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2022年全国高中数学联赛模拟试题08第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.不等式的解集是2.适当排列三个正实数使得它们取常用对数后构成公差为1的等差数列，则的值等于3.已知空间四边形的对角线分别是的中点，若异面直线所成角为，则4.在△中，设且，则5.设为圆上一定点，点在该圆的内部或圆周上，且△是边长为的正三角形，则的最小值是6.已知，则的取值范围是7.过椭圆内一点作直线分别与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于，过分别作椭圆的切线交于，则直线的方程是8.正六边形的中心为，对这7个点中的任意两点，以其中一点为起点，另一点为终点作向量，任取其中两个向量，它们的数量积的绝对值的数学期望是二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.已知数列的通项公式为，数列满足：，且当时＝－，其中＝－证明：一定存在数列使得数列中的每个数均为完全平方数10.非负实数，，满足.求的最大值.11.已知是抛物线上不同的三点，有两边所在的直线与抛物线相切，证明：对不同的为定值2022年全国高中数学联赛模拟试题08第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.不等式的解集是即原不等式解集为2.适当排列三个正实数使得它们取常用对数后构成公差为1的等差数列，则的值等于3.已知空间四边形的对角线分别是的中点，若异面直线所成角为，则4.在△中，设且，则5.设为圆上一定点，点在该圆的内部或圆周上，且△是边长为的正三角形，则的最小值是6.已知，则的取值范围是7.过椭圆内一点作直线分别与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于，过分别作椭圆的切线交于，则直线的方程是8.正六边形的中心为，对这7个点中的任意两点，以其中一点为起点，另一点为终点作向量，任取其中两个向量，它们的数量积的绝对值的数学期望是二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.已知数列的通项公式为，数列满足：，且当时＝－，其中＝－证明：一定存在数列使得数列中的每个数均为完全平方数证明：因为，若，，因为，所以，，此方程无整数解；若，，因为，所以，，此方程无整数解；若，，因为，所以，，解得，此时，均为完全平方数所以，满足题意…………4分一般的取，………8分此时，，则＝－＝，所以为一整数平方．因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．……16分10.解：不妨设.显然有，.……………5分根据AM-GM不等式可得……………15分所以S的最大值为12，这时.……………20分11.2022年全国高中数学联赛模拟试题08加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）二、（本小题满分40分

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