2022年全国数学联赛福建赛区预赛模拟1参考答案

2022年全国数学联赛福建赛区预赛模拟1参考答案1、2、3、C4、5、46、-27、28、9、10、的任意一个排列都可以11、13、14、15、2022年全国数学联赛福建赛区预赛模拟3参考答案1、2、3、4、35、56、287、3268、149、8010、011、12、13、2022年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟4参考答案1、.2、3、54、5、，6、57、8、9、10、3456二、解答题（每小题20分，共100分）11、(Ⅰ)解:①∴∴②即,从而当时,由②式得,∵,∴由①式得∵,∴,从而对任意都成立.所以是以为首项,1为公差的等差数列,即,所以数列的通项公式.(Ⅱ)证:12、证：由于，因此，，。………5'只要证，，…10'两边平方，即要证，…………15’再平方，得，此为显然．…………20’13、证：设在抛物线上，在椭圆上，焦点，则抛物线切线方程为，椭圆切线方程为它们为同一直线，①…………4'②…………8'设公切线方程为，代入抛物线方程并由与抛物线切线方程比较可得将公切线方程代入椭圆方程，并令，两曲线有相同焦点，，代入上式解得…………12’，…………16’，代入②式，得.…………20'14、证：连接、，…………4'即…………8'分别四点共圆。…………12'四点共圆，…………16'…………20'15、解：称这种子集为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有个元素．为此，取，以下证，就是的最大值．………4今设是元素个数最多的一个联盟子集，，若是集中的最小数，显然，如果，则得，即，显然，（因与有整除关系）．…………8’今在中用替代，其它元素不变，成为子集，则仍然是联盟子集，这是由于对于中异于的任一元素，因与不互质，故与也不互质；再说明与没有整除关系：因，则；又若，设，（显然，否则有整除关系），则，于是，这与的最小性矛盾！…………16因此仍然是联盟子集，并且仍是元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于为止，于是得到元联盟子集，其中．即，因任两个相邻整数必互质，故在这个连续正整数中至多能取到个互不相邻的数，即．又据前面所述的构造可知，的最大值即为．…………20’2022年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟5参考答案一、填空题（每小题6分，共60分）1、42、63、2或64、5、双曲线．6、77、88．8、9、57710、997二．解答题（每小题20分，共100分．）11．设A,B是椭圆上两个动点，O是坐标原点，且．又设P点在AB上，且．求的值．解：方法一：由，不妨设．这样，.由A,B在椭圆上，有．因此．……（l0分）现在，在Rt△OAB中，，所以．因此．……（20分）方法二：不妨设OA与x轴正向的夹角为,OB与x轴正向的夹角为．这样,可进一步设．代入椭圆方程可得．由此可见，也即．在Rt△OAB中，，因此．这样．……（20分）12．在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4,OD=l，求四面体ABCD体积的最大值．解：首先，固定A，B,C,D四点时，要使ABCD的体积最大，则D点到平面ABC的距离应最大．但D点在以O为球心，1为半径的球面上运动，故取最大值时，OD⊥平面ABC．……（5分）设O在平面ABC的投影点为E，且|OE|=x．那么，D到ABC的距离为1+x．而EA=EB=EC=，可知△ABC的面积．（注：这里用到，若A,B,C是半径为R的圆上三点，则△ABC的面积．）………（l0分）因此，ABCD的体积．考虑函数，易知,可见在（0,3）上有唯一的临界点，在（0,3）的最大值为=36.从而所求最大值为．(20分）13、14.（20分）设，求证：14、证明：依柯西不等式得等号成立的充要条件是,而上面的方程无实数解∴∴∵,∴所以15．设函数．（l）证明：当时，；(2)数列｛｝满足，证明：数列｛｝递减且．解：(1)待证式等价于，即．令，则，可见，在上单调增，因此当时，．……（5分）(2)记，则．要证明｛｝递减，只需证明当时，．事实上，等价于，也即，注意，可见上式也等价于，即，这由（l）即证．……（10分）要证明，只需证明当时，．这等价于．也即．为证此式，令，则，且等号成立当且仅当，即．因此在上单调增，．于是得证．…….(20分）2022年福建省高中数学竞赛试题6答案一、填空题：1．．2．．3．．4．．5、6、7、．8．．9．．10．．二、解答题：11.解：由韦达定理得，.于是，有=……6分====.…11分由已知，得.而，所以.因此，.……………16分12.（本小题满分20分）证明：假设，否则结论显然成立（此时E、K重合）.设与的角平分线交于点，，，于是，又因为在以为直径的圆上，故.……5分设与的角平分线交于点，则的内心在点之间.又因为，则有，且.…………10分如果在线段的内部，有，所以四点共圆.如果在的同侧，有，也有四点共圆.……………15分因为，所以，.由于，则重合，即和的角平分线交于一点.……………20分13．解：如图1，延长相交于点,连结，过作,垂足为,则，过作，垂足为，连结，则由三垂线定理可得，为二面角的平面角．与关于点位似，位似比为，，.图1图2图1图2如图2，，；如图1，，，又图2知，即，于是，故二面角的大小为．14．（本题满分20分）解：令，直线的斜率为，则两式相减并整理得由得又解得若不存在，则不合题意，故所求直线的方程为．15．（本题满分20分）解：由得，令，则，利用不等式得，从而是减函数，令，则，．故实数的取值范围为．2022年全国高中数学联赛预赛模拟7参考答案：一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分）1、2、923、114、5、6、7、8、40259、310、二、解答题（本大题共5个小题，每小题20分，共100分）11、证明：在圆中，由于弦故圆周角，因此，、、、与、、、分别共圆，于是…5分设点在边上的射影分别为、、，则△∽△∽△，故由得，eq\o\ac(○,1)设△的内心为今证四点共圆：连因分别共圆，则，又由eq\o\ac(○,1)，，所以△∽△因此而所以因为故得，因此、、、四点共圆，于是……………10分延长AM交的外接圆于则AO为该外接圆的直径,于是且因此,点O是所在圆的圆心,从而为⊙O的切线.延长AD交⊙O于T,则∽,所以,又由∽,得,因故...②………………15分延长到,使，则为平行四边形,...③由②得...eq\o\ac(○,4)由③、eq\o\ac(○,4)得∽所以，,即BPM=CPD.…20分12．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得．①在△OBC中，由余弦定理，所以，②由①，②得．③所以，故，所以．由③可得，，故．因为，结合②，③可得，解得（结合）．综上所述，，．13．解．当时，，此时，且当时不等式等号成立，故．当时，，此时“双钩”函数在内是递减，故此时．综上所述，…（14分）14．证（1）记，由平均不等式．于是，所以，而，所以，即，从而．（2）又因为，所以，故．15．解（1）设集合，且A满足（a），（b）．则．由于不满足（b），故．又都不满足（b），故．而集合满足（a），（b），所以．（2）首先证明．①事实上，若，满足（a），（b），且A的