2022年高考数学强基计划讲义 6：导数的应用【解析版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题6：导数的应用

一、真题特点分析：

[2021年清华4】恰有一个实数X使得X3-依-1=0成立，则实数a的取

值范围为().

A.(-00,^2)B.18,孚)C.(孚)D.1-8,孚)

答案：B

2.【2020年清华17.)已知函数/(x)=*；+sinx(x«-2,2]),则/(x)

的最大值与最小值的和是().

A.2B.eC.3D.4

解析；考虑g(x)=/(x)-l=4W+sinx为奇函数，因而g(x)的最大值与最小值的

e+e

和为0,可得/(X)的最大值与最小值的和为2.

二、知识要点拓展

一.导数的定义：设函数y=/(x)在点方的某个邻域内有定义，若极限

lim幺止①Q(*)存在，则称函数/在点/可导，并称其极限值为函数/在

f”x-x()

后的导数，记作了'(小)。

若令x=x0+Ax,Ay=f(x0+Ax)-f(x0),则(*)式可改写为

lim也必比3=lim包

ArfOAxAr->0M

~/'(Z)o

二.导数的几何意义：

函数/在点天的导数/(/)是曲线y=/(x)在点(%,/(X。))处切线的斜率。

若a表示这个切线与x轴正向的夹角，贝I」/'(x。)=tana。

三.基本求导法则：

（r）（M±v）,=w,±v,；=u'v+uv',(cu)'=cu'(c

为常数）；

④反函数导数半=4-;

dxdx

dy

dydydu

⑤复合函数导数—=---•—

dxdudx

四.基本初等函数导数公式

①(c)=0(c为常数)；②(/)=or"T(。为任何实数)；

(3)(sinx)'=cosx,(cosx)'=—sinx,(tanx)'=sec2x,(cotx)*=-csc2x,

(secx)'=secxtanx,(escx)'=-escxcotx；

④(arcsin尤)'=-(arccosx)1=(|x\<1),

Vzl-x2

(arctanx\--(arccotx)'=-----；

1+x

⑤(a)=axIn=ex；

@(logux)'=—,(lnx)'=-o

xmax

五.原函数：设/(x)是定义在区间。上的函数，若存在函数尸(x),对任意xe。

都有小(x)=/(x),则称尸(x)是/(%)的一个原函数。

一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若F(x)是的一个

原函数，则F*(x)+C表示/(x)的全体原函数.

六.不定积分：设尸(x)是,f(x)的一个原函数，则称/(x)的全体原函数/(x)+C

为/(x)的不定积分。记为J/(x)公，即J/(xMx=F/x)+C。

七.不定积分的性质：

①公）'=/（x）；②]7'(x)公=/(x)+C,

（3）Jkf{x}dx=攵Jf（x）dx,④J[/(x)±g(x)心=Jf{x)dx±jg(x)dxo

A.常见积分公式

-1

dx=x+C,\xadx=-xa+'+C,

fa"dx=---优+C,

JIna

JeWr="+C,JsinAzZr=-cosx+C,

|cosxdx=sinx4-C,f----dx—tanx+C,

JCOS-X

f——-—t/r=-cotx+Co

Jsirrx

九.函数的单调性：若函数/在（。力）内可导，则/在（。,份内递增（递减）的充

要条件是1320（/，（X）＜0）,XG（6Z,/7）o

三、典例精讲

例1.已知/(幻在x=a处可导，且/‘3)=》，求下列极限：

(1)lim〃-3/?)二/•(“"?)；(2)]/+〃2)-/⑷

力一＞02/zh

»分析：在导数定义中，增量Ar的形式是多种多样，但不论Ax选择哪种形式,

△)，也必须选择相对应的形式。利用函数/(x)在x=a处可导的条件，可以将已给

定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。

解答：(1)lim/(。+3力)--3一八=11mf(a+3〃)-/(。)+/(。)-一m

-D2h*->02h

的f(a+3/2)-于(a)।11m/⑷一于(a-力)

/io2h2h

3向

+—lim

2203h2no-h

31

=江(。)+万广⑷=2匕

(2)lim/(**)7⑷=14小+"?一(%；

力.0hflT。

)•lim/?=/*(«)-0=0

/7->0/fo

练习1：若函数y=/(x)在区间(a,b)内可导，且x°e(a,b)则

lim+〃)一"%一")

20h

的值为()

A./(x0)B.2/(%)C.-2/(x0)D.0

►答案：B

»解答：lim"x。+防二"x。一")=早2四十吁人改「幽]

goh/TO2h

2lim八/+"一"%一")=2/(%)

no2h

练习2：(2000上海交大)已知/(x)在/处可导，则

22

lim/Uo+3A)-7(xo-/z)^

h->Qh

»答案：8/,U0)/(x0)

〉解答：由导数定义知

22

lim/(xo+3A)-/(xo-A)

I。h

_i；m4(/(X。+3用)—八七一/1))(/(毛+3A)+

—iim今f(x0-h))

204/z

4014/(/+3力)一,(/一〃)

(/(X0+3/2)+/(X0-/2))

2。(x0+3/?)-(x0-/z)

=4/(X。)X2/(x0)=8/-U0)/(x0)o

例2.求函数y=(x—a)(x—/?)(x—c)的导数。

►解答：y—(x-a)(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)

=(x-b)(x-c)+(x—a)(x—c)+(x—a)(x-b)

练习3./(幻=0?+3/+2,若f(T)=4,则a的值等于()

1916c13八10

AA.—Bn.—C.—D.—

3333

A答案：D

►解答：/(x)=3凉+6犬J(-1)=34-6=4,〃=/

例3.函数y=皿的导数为;

X

时安(sinx)x-sinx-(x)xcosx-sinx

>解答：y=---------；-------=------3-----

XX

例4.求函数y=(I+cos2x)3的导数。

►解答：y=(1+cos2x)3=(2cos2x)3=8cos6x

y=48cos5x-(cosx)=48cos5x-(-sinx)

5

=-48sinxcosxo

例5.观察(x〃)'=nx〃",(sinx)z=cosx,(cosx)z=-sinx,是否可判断，可导的

奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

»解答：若/•(》)为偶函数/(-x)=/(x)令lim也土包匕©=_f(x)

ArfOAy

r(f)=lim("——=lim~■~———~

A—o+Ax-+Ax

=lim_/(x-Ax)-/(x)=

Av->0-A

二可导的偶函数的导函数是奇函数

另证:f'="(—刈’=1(+力(T)'=~f\x)

例6.求证下列不等式

22

(1)x--<ln(l+x)<x-------xe(0,+oo)(相减)

22(1+x)

(2)sinx>—xG(0,—)(相除)

712

(3)x—sinxvtanx—xxG(0,—)

元21元2一1

►证明：(l)/(x)=ln(l+x)―(x——)/(0)=0/(尤)=-----l+x=----->0

21+xx+1

y=/(x)为(0,+8)上T/.xe(0,+oo)/(x)>0恒成立

X2r2

/•ln(l+x)>x----g(x)=x------------ln(l+x)g(0)=0

22(1+x)

,、14x?+4x—2x~12,x~八

g(X)=1-----------z---------=------z->0

4(1+x)21+x4(1+x2)

r2

/.g(x)在(0,+oo)上Txe(0,+oo)%---:-----ln(l+x)>0恒成立

2(1+x)

sinx27i

(2)原式o--->—令/(x)=sinx/xxe(0,—)cosx>0x-tanx<0

x712

...八x)=cosx(x；tanx)…(。，马八不。3二”

x22

/([)=2sinx>—

2乃TC

(3)4"/(x)=tanx-2x+sinx/(0)=0

(1-cosx)(cosx+sin2x)

f\x)=sec2x-2+cosx=

cos2x

xe(0,1),f(x)>0A(0,|)T

/.tanx—x>%—sinx

例7.已知函数/(x)=x,g(x)=ln(l+x),%(尤)=---.

l+x

(1)证明：当x>0时，恒有/(x)>g(x);

kY

(2)当x>0时，不等式g(x)〉4(k20)恒成立，求实数k的取值范围;

k+x

1y

►解答：(1)设/(龙)=/'(x)-g(x),则/(x)=l-----=—一，

1+X1+X

当x>0时，/(x)〉0,所以函数F(x)在(0,+00)单调递增，又尸(X)

在x=0处连续，所以尸(x)>F(0)=0,即/(无)一g(x)>0,

所以/(x)〉g(x)o

kx

(2)设G(x)=g(x)-7一，

k+x

则G(x)在(0,+8)恒大于0,G(x)=ln(l+x)-k+----,

k+x

一“、1k'x2+(2k—k')x

G(x)=-----------------7=-----------------,

l+x(k+x)2(l+x)(Z:+x)-

，+(2Z—攵2)x=o的根为o^k2-2k,

即在区间(0,+8)上，G(x)=0的根为0和人2一24,

若廿一2%>0,则G(x)在(0,二一2%)单调递减，

且G(0)=0,与G(x)在(0,+8)恒大于0矛盾；

若22一2%<0,G(x)在(0,+8)单调递增，

且G(0)=0,满足题设条件，所以女2—2左W0,所以04女<2.。

例8.利用导数求和：

2

(1)Sn-l+2x+3x4---Fnx"^'(x0,neN)；

(2)S,=C\+2C；+3C；+…+〃C：(〃wN*)。

》分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维

角度，由求导公式(£)=依I,可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数

运算可使问题的解决更加简捷。

»解答：(1)当x=l时，S1,=1+2+3+…=(〃+1)；

Y—丫"+1

当xwl时，x+x2+x3++=---------,

1-X

Y-Yn+[

两边都是关于X的函数，求导得：(X+/+X3+…+£)，=(±±_>

1-x

即S“=1+2x+3/+…+加"T=.1-(5)一"吧

(17)2

(2)V(1+x)n=1+C>+C>2+C>3+…+C：x",

两边都是关于x的函数，求导得〃(1+x)"T=C；+2C>+3C>2+…+。

令x=l得：

“2“=C：+2C；+3C；+…+仁，即S“=C：+2C；+3C：+…+nC：：=n・2"i。

例9.已知函数/。)=，+彳-1,是方程/(幻=0的两个根(a>0,r(x)是/(x)

的导数;设4=1,(n=l,2,........)

./(«„)

(1)求a,6的值;

(2)证明：对任意的正整数〃，都有a“>a;

(3)记々=ln*(〃=1,2,…)，求数列低｝的前〃项和。

%-a

a解答：(1)f(x)=x2+x-l,a,£是方程AxhO的两个根(a>〃),

•-1+y/5

••a=--------

2，”普

4+4,71«„(2«n+l)+l(2d„+l)-|

2)/'(x)=2x+l

砧="""^7T=""----------

5

；(2。“+D+4_1

2«„+l2

："=1,.•.有基本不等式可知a号铝＞0(当且仅当4=存1时取等号)，

…空＞0同，样/专

，a>——-=a(力=1,2,・・・)，

n2

(4一。)(。〃一尸)_4一口

⑶初一夕=%-4-(%+1+a),

2%+12%+1

f?Ua+/3=-\,即<z+l=-/7,«„+i-P=~~

2a,,+l

同理…记,c,p,,1-B,3+75c,3+75

%=22,又4=ln匚£=m匚后=21nM

’50=2(2"-1)始言叵

四、真题训练

1.若八%)=一3,则lim"x°+'fa)一班=()

20h

A.-3B.-6C.-9D.-12

2.(上海交大)设广(x0)=2,则lim6士牛皿二2=()

2。h

(A)-2(B)2(C)-4(D)4

3./(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若/(x),g(尤)满足/'(x)=g'(x),

则

/(X)与g(x)满足()

A./(x)=g(无)B.7(x)-g(无)为常数函数

C./(x)=g(x)=OD./(x)+g(x)为常数函数

4.若/(x)=sina-cosx,则/(a)等于()

A.sinaB.cosaC.sincr+cosaD.2sina

5.若函数/（无）=尤2+灰+。的图象的顶点在第四象限，则函数/'（X）的图象是（)

6.于R上可导的任意函数/（尤），若满足l）/'（x）20,则必有（）

A./(0)+/(2)<2/(1)B./(0)+/(2)<2/(1)

C./(0)+/(2)>2/(1)D./(0)+/(2)>2/(1)

7.函数》=（在点x=4处的导数是（）

I

A.B.--C.—D.--

81616

8.设f(x)=(x-a)(x-b\x-c)(a,b,c是两两不等的常数),则

abc

―；----1—：----1—；—的值是,

f（«）f3）f（c）

9.证明下面不等式：

1,x+11

(1)已知：xe(O+oo),求证——<In----<一;

x+1XX

11

1I111

（2）已知：且求证:2-3-•+一<In几<1+一+…+----

n2n-\

10.已知函数f(x)=Inx

(I)求函数g(x)=:(x+1)-x的最大值;

(II)当0<a<b时，求证：⑷>2野一；)

a+b

n.设/(x)的定义域为(0,+oo),/(x)的导函数为((划，且对任意正数X均有

r(x)>3,

X

(I)判断函数？(》)=△2在(0,+8)上的单调性；

X

(II)设X],/e(°，+8)，比较/(斗)+/。2)与/(X+工2)的大小，并证明你

的结论；

(III)设X],x2,…X“e(0,+oo),若nN2,比较/0])+/(々)+…+/(斗)与

/(.+/+…+/)的大小,并证明你的结论.

12.设函数/(x)=(l+』)(neN,^.n>l,xeN).

(I)当户6时，求(1+：)的展开式中二项式系数最大的项；

(II)对任意的实数x,证明/(2x)；J(2)>//(x)是的导函数)；

n(1\k

(HI)是否存在aeN,使得an<Z1+一<3+D〃恒成立？若存在，试证明

&=1\kJ

你的结论并求出a的值;若不存在，请说明理由.

真题训练答案

l.Dlim〃无。+…A%一弘)=4.A/+〃)-/(%一%)=(4)=—12

6Toh〃T04h

2D由导数定义知"

20h

=Iim，(/+/2)--(/)*Hm/(/—〃)

，f0h20h

3.B/(x),g(x)的常数项可以任意

4.A/(x)=sinx,/(a)=sina

b

5.A对称轴—5>0,b<0,/'(x)=2x+6,直线过第一、三、四象限

6.C当xNl时，/'(x)N0,函数/(x)在(1,+8)上是增函数；当x<l时，f(x)40,

f(x)在(-00,1)上是减函数,故/(X)当X=1时取得最小值，即有

f⑼>/(I),/(2)>/(I),得/(())+/(2)>2/(1)

1_11--11।

7.Dy=-=X2,y=--X2=___,y(4)=____=__

8.0f(x)=(x-b)(x-c)+(x-4Z)(x-c)+(x-a)(x-b\f(a)=(a-b)(a-c)9

f(。)=S-a)3-c),/'(c)=(c-a)(c一b),

abcabc

-------1—----1—­—=-----------------1-------------------1-----------------

f(«)f(b)/(c)(a-h)(a-c)(h-a)(b-c)(c-a)(c-b)

a(h-c)—h(a-c)+c(a-h)_

=----------------------------------------=0

(a-b)(a—c)(b-c)

(A)证明：

(1)令Id---=t,由，「・，>1,X-.......

xt-l

原不等式等价于l」<lnr<-1,令/⑺=/一1一hv,

t

•.•广⑺=1-1当re(l,+8)时，有广⑺>0,...函数/⑺在/e(l,+8)递增

t

/(0>/(D即IVhv

1t-\

另令g(z)=M，—1+;，则有g>0

二g(。在(1,+8)上递增，,g(f)>g⑴=0lnz>l-^

但［/曰11X+11

综上得——<ln——〈一

X+1XX

(2)由(1)令x=l,2,・・・,(〃-1)并相力口得

111,2,31几1I1

—I1----1—<In—FIn-F…+ln------<1HF…H--------

23n12n-\2n-\

即得'+'+…+L<ln<1+-+---+^—

23n2n-\

10.(I)解：•.•/(x)=lnx,g(x)=/(^+l)-x

二g(x)=ln(x+l)-x(x>-1)g'(x)=-5----1,令g'(x)=O,得x=O

x+1

当一l<x<0时，g'(x)>0当x>0时g'(x)<0,又g(0)=0

.•.当且仅当尤=()时，g(x)取得最大值0

(II)证明：/0)-/(a)=ln/?-lna=ln-=-ln-=-ln(l+^^)

abb

由(1)知ln(l+x)Wx=

bb

又0<ava2+h2>2ah

12ah-a2b(h-d)2a(b一a)

>222f⑼一f(a)>

bcr+/?ha+Z?a2+b2

11.M：(I)由于r(x)>以2得,矿⑴一〉0,而X>0,则矿(x)—/(x)〉0,

XX

则F，(X)=-'⑸；•二划>0,因此F(x)=幺2在。+00)上是增函数.

X"X

(H)由于玉，x2e(0,+oo),则0cxi<玉+%2，而/。)•在(0,+8)上是

增函数，

则)<F(3+x2),即+'),.♦.(%+x,)/(%))<X|/(X+x2)

X[X]+x2

(1),

同理(X]+%2)/(、)<+W)⑵

(1)+(2)得：(X|+工2)[/(玉)+/(工2)]<(X1+%2)/(司+尤2)，而％+彳2>0，

因此/(x1)+/(x2)</U1+x2).

f(x)

(III)证法1：由于％,xG(0,+oo),则0<%<%+%2+…+当，而F(x)=------

2A-

在(0,+oo)上是增函数，则F(xt)<F(xt+x2+•••+%„),即

/(王)f(x,+x+•••+%„)

----<--------2-------，

X石+9…+当

，(x,+x2+---+xn)f(x,)>xlf(x,+x2+••.+%„)

同理(xl+x2+---+xn)f(x2)>x2f(x,+x2+-••+%„)

(x,+x2+---+xn)f(xn)>xllf(x,+x2+---+xn)

以上〃个不等式相加得：

a+x2H-----Hxn)[/(%])+/(x2)+•■•/(%„)]>(玉+/4-----H%„)/(%)+x2-t-----FX“)

而X1+z+,,■+x“>0

f(xt)+f(x2)+---f(xn)>/(否+々+…+x”)

证法2：数学归纳法

(1)当九=2时，由(II)知，不等式成立；

(2)当〃=。(〃22)时,不等式/(占)+/(工2)+…/(X")>/(%+Z+…+无”)成

立，

即f(xi)+f(x2)+---f(xk)>ya+乙+…+/)成立,

则当n=k+l时,f(x,)+f(x2)+■■-f{xk)+f(xM)>f(xi+x2+---+xk)+

/(%)

再由(H)的结论,/(X]+x2+•••+)+f(xk+])>f[(xt+%+…+4)+%/

f(X[+x2+•••■FX*)+/(X*+])>/(X)+x2+---+xk+xk+i)

因此不等式/(%1)+/(x2)+---/(xn)>/G+工2+…+x”)对任意2的自然数

均成立.

20

12.(I)解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

(II)证法一：因/(2x)+/(2)=1+—+1+-

(iYrn<1Y

>21+-In1+->21+-In

\n)\2)\nJ

证法二:

\(iYn2(1、〃

因/(2x)+〃2)=(l+，+U+U

-1+-I=21+1

nJlnJknIn)

而2/'(尤)=2(1+!Ing

\n)Vn)

故只需对(1+£|和+进行比较。

令g(x)=x-lnx(x21),有g'(x)=1」=

由——-=0,得x=l

x

因为当Ovxvl时，(x)<0,g(x)单调递减；当Ivxv用时，(x)>0,g(x)

单调递增，所以在x=l处g(x)有极小值1

故当x〉l时，g(x)>g(l)=l,

从而有x-lnx>1,亦即x>lnx+l>lnx

故有1+—>ln1+—>恒成立。

nn

所以〃20+〃2)之2/(x),原不等式成立。

(III)对〃?eN,且加>1

(1Vw1A

有I1H----G+C；++…喘)+-+CI-

Vm)mm

\2

}m(/〃一1卜一(机一4+1)(1V

=1+1+4----+…十一+,・・+

2!\rn)k\m![mJ

11、11

2+—I1---+•••+—11k-\m-\

2!mmmmimm

<2+l+l+...+l+...+±

2!3!k\ml

<2+W..+11

--------!*•••+

2x13x2k(k—l)-------(加一1)

2+"11、1111

+・・・十

+2-3,+…+

7k—\km-\m

=3--<3

m

iYm

又因c：>0(2=2,3,4,…,M，故2<1+—<3

m7m7

m

V2<|1+—<3,从而有+<3〃成立,

Im

即存在a=2,使得2〃<£jl+：)<3〃恒成立。

五、强化训练

A组

1.函数y=3尤+2的极小值、极大值分别为()

A.极小值0,极大值4B.极小值-16,极大值4

C.极小值-1,极大值4D.极小值0,极大值1

分析：对函数求导，y'=3/_3,令y'=0nx=-l,x=l是两个驻点。因为

xe时，y'>0；xe(-l,l)时，y'<0；xe(l,+oo)时，y'>0,所以

x=T对应极大值，x=l对应极小值。元=-1时，y=4；x=l时，y=0

答案：A

2.设/'(%)=2,则lim"/+=()

力foh

A.-2B.2c.-4D.4

分析：由导数定义可得

lim/K+俏―/(-%—")=lim+iim/(X。)―/5一")=2f(x0)=4

A—>0hA—>0hh->0h

答案：D

3.函数/(x)="-ln(l+x)+2的单调递减区间为

分析：对函数求导，f\x)=ex——L「,(l+x)_l,则》>0时，/'(x)>0；x<0

1+x1+x

时，/'(x)<o；x=0时，/(x)=0,又函数的定义域为(-1,+8),所以/(X)

的单调递减区间为(-1,0]

答案：(-1,0]

4,若四次函数/(x)=0有四个根，则它的导函数有多少个根？

分析：令厂(%)=0的四个根为6<%<。3<。4,且不妨设F(x)=0的最高次项系数

大于0,则Xf+3O时尸(x)>0。所以在(-so,%)上尸(x)>0,在(4，。2)上

F(x)<0,在(。2，。3)上F(x)>。，在(4,。4)上尸(x)<°，在(4，+8)上

E(x)〉0。所以F(x)的导函数有3个极值点，即有3个根

答案：至多3个根

5.若方程V—27x+m=0有一3个不同实根，求实数利的取值范围

分析：记/(x)=/-27x+m,/(x)=0有3个不同实根，则/(x)=0应该有2个

不同实根%,%。设e<%，令/(%)=3/-27=0=%=-3,々=3,贝I

x=—3时，/(%)有极大值，所以

/(-3)>0=>m>-54；x=3时，/(x)有极小值，所以/(3)<0=>机<54。

所以一54(加〈54

答案：-54<加<54

6.已知三次方程V-3/x—6/+3。=0(。>0)只有一个实根是正的，求a的取值范

围

分析：f(x)=x3-3a2x-6a2+3a,贝ij厂(幻=3/一3a?

(1)/'(%)»()恒成立=。=0与题设矛盾

(2)/(幻《0恒成立显然不可能

(3)f'(^t)=0=>x=a,x=-a,因为a>0,所以/(x)在上单调递

增，在(-a,a)上

单调递减，在(a,+8)上单调递增，则，==^<。<二^

[f(a)<022

田田3-63+百

答案：—^<“<1―

22

7.已知函数/(x)=f+0(xHO,aeR)

x

(1)判断函数/(X)的奇偶性

(2)若/(X)在区间[2,48)上是增函数，求实数。的取值范围

分析：(1)对。进行讨论，

a=0=>/(x)=/为偶函数

a*0=>/(x)=x2+-,/(-%)=x2--,则|/(x)同/(一刈，为非奇非偶函

数

r\3

a3

(2)由题意，在xN2时，f'(x)=2x-4=7>0=>a<(2x)min=16

XX"

所以a<16

答案：(1)。=0时为偶函数，。了0时为非奇非偶函数；(2)a<16

8.已知三次曲线C:y=/+法2+cx+d的图象关于点A(l,0)中心对称

(1)求常数b

(2)若曲线C与直线/:y=4x+12相切，求曲线C的方程

分析：(1)由题意，若”,s)在曲线上，则(2—f,—s)也在曲线上，即

s=t+ht~+ct+d,

\n(6+2。)产一(12+4Z?)f+8+4/2+2c+21=0

-s=(2-f了+bQ-t)2+c(27)+d

由于恒成立，所以6+2Z?=O=Z?=—3

(2)由(1)知8+4/?+2。+2t/=0=<?+4=2=2=2—。

令(m,4机+12)是C的切点nC在该点的切线斜率为4

由

y'=3x2+26x+c=4=3m2+2bm+c=3m2-6/w+c=>c=4-3m2+6m,

又4〃z+12=m3-3m2+cm+2-c=>c(m-1)=-m3+3m2+4m+10,

所以，然=—1,

c=-5,d=7,从而y=/-3d-5x+7

答案：(1)6=-3；(2)y-x3-3x2-5x+7

B组

1.一元三次函数/(x)的三次项系数为;，/'(x)+9x〉0的解集为(1,2)

(1)若尸(x)+7a=0有两个相等实根，求尸(x)的解析式

(2)若/(x)在R上单调递减，求a的取值范围

分析：设/(x)=］丁+灰2+cx+d,则/(x)=0^2+2bx+c,

/'(x)+9x>0^ax2+(2/7+9)x+c>0o又因为/'(%)+9%>()的解集为

(1,2),所以

(%-1)(%-2)<0,a<0,对比系数可得2b=-3a-9,c-2a

(1)f'(x)+7a-0=>ax2+2bx+c+7a=0=>ax2-(3a+9)x+9a=0,

因为有两个相等

实根，所以△=(3a+9尸—36a2=0na=—1=f'(%)——x2—6x—2

(2)f'(x)=ax2-(3a+9)x+2a,要使得/(x)在H上单调递减，只需

/'34()在/?上恒成

a<0f-

立即可。所以4,,^-27-18V2<«<-27+18V2

(3a+9>-8/KO

答案：(1)/'(X)=-X2-6X-2；(2)-27-1872<a<-27+18V2

2.设三次函数/(x)=Gc3+5x2+cx+d(a<6<c),在x=l处取得极值，其图象在

x=m处的切线的斜率为一3a

b

(1)求证：0《一<1

(2)若函数y=/(x)在区间［s,r］上单调递增，求卜―彳的取值范围

分析：(1)/(幻=3奴2+2法+c,由题意可得，，=>

f\m)=3am"+2bm+c=-3a

—jrrch

3a=-2b—cn2b=-z------<0=>^<&<0=>0<—<1

m-m+\a

(2)由(1)可知/'(x)=3ox2+2"+c=0的A=4/?2-12。。>0,所以方程

尸(©=0有两

个不同实根。又

2b

f'⑴=3。+2/?+。=0=＞玉=1==＞%=-----1=＞々＜°＜为。

23。

所以，当天＜工2或玉时，f'(^)＜0；当入2＜工＜百时，尸(了)〉0

所以，丫=/(幻的单调递增区间是[%,%]=归一％|=2+|^€2,1],即

卜-2，|)

「8、

答案：(1)略；(2)15—?|62,-1

3.已知定义在正实数集上的函数/(x)=+2ar,g(x)=3。21nx+〃，其中a＞0,

设两曲线y=/(x),y=g(尤)有公共点，且在公共点处的切线相同

(1)若a=l＞求b的值

(2)用a表示人，并求Z?的最大值

3

分析：(1)f'(x)=x+2,g'(x)=—，设y=f(x)与y=g(x)(尤＞())在公共点(x。,%)

x

处的切线

相同，由题意可知

(-、/、+2x=31nx+b

/(Xo)=g(x。)2°00°,,5

l＜/a)=g'(x。)=＞〈x0+2=ca=＞玛=]=＞。=一2

I/

(2)f\x)=x+2a,g'(x)=——，设y=/(x)与y=g(x)(尤＞0)在公共

点(%),％)处的切

线相同，由题意可知

…g(x