算式类比用于紊动应力使方程组封闭第三章紊流的根本方程与紊流模型注意：〔1〕是由流体性质决定的，t是由流动特性决定的，一般不是一个常数〔2〕公式结构有毛病，当i=j时优点：模型简单，可适用于较简单的流动，如自由紊流。作用：后来许多模型的根底第三章紊流的根本方程与紊流模型特例：对一平行二维流动来说

第三章紊流的根本方程与紊流模型2．混合长模型来由：1925年Prandtl将流体质团紊动和气体分子运动比较，相应于气体分子运动的平均自由程，对流体紊动提出混合长度L来表征。对平行流动，认为混合长在边壁附近L=X2=0.4X2第三章紊流的根本方程与紊流模型按动量定律，并假定u’1u’2，可得比较〔3.37〕与〔3.38〕可得(比涡粘性模型有改进〕第三章紊流的根本方程与紊流模型注意：〔1〕混合长假定与实际不符，与流体连续性矛盾。〔2〕紊流由大小不同的涡旋组成，L代表哪一种涡不明确。〔3〕假设u’1u’2也不全符合实际。如壁面附近。〔4〕在圆管中心及明渠水面无速度梯度〔那么u’1＝0〕，而实测之u’1并不很小。第三章紊流的根本方程与紊流模型3．涡量传递模型

来由：1932年Taylor提出。类似于混合长度模型，不同点是两层流体间传递的是涡量，距离为L

。第三章紊流的根本方程与紊流模型在二维平行流动中第三章紊流的根本方程与紊流模型假设第三章紊流的根本方程与紊流模型雷诺应力〔积分上式〕第三章紊流的根本方程与紊流模型与混合长相比可知与涡粘性模型比较，可得

评论：本质上同混合长模型。在自由紊流中应用较好〔L沿X2方向接近常数〕。第三章紊流的根本方程与紊流模型三、一方程模型〔K方程模型〕来由：零方程模型〔三种〕在处理雷诺应力项时实质上都用了同一模式不同之处是t确实定表达式上有所不同第三章紊流的根本方程与紊流模型涡粘性模型

t=常数混合长模型涡量传递模型

第三章紊流的根本方程与紊流模型用简单的紊动尺度〔常数值，L或L〕来反映紊动特性，对复杂的流动所得计算结果与实际出入很大。建立了脉动能的能量方程，为何不用脉动动能来反映紊动特性呢？脉动动能值由脉动能能量方程确定，再建立脉动动能与雷诺应力的关系，时均流流动根本方程组就可求解了。第三章紊流的根本方程与紊流模型K方程：来自脉动能能量方程〔3.23〕第三章紊流的根本方程与紊流模型紊动能K反映三个方向〔i=1,2,3〕的脉动特性与紊动流速尺度q的关系将k代入〔3.23〕式，并略去粘性应力时脉动位移做功项〔很小〕第三章紊流的根本方程与紊流模型在略去粘性应力对脉动位移做功项时第三章紊流的根本方程与紊流模型要求k首先得使此方程封闭，为此需对右端三项〔含脉动值〕进行模化，使它们与时均值建立关系

紊动总动压对紊动位移做功k的梯度第三章紊流的根本方程与紊流模型R2：雷诺应力处理形式上同涡粘性模型

R3：紊动能的耗散k3/2:式中涡粘性系数

k1/2

第三章紊流的根本方程与紊流模型

k、C

、CD为经验常数，

k=1，C

CD=0.08特征长度适于近壁区紊流

第三章紊流的根本方程与紊流模型经以上处理后得：当地变化+迁移传递=扩散传递+产生-耗散

第三章紊流的根本方程与紊流模型评价：〔1〕利用k来反映紊动特性使时均流动方程组封闭，k由紊动能量方程确定，全面地考虑了影响k的各种因素，因此适用范围广〔用于剪切型流动〕。而零方程模型只是k方程中无k的当地变化、迁移传递和扩散传递〔前三项为零〕，产生项和耗散项正好平衡时的一种特例。即零方程模型只能用于k的产生与耗散处于局部平衡下的水流运动第三章紊流的根本方程与紊流模型〔2〕如何确定L仍是一困难。近壁区可用上式算L，其它区很难定。习题3-3以二维平行流动为例证明当前三项为零时k方程就蜕化为混合长模型第三章紊流的根本方程与紊流模型四、双方程模型〔k-方程模型〕由来：k方程应用时，对一般流动很难确定特征长度L，L包含在中，＝CDk3/2/L。那么能否建立一个的平衡方程，通过直接求来克服定L的困难第三章紊流的根本方程与紊流模型推导方法：假设局部各向同性〔高Re流动〕，而得第三章紊流的根本方程与紊流模型模化：右端三项需模化才能求解第三章紊流的根本方程与紊流模型式中

经验常数：

C1

C2

C

1.31.441.920.09

方程：

第三章紊流的根本方程与紊流模型评价：对各向同性紊流计算效果好，对各向异性那么方程还需改进。如算嘉陵江入长江的污染混合区〔各向异性模型为好〕第三章紊流的根本方程与紊流模型五、其它模型1．雷诺应力模型

由来：以上模型中都采用

虽然各模型对

t的处理不同，但都是粘性应力模式。雷诺应力模型思路与此不同，它直接建立严格的雷诺应力传输方程，由此方程去求解雷诺应力。第三章紊流的根本方程与紊流模型推导方法：N-S方程雷诺方程=脉动量的运动方程〔习题3-2〕第三章紊流的根本方程与紊流模型结果：

第三章紊流的根本方程与紊流模型模化：由于ij只含雷诺应力与时均流速的梯度，不需要模化；其余后三项都含脉动量的相关，需模化〔建立与时均值的关系〕。评价：〔1〕理论上较完整，适用面广〔2〕计算工作量很大第三章紊流的根本方程与紊流模型2．大涡模型根本思想：直接求解三维N-S方程，为克服计算硬件上的困难，只考虑较大的涡旋〔涡旋越小，要求的空间步长越小〕。评：〔1〕N